Comportement global et raisonnement par récurrence

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $v_n=\dfrac n{n+3}$. Cette suite est majorée par :
a) $1$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $n$

2) Soit $w_n=50-7n$. Le sens de variation de $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) non monotone

3) Dans une démonstration par récurrence, la deuxième étape s'appelle :
a) Initialisation   b) Hérédité   c) Conclusion   d) Réciproque

4) Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n$ : elle est dite :
a) monotone   b) majorée   c) périodique de période $p$   d) bornée

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.

Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.

Problème — Un laboratoire étudie l'effet d'un traitement antibiotique sur une population bactérienne. Le nombre de bactéries après $n$ heures, noté $u_n$, vérifie $u_0=1\,000$ et $u_{n+1}=2u_n-500$ pour tout $n$.

Partie A. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.

Partie B. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n=500\times2^n+500$.

Partie C. D'après la formule de la partie B, quel est le comportement de $u_n$ lorsque $n$ devient très grand ? Que peut-on en conclure sur l'efficacité de ce traitement pour éradiquer la population bactérienne à long terme ?

Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(P(n)\) la propriété : « \(1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ».

1) Vérifie la propriété pour \(n=1\), \(n=2\) et \(n=3\). Ces vérifications suffisent-elles à la démontrer pour tout \(n\) ?

2) Rédige l'étape d'initialisation du raisonnement par récurrence.

3) Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1 tel que \(P(k)\) soit vraie. Démontre que \(P(k+1)\) est vraie.

4) Rédige la conclusion, puis calcule \(1^2+2^2+\dots+20^2\).

5) Déduis-en la valeur de \(2^2+4^2+6^2+\dots+40^2\).

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}\).

1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite et sur un majorant ?

2) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\lt 6\).

3) Exprime \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\) et déduis-en le sens de variation de la suite.

4) Justifie que la suite \((u_n)\) est bornée et donne un encadrement de \(u_n\) valable pour tout \(n\).

5) On pose \(v_n=6-u_n\). Démontre que la suite \((v_n)\) est géométrique, puis exprime \(u_n\) en fonction de \(n\). Contrôle la formule avec \(u_3\).

Cet exercice utilise trois fois le raisonnement par récurrence et montre le rôle de chacune de ses étapes.

1) Calcule \(4^n-1\) pour \(n=1\), 2 et 3. Que remarques-tu ?

2) Vérifie que, pour tout entier \(k\), \(4^{k+1}-1=4(4^k-1)+3\). Démontre alors par récurrence que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(4^n-1\) est divisible par 3.

3) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(2^n\geq n+1\).

4) On note \(Q(n)\) la propriété « \(4^n+1\) est divisible par 3 ». Vérifie que \(4^{k+1}+1=4(4^k+1)-3\) et démontre que \(Q\) est héréditaire.

5) Calcule \(4^n+1\) pour \(n=0\), 1 et 2. La propriété \(Q(n)\) est-elle vraie pour au moins un de ces entiers ? Que montre cet exemple sur le raisonnement par récurrence ?

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{3n+1}{n+2}\).

1) Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

2) Démontre que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5}{(n+2)(n+3)}\) et déduis-en le sens de variation de la suite.

3) Vérifie que \(u_n=3-\dfrac{5}{n+2}\). Déduis-en que la suite est majorée par 3, puis qu'elle est bornée.

4) À partir de quel rang a-t-on \(u_n\gt 2{,}9\) ?

5) On considère une autre suite, \((p_n)\), définie par \(p_0=2\) et \(p_{n+1}=\dfrac{1}{1-p_n}\). Calcule \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\) et \(p_4\). Que constates-tu ? Donne \(p_{100}\). Cette suite est-elle monotone ? Est-elle bornée ?