Première C · Leçon 14

Réflexions

Réflexions et composées de réflexions

Réflexion (symétrie orthogonale) d'axe \((D)\)

La réflexion d'axe \((D)\) transforme \(M\) en \(M'\) tel que \((D)\) soit la médiatrice de \([MM']\) (ou \(M'=M\) si \(M\in(D)\)). C'est une isométrie : elle conserve les distances.

Réciproque et effet sur les angles orientés

Une réflexion est involutive : \(s\circ s=\mathrm{id}\), donc \(s^{-1}=s\) — elle est sa propre réciproque. Contrairement à une homothétie-translation (chapitre 1), une réflexion inverse le signe de tout angle orienté :

\[ (\vec u{\,}',\vec v{\,}')=-(\vec u,\vec v). \]

Exemple — expression analytique

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Axes parallèles : composée = translation

Si \((D_1)\parallel(D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la translation de vecteur \(2\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur perpendiculaire commun allant de \((D_1)\) vers \((D_2)\). Réciproquement, toute translation de vecteur \(\vec w\) se décompose en un produit de deux réflexions d'axes perpendiculaires à \(\vec w\), distants de \(\dfrac{\lVert\vec w\rVert}2\).

Exemple — axes parallèles \((D_1):x=1\), \((D_2):x=4\)

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Figure — Deux réflexions d'axes parallèles composent une translation

\(M\to s_{D_1}(M)\to s_{D_2}(s_{D_1}(M))\) : le trajet global équivaut à une translation de vecteur \((6;0)\).

Axes sécants : composée = rotation

Si \((D_1)\) et \((D_2)\) se coupent en \(\Omega\), en notant \(\theta\) l'angle orienté de \((D_1)\) vers \((D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(2\theta\).

Exemple — axes sécants \((D_1)=(Ox)\), \((D_2)\) : \(y=x\)

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Décomposition

Toute rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) se décompose en un produit \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) de deux réflexions d'axes passant par \(\Omega\), où \((D_1)\) est une droite quelconque passant par \(\Omega\) et \((D_2)\) fait avec \((D_1)\) un angle orienté \(\dfrac\theta2\). Ce résultat est la réciproque exacte du théorème du chapitre 2 sur la composée de deux réflexions d'axes sécants.

Exemple — retour sur la configuration du chapitre 2

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