Première C · Leçon 18
Sphère, distance et surfaces de niveau
Exercices corrigés
QCM — Sphère, distance point-plan
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La sphère de centre $\Omega(2;-1;3)$ et de rayon $R=4$ a pour équation :
a) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16$ b) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$ c) $(x+2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=16$ d) $(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=8$
2) Une sphère de rayon $R=5$ est coupée par un plan situé à distance $d=3$ du centre. Le rayon du cercle d'intersection est :
a) $4$ b) $3$ c) $\sqrt{34}$ d) $2$
3) Si la distance $d$ du centre d'une sphère à un plan est égale au rayon $R$, le plan est :
a) tangent à la sphère b) sécant c) extérieur d) confondu avec la sphère
4) La distance du point $M_0(1;1;1)$ au plan $P:\ x+y+z-6=0$ est :
a) $\sqrt3$ b) $3$ c) $1$ d) $3\sqrt3$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ avec $\Omega(2;-1;3)$ et $R^2=16$.
- Réponse : a. $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.
- Réponse : a. $d=R$ correspond au cas tangent (un seul point de contact).
- Réponse : a. $d(M_0,P)=\dfrac{|1+1+1-6|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$.
Situation d'intégration — Réservoir sphérique d'une ONGProblème — Surfaces de niveau et forme canonique d'une sphère
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG installe un réservoir d'eau sphérique surélevé pour alimenter une pompe solaire. Le réservoir a un rayon $R=6$ m et son centre est au point $\Omega(0;0;10)$ dans un repère orthonormé où le sol correspond au plan $z=0$ (unité : le mètre).
Consigne :
1) Donner l'équation cartésienne de la sphère représentant le réservoir.
2) Le plancher horizontal de la plateforme technique est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=7$. Calculer la distance du centre $\Omega$ à ce plan.
3) En déduire si le plancher $P$ coupe le réservoir, lui est tangent, ou lui est extérieur — et donner, le cas échéant, le rayon du cercle d'intersection.
Problème — Surfaces de niveau et forme canonique d'une sphère
Partie A. Soit $A(2;0;0)$ et $B(-2;0;0)$.
1) Déterminer et reconnaître l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=40$.
2) Déterminer et reconnaître l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2-MB^2=16$.
Partie B. On considère la surface $S:\ x^2+y^2+z^2-4x+2y-4=0$.
3) Mettre l'équation de $S$ sous forme canonique et déterminer son centre et son rayon.
4) Le point $C(3;-2;1)$ appartient-il à $S$ ?
Voir le corrigé
- $MA^2+MB^2=(x-2)^2+y^2+z^2+(x+2)^2+y^2+z^2=2x^2+8+2y^2+2z^2$. L'égalité $=40$ donne $x^2+y^2+z^2=16$ : une sphère de centre $O(0;0;0)$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $4$.
- $MA^2-MB^2=(x-2)^2-(x+2)^2=-8x$. L'égalité $-8x=16$ donne $x=-2$ : un plan orthogonal à $(AB)$, d'équation $x=-2$.
- $x^2-4x=(x-2)^2-4$, $y^2+2y=(y+1)^2-1$. D'où $(x-2)^2-4+(y+1)^2-1+z^2-4=0 \iff (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=9$ : centre $\Omega(2;-1;0)$, rayon $R=3$.
- $(3-2)^2+(-2+1)^2+1^2=1+1+1=3\neq9$ : $C\notin S$ (et comme $3<9$, $C$ est même strictement à l'intérieur de la sphère).
Une sphère et trois plans : section, tangence, plan extérieur
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On note \(S\) l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-11=0\), et \(P\) le plan d'équation \(2x-y+2z-2=0\).
1) Démontre que \(S\) est une sphère dont tu préciseras le centre \(\Omega\) et le rayon.
2) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur le plan \(P\), puis la distance de \(\Omega\) au plan \(P\).
3) Justifie que le plan \(P\) coupe la sphère \(S\) suivant un cercle. Donne son centre et calcule son rayon.
4) Vérifie que le point \(A(5;3;3)\) appartient à \(S\), puis détermine une équation du plan \(T\) tangent à \(S\) en \(A\).
5) Le plan \(P'\) d'équation \(2x-y+2z+10=0\) est parallèle à \(P\). Coupe-t-il la sphère \(S\) ? Justifie, puis donne la plus petite distance entre un point de \(S\) et le plan \(P'\).
Forage vertical ou forage oblique jusqu'à la nappe
Un village veut creuser un forage pour atteindre une couche de roche qui contient de l'eau. L'espace est muni d'un repère orthonormé dont l'unité représente 10 m ; le sol est le plan d'équation \(z=0\) et les points situés sous le sol ont une cote \(z\) négative. Trois sondages ont atteint le dessus de la couche aux points \(A(0;0;-9)\), \(B(2;0;-10)\) et \(C(0;1;-10)\). On admet que le dessus de la couche est le plan \((ABC)\). Le forage part du point \(F(4;-2;0)\) du sol.
1) Démontre que le vecteur \(\vec{n}(1;2;2)\) est normal au plan \((ABC)\), puis qu'une équation de ce plan est \(x+2y+2z+18=0\).
2) Si l'on fore verticalement à partir de \(F\), en quel point \(V\) atteint-on la couche ? Quelle longueur de forage faut-il, en mètres ?
3) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal \(K\) de \(F\) sur le plan \((ABC)\) et calcule la distance de \(F\) à ce plan, en mètres.
4) Soit \(M\) un point quelconque du plan \((ABC)\). Justifie que \(FM^2=FK^2+KM^2\) et explique pourquoi aucun forage rectiligne partant de \(F\) ne peut être plus court que le forage \([FK]\).
5) Vérifie que le triangle \(FKV\) est rectangle en \(K\) et calcule, au dixième de degré près, l'angle que fait le forage \([FK]\) avec la verticale. Le forage vertical coûte 45 000 francs par mètre et le forage oblique 60 000 francs par mètre : lequel des deux forages \([FV]\) et \([FK]\) est le moins cher, et de combien ?
Trois surfaces de niveau construites sur un même segment
L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère les points \(A(1;-1;2)\) et \(B(5;3;4)\), et on note \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
1) Calcule les coordonnées de \(I\) et la longueur \(AB\). Démontre que, pour tout point \(M\) de l'espace, \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-9\), puis détermine l'ensemble \(E_1\) des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
2) Démontre que, pour tout point \(M\), \(MA^2+MB^2=2MI^2+18\). Détermine l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2+MB^2=b\) dans chacun des cas \(b=50\), \(b=18\) et \(b=10\).
3) Démontre que, pour tout point \(M\), \(MA^2-MB^2=2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{IM}\). Déduis-en que l'ensemble \(E_3\) des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=36\) est un plan, dont tu donneras une équation cartésienne.
4) Vérifie que \(B\) appartient à \(E_3\). Interprète alors la condition \(MA^2-MB^2=36\) à l'aide du triangle \(ABM\) et décris géométriquement le plan \(E_3\).
5) Étudie la position du plan \(E_3\) par rapport à la sphère \(E_1\), puis par rapport à la sphère obtenue à la question 2 pour \(b=50\) ; précise la nature de chaque intersection.
Une calebasse sphérique dans l'angle d'une pièce
Une grande calebasse, assimilée à une sphère \(S\) de rayon 3 dm, est rangée dans l'angle d'une pièce. L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\), dont l'unité est le décimètre : le sol est le plan d'équation \(z=0\) et les deux murs sont les plans d'équations \(x=0\) et \(y=0\). La pièce est la région où \(x\), \(y\) et \(z\) sont positifs. La calebasse touche le sol et les deux murs.
1) Justifie que le centre de la sphère est le point \(\Omega(3;3;3)\), puis démontre qu'une équation de \(S\) est \(x^2+y^2+z^2-6x-6y-6z+18=0\).
2) Pour en faire un récipient, on coupe la calebasse par le plan horizontal d'équation \(z=4{,}8\). Justifie que l'ouverture obtenue est un cercle, donne son centre et calcule son diamètre.
3) Pour protéger la calebasse, on ferme le coin avec un panneau plan contenu dans le plan \(P\) d'équation \(2x+2y+z-24=0\). Détermine le projeté orthogonal \(T\) de \(\Omega\) sur \(P\) et démontre que le panneau est tangent à la calebasse.
4) Vérifie par le calcul que \(T\) appartient à \(S\). Le point de contact avec le panneau se trouve-t-il sur la partie de la calebasse conservée après la découpe de la question 2 ? Justifie.
5) Calcule la distance du coin \(O\) de la pièce au panneau, puis la plus petite distance entre \(O\) et la calebasse, au centimètre près. Explique ton raisonnement.