Première C · Leçon 10
Comportement global et limites d'une fonction
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Pour \(f\), \(g\) définies sur un même ensemble et \(\lambda\) réel : \(\lambda f\), \(f+g\), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\), et la composée \(g\circ f\) (\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)). On compare \(f\leqslant g\) numériquement ou graphiquement.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) — croissante si \(u,v\) ont même sens de variation, décroissante sinon.
- Une asymptote verticale en \(x=a\) demande d'étudier séparément la limite à gauche (\(x\to a^-\)) et à droite (\(x\to a^+\)) : la fonction peut tendre vers \(+\infty\) d'un côté et \(-\infty\) de l'autre, comme dans l'exemple ci-dessus.
- Une limite finie en \(+\infty\) ne dit rien du comportement en \(-\infty\) : il faut étudier les deux séparément avant de conclure à une asymptote horizontale commune.
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) (fini), \(y=\ell\) est asymptote horizontale. Si \(f\) admet une limite infinie en un réel \(a\), \(x=a\) est asymptote verticale.
Soit \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\). En écrivant \(3x-1=3(x-2)+5\) :
\[ m(x)=3+\dfrac5{x-2}. \]Quand \(x\to\pm\infty\), \(m(x)\to3\) (asymptote \(y=3\)). Quand \(x\to2^+\), \(m(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to2^-\), \(m(x)\to-\infty\) (asymptote \(x=2\)).
Figure — Courbe de \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=2\) et asymptote horizontale \(y=3\), toutes deux en pointillés.
Les limites d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient se combinent. Théorème de comparaison : si \(f(x)\geqslant u(x)\) au voisinage de \(+\infty\) et \(\displaystyle\lim u(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) ; si \(|f(x)|\leqslant u(x)\) au voisinage d'un point et \(\displaystyle\lim u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=0\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(\left|\dfrac{2+\cos x}x\right|\leqslant\dfrac3x\) (car \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\)), et \(\dfrac3x\to0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}x=0\).
Résumé
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\).
\(|f-\ell|\leqslant u\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Même sens ⟹ croissante ; sens opposés ⟹ décroissante.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{4x-1}{x+3}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(4+\dfrac c{x+3}\), puis déterminer ses limites en \(\pm\infty\).
\(4x-1=4(x+3)-13\), donc \(s(x)=4-\dfrac{13}{x+3}\). Limites en \(\pm\infty\) : \(4\) (asymptote \(y=4\)).
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-3)^-\) et \((-3)^+\).
Quand \(x\to(-3)^+\), \(\dfrac{13}{x+3}\to+\infty\), donc \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-3)^-\), \(s(x)\to+\infty\). Asymptote \(x=-3\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3+\sin x}x\).
\(2\leqslant3+\sin x\leqslant4\), donc \(\left|\dfrac{3+\sin x}x\right|\leqslant\dfrac4x\) pour \(x>0\). Comme \(\dfrac4x\to0\), la limite vaut \(0\) par comparaison.