Première C · Leçon 20

Arrangements, permutations, combinaisons et binôme

Factorielle et permutations

Factorielle

Pour \(n\) entier naturel non nul, \(n!\) (« factorielle \(n\) ») est le produit des entiers de \(1\) à \(n\) : \(n!=1\times2\times\cdots\times n\), et \(0!=1\) par convention. \(n!\) compte le nombre de façons d'ordonner \(n\) objets distincts.

Arrangements et permutations

Un arrangement de \(p\) éléments pris parmi \(n\) (\(0\leqslant p\leqslant n\)) est une liste ordonnée de \(p\) éléments distincts choisis parmi \(n\) — leur nombre se note \(A_n^p\) :

\[ A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}. \]

Une permutation de \(n\) éléments est un arrangement de tous les \(n\) éléments (\(p=n\)) : leur nombre est \(A_n^n=n!\).

Exemple

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Combinaisons

Une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est une partie non ordonnée à \(p\) éléments choisie parmi \(n\) — leur nombre se note \(C_n^p\) (ou \(\binom{n}{p}\)) :

\[ C_n^p=\frac{A_n^p}{p!}=\frac{n!}{p!\,(n-p)!}. \]

À la différence de l'arrangement, l'ordre ne compte pas : on divise par \(p!\), le nombre de façons de réordonner les \(p\) éléments choisis.

Exemple — distinguer arrangement et combinaison

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Relations entre les \(C_n^p\) \[ C_n^p=C_n^{n-p} \qquad\text{et}\qquad C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}. \]

La première relation traduit : choisir \(p\) éléments à garder revient à choisir \(n-p\) éléments à écarter. La seconde (relation de Pascal) permet de construire chaque ligne du triangle de Pascal à partir de la précédente, sans recalculer les factorielles.

Figure — Triangle de Pascal, lignes \(n=0\) à \(n=6\)

Chaque valeur est la somme des deux valeurs juste au-dessus (relation de Pascal) : \(C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}\).

Formule du binôme \[ (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,a^{n-k}b^{k}. \]

Les coefficients \(C_n^k\) sont exactement les valeurs de la ligne \(n\) du triangle de Pascal.

Exemple — développement de \((x+2)^4\)

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