Homothéties et translations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une homothétie de rapport $k=1$ est, par définition :
a) une rotation   b) une translation   c) une symétrie   d) toujours l'identité seule

2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1;2)$, rapport $k=-3$. L'image de $A(3;4)$ est :
a) $(-5;-4)$   b) $(5;4)$   c) $(7;8)$   d) $(-1;-2)$

3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=5$ est :
a) homothétie centre $\Omega$, rapport $-5$   b) homothétie centre $\Omega$, rapport $\dfrac15$   c) translation   d) homothétie centre $\Omega$, rapport $5$

4) $h_1$ de rapport $2$ et $h_2$ de rapport $\dfrac12$ (centres distincts). $h_1\circ h_2$ est :
a) une homothétie de rapport $1$   b) une translation   c) une homothétie de rapport $4$   d) l'identité

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un urbaniste agrandit le plan d'un quartier à l'aide d'une homothétie de centre le rond-point de référence $\Omega$ (origine du repère) et de rapport $k=2{,}5$, pour produire une carte plus détaillée. Sur le plan initial, un carrefour $A$ a pour coordonnées $(40;60)$ (en mètres depuis $\Omega$), et un second carrefour $B(100;60)$ est situé à $60$ m de $A$.

Consigne : Déterminer les coordonnées de l'image $A'$ de ce carrefour sur la carte agrandie, puis calculer la distance $A'B'$ sur cette carte agrandie.

Problème — Une artisane dessine un motif de tissage à partir d'un triangle $ABC$, $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(2;3)$, transformé par une homothétie $h$ de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$.

Partie A. Déterminer les coordonnées des images $A'$, $B'$, $C'$ par $h$.

Partie B. 1) Cette homothétie conserve-t-elle les angles du triangle $ABC$ ? Justifier. 2) Quel est le rapport de l'aire du triangle $A'B'C'$ sur celle du triangle $ABC$ ?

Partie C. L'artisane veut vérifier qu'elle peut retrouver le motif d'origine à partir du motif transformé. Donner le centre et le rapport de la réciproque de $h$.

Exercice 4 — Approfondissement

Dans le plan muni d'un repère, on considère $A(0;0)$ et $B(4;0)$. On note $h_1$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\dfrac13$.

1) Rappeler la nature de $h_2\circ h_1$, sachant que le produit des rapports vaut $1$.

2) Pour un point $M(x;y)$ quelconque, exprimer les coordonnées de $h_1(M)$ puis de $h_2(h_1(M))$.

3) En déduire le vecteur de la translation $h_2\circ h_1$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère l'application \(f\) qui, à tout point \(M(x;y)\), associe le point \(M'(x';y')\) tel que \(x'=-2x+6\) et \(y'=-2y-3\).

1) Démontre que \(f\) admet un unique point invariant \(\Omega\), puis que \(f\) est une homothétie dont tu préciseras le centre et le rapport.

2) Détermine l'image \(A'\) du point \(A(3;1)\), puis une équation de l'image \(D'\) de la droite \(D\) d'équation \(2x-y+1=0\).

3) Détermine une équation de l'image du cercle \(\Gamma\) de centre \(I(1;1)\) et de rayon 2.

4) Démontre que \(f\) est bijective et donne l'expression analytique de sa réciproque \(f^{-1}\). Quelle est la nature de \(f^{-1}\) ?

5) Soit \(t\) la translation de vecteur \(\vec{u}(3;6)\) et \(g=t\circ f\). Donne l'expression analytique de \(g\) et démontre que \(g\) est une homothétie dont tu préciseras le centre et le rapport. Interprète.

Soit \(ABC\) un triangle non équilatéral, \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\). On note \(G\) son centre de gravité, \(O\) le centre de son cercle circonscrit et \(H\) son orthocentre. On note \(h\) l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\).

1) Démontre que \(h(A)=A'\), \(h(B)=B'\) et \(h(C)=C'\).

2) Déduis-en l'image par \(h\) de la droite \((BC)\) et justifie que \((B'C')\) est parallèle à \((BC)\).

3) Démontre que l'image par \(h\) de la hauteur issue de \(A\) est la médiatrice de \([BC]\).

4) Déduis-en que \(h(H)=O\), puis que les points \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés et que \(\overrightarrow{GH}=-2\,\overrightarrow{GO}\).

5) Application : dans un repère orthonormé, \(A(0;6)\), \(B(-2;0)\), \(C(4;0)\). Calcule les coordonnées de \(G\) et de \(O\), déduis-en celles de \(H\) à l'aide de la question 4, puis vérifie par un calcul de produit scalaire que \(H\) est bien sur deux hauteurs du triangle.

Pour un spectacle de théâtre d'ombres, une petite lampe \(S\) éclaire un mur vertical situé à 3 m d'elle. Un marionnettiste tient une marionnette plate en carton dans un plan parallèle au mur, à 0,5 m de la lampe. On raisonne dans un plan perpendiculaire au mur contenant \(S\) ; l'ombre d'un point \(M\) de la marionnette est le point \(M'\) du mur aligné avec \(S\) et \(M\).

1) Démontre, à l'aide du théorème de Thalès, que \(\overrightarrow{SM'}=6\,\overrightarrow{SM}\) pour tout point \(M\) de la marionnette. Quelle transformation envoie la marionnette sur son ombre ?

2) La marionnette mesure 20 cm de haut. Quelle est la hauteur de son ombre ? Justifie.

3) Le metteur en scène veut une ombre de 1,50 m de haut pour cette marionnette. À quelle distance de la lampe faut-il la tenir (toujours parallèlement au mur) ?

4) La marionnette étant à nouveau à 0,5 m de la lampe, le marionnettiste la déplace parallèlement au mur, par la translation de vecteur \(\vec{u}\) avec \(\|\vec{u}\|=10\) cm. Démontre que \(h\circ t_{\vec{u}}=t_{6\vec{u}}\circ h\), où \(h\) désigne la transformation de la question 1. De combien l'ombre se déplace-t-elle ?

5) Si la marionnette avance à la vitesse de 5 cm/s parallèlement au mur, à quelle vitesse son ombre se déplace-t-elle ? Interprète pour le spectateur.

Dans un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\), on considère le cercle \(C_1\) de centre \(I(0;0)\) et de rayon 2, et le cercle \(C_2\) de centre \(J(6;0)\) et de rayon 1.

1) Démontre qu'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) transforme \(C_1\) en \(C_2\) si et seulement si elle transforme \(I\) en \(J\) et \(|k|=\dfrac{1}{2}\).

2) Détermine les coordonnées du centre \(\Omega_1\) de l'homothétie de rapport \(\dfrac{1}{2}\), puis du centre \(\Omega_2\) de l'homothétie \(h\) de rapport \(-\dfrac{1}{2}\), qui transforment \(C_1\) en \(C_2\).

3) Donne l'expression analytique de \(h\).

4) Soit \(\Delta\) la droite d'équation \(x-\sqrt{3}\,y-4=0\). Vérifie que \(\Delta\) passe par \(\Omega_2\). Démontre que \(\Delta\) coupe \(C_1\) en un seul point \(T_1\), dont tu donneras les coordonnées. Déduis-en, à l'aide de \(h\), que \(\Delta\) est aussi tangente à \(C_2\) en un point \(T_2\) à préciser.

5) Calcule la longueur \(T_1T_2\) et vérifie ce résultat par un calcul de longueurs de tangentes issues de \(\Omega_2\).