Équations trigonométriques, triangles et angle inscrit

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos u=\cos v$ équivaut à :
a) $u=v+2k\pi$ ou $u=-v+2k\pi$   b) $u=v+k\pi$   c) $u=v$ uniquement   d) $u=\pi-v$

2) Dans un triangle $ABC$ ($a=BC$, $b=AC$, $c=AB$), la loi des cosinus s'écrit :
a) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$   b) $a^2=b^2+c^2$   c) $a=b+c$   d) $a^2=b^2-c^2$

3) L'angle inscrit interceptant un arc vaut, par rapport à l'angle au centre interceptant le même arc :
a) le double   b) la moitié   c) le même angle   d) le tiers

4) L'équation $2\cos x-1=0$ admet, sur $[0;2\pi[$ :
a) $1$ solution   b) $2$ solutions   c) $3$ solutions   d) $0$ solution

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre doit établir le bornage d'un terrain triangulaire $ABC$. Il mesure $AB=c=8$ dam, $AC=b=6$ dam, et un angle en $A$ de $110°$.

Consigne : Calculer la distance $BC=a$ (à $0{,}01$ dam près) à l'aide de la loi des cosinus, puis calculer l'aire du terrain triangulaire (à $0{,}01$ dam² près).

Exercice 4 — Approfondissement

Résoudre dans $[0;2\pi[$ l'équation $2\cos^2x-\cos x-1=0$.

Problème.

Partie A. Résoudre sur $[0;2\pi[$ : $\sin(2x)=\sin\left(\dfrac\pi4\right)$.

Partie B. Un triangle $ABC$ a pour côtés $a=5$, $b=6$, $c=7$. 1) Calculer $\cos\widehat A$. 2) En déduire $\widehat A$ en degrés (arrondi à l'unité). 3) Calculer l'aire du triangle (arrondie au dixième).

Partie C. Dans un cercle de centre $O$, l'angle inscrit interceptant un arc $AB$ vaut $35°$. Quel est l'angle au centre interceptant le même arc ?

Trois villages A, B et C sont reliés deux à deux par des pistes rectilignes. On sait que \(AB=15\) km, \(AC=7\) km et que l'angle \(\widehat{BAC}\) mesure \(60^\circ\). La commune veut installer une antenne-relais en un point O situé à égale distance des trois villages.

1) Calcule la longueur \(BC\) de la piste qui relie les villages B et C.

2) Calcule \(\cos\widehat{ACB}\). Que peux-tu en déduire sur l'angle \(\widehat{ACB}\) ? Donne sa mesure arrondie au dixième de degré.

3) Calcule l'aire exacte du triangle ABC, puis déduis-en la distance du village A à la piste (BC), arrondie au centième de kilomètre.

4) Le point O est le centre du cercle qui passe par A, B et C ; on note \(R\) son rayon. Justifie que \(\widehat{BOC}=120^\circ\), puis calcule \(R\) en appliquant la relation d'Al-Kashi dans le triangle OBC. Donne la valeur exacte de \(R\) et son arrondi au centième.

5) L'antenne sera-t-elle à l'intérieur du triangle ABC ? Justifie ta réponse à l'aide de l'angle \(\widehat{ACB}\) et du théorème de l'angle inscrit, puis calcule la distance de O à la piste (AB), arrondie au centième.

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x\). Dans tout l'exercice, on cherche les solutions dans l'intervalle \(I=\left]-\pi\,;\pi\right]\).

1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=2\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)\).

2) Résous dans \(\mathbb{R}\), puis dans \(I\), l'équation \(f(x)=1\).

3) Résous dans \(I\) l'inéquation \(f(x)\geq 1\). Tu pourras t'aider du cercle trigonométrique.

4) Justifie que \(f(x)\leq 2\) pour tout réel \(x\), puis détermine la valeur de \(x\) dans \(I\) pour laquelle \(f(x)=2\).

5) En remarquant que \(\sin x=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\), résous dans \(I\) l'équation \(f(x)=2\sin x\). Vérifie les solutions trouvées en calculant les deux membres.

Sur un cercle de centre O et de rayon 4 cm, on place trois points A, B et C tels que le point O soit à l'intérieur du triangle ABC, avec \(\widehat{AOB}=90^\circ\) et \(\widehat{BOC}=120^\circ\).

1) Calcule \(\widehat{AOC}\), puis détermine les trois angles du triangle ABC en justifiant par le théorème de l'angle inscrit.

2) Calcule les valeurs exactes de \(AB\) et de \(BC\) à l'aide des triangles OAB et OBC.

3) En écrivant \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\), calcule la valeur exacte de \(\sin 75^\circ\). Déduis-en la valeur exacte de \(AC\) à l'aide de la loi des sinus dans le triangle ABC.

4) Calcule l'aire exacte du triangle ABC. Contrôle ton résultat en additionnant les aires des triangles OAB, OBC et OCA.

5) On note D le point du cercle diamétralement opposé à B. Détermine, en justifiant, les angles \(\widehat{BAD}\), \(\widehat{ADB}\) et \(\widehat{ADC}\), puis calcule \(AD\). Quelle relation constates-tu entre \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ADC}\) ?

La station météo d'un village sahélien a relevé la température pendant une journée de saison chaude. On la modélise, pour \(t\) dans l'intervalle \([0\,;24]\) (\(t\) en heures, \(t=0\) à minuit), par \[T(t)=30-8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}-\dfrac{\pi}{4}\right),\] où \(T(t)\) est en degrés Celsius.

1) Calcule \(T(3)\), \(T(15)\) et la valeur exacte de \(T(0)\), puis son arrondi au dixième.

2) Justifie que, pour tout \(t\) de \([0\,;24]\), \(22\leq T(t)\leq 38\). Interprète ce résultat avec les valeurs de la question 1.

3) Résous dans \([0\,;24]\) l'équation \(T(t)=30\).

4) Les maraîchers évitent d'arroser quand la température est d'au moins 34 degrés. Résous dans \([0\,;24]\) l'inéquation \(T(t)\geq 34\) et interprète le résultat.

5) Résous dans \([0\,;24]\) l'inéquation \(T(t)\lt 26\). Pendant combien d'heures au total la température est-elle strictement inférieure à 26 degrés ?