Comportement global et limites d'une fonction

Exercice 1 — QCM autour de $s(x)=\dfrac{5x+2}{x-3}$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $s(x)$ s'écrit sous la forme $a+\dfrac{b}{x-3}$ avec :
a) $s(x)=5+\dfrac{17}{x-3}$   b) $s(x)=5+\dfrac{2}{x-3}$   c) $s(x)=5-\dfrac{17}{x-3}$   d) $s(x)=5+\dfrac{15}{x-3}$

2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}s(x)$ vaut :
a) $5$   b) $0$   c) $+\infty$   d) $17$

3) $\displaystyle\lim_{x\to3^+}s(x)$ vaut :
a) $+\infty$   b) $-\infty$   c) $5$   d) $0$

4) L'asymptote verticale de la courbe de $s$ est la droite d'équation :
a) $x=3$   b) $x=5$   c) $y=5$   d) $y=3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise de transformation de céréales modélise le coût moyen de production (en FCFA par sac), en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour, par $C(x)=\dfrac{2000x+150\,000}{x}$ pour $x\in[1;+\infty[$ (nombre entier de sacs).

Consigne :

1) Écrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac bx$.

2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$, et interpréter ce résultat pour le gérant en termes de coût moyen minimal envisageable.

3) Combien de sacs faut-il produire par jour au minimum pour que le coût moyen descende strictement sous $2\,050$ FCFA par sac ?

Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.

Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?

2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.

3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Détermine l'ensemble de définition \(D_f\) de \(f\), puis trouve trois réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(f(x)=ax+b+\frac{c}{x-2}\).

2) Explique pourquoi le calcul direct de la limite de \(f\) en \(+\infty\) conduit à une forme indéterminée, puis calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3) Calcule les limites de \(f\) à gauche et à droite en 2. Interprète graphiquement.

4) Démontre que la droite \(\Delta\) d'équation \(y=2x+1\) est asymptote à \(\mathcal{C}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis étudie la position relative de \(\mathcal{C}\) et de \(\Delta\).

5) Démontre que pour tout \(x\) de \(D_f\), \(4-x\) appartient à \(D_f\) et \(f(4-x)+f(x)=10\). Interprète ce résultat à l'aide du point \(\Omega(2;5)\), intersection des deux asymptotes.

On sert un thé chaud dans une pièce. On modélise sa température (en °C) au bout de \(t\) minutes par \(T(t)=\frac{25t+170}{t+2}\), pour \(t\geq0\).

1) Calcule la température du thé au moment où on le sert. Démontre que pour tout \(t\geq0\), \(T(t)=25+\frac{120}{t+2}\).

2) En décomposant \(T\) à l'aide des fonctions \(t\mapsto t+2\), \(u\mapsto\frac{1}{u}\), puis d'une multiplication par 120 et d'une addition de 25, démontre que \(T\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).

3) Calcule \(\lim\limits_{t\to+\infty}T(t)\). Interprète graphiquement et physiquement ce résultat, puis justifie que le thé reste toujours plus chaud que la pièce.

4) On estime que le thé est buvable dès que sa température est au plus 45 °C. Au bout de combien de temps est-il buvable ? Au bout de combien de temps sa température est-elle au plus 30 °C ?

5) Démontre que, pour \(t\gt0\), la vitesse moyenne de variation de la température entre les instants 0 et \(t\) vaut \(v(t)=\frac{T(t)-T(0)}{t}=-\frac{60}{t+2}\). Calcule les limites de \(v\) en \(0\) et en \(+\infty\) et interprète-les.

On considère la fonction \(g\) définie par \(g(x)=\sqrt{x^2+4x}-x\) et on note \(\Gamma\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Détermine l'ensemble de définition \(D_g\) de \(g\).

2) Justifie que la limite de \(g\) en \(+\infty\) se présente sous une forme indéterminée, puis démontre que \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=2\). Interprète graphiquement.

3) Démontre que pour tout \(x\geq0\), \(g(x)-2=\frac{-4}{\sqrt{x^2+4x}+x+2}\). Déduis-en la position de \(\Gamma\) par rapport à la droite d'équation \(y=2\) sur \([0;+\infty[\).

4) Calcule la limite de \(g\) en \(-\infty\).

5) Démontre que pour tout \(x\leq-4\), \(g(x)-(-2x-2)=\frac{-4}{\sqrt{x^2+4x}-x-2}\). Déduis-en que la droite \(D\) d'équation \(y=-2x-2\) est asymptote à \(\Gamma\) en \(-\infty\) et précise leur position relative.

6) Résous dans \(D_g\) l'équation \(g(x)=1\).

Sur l'intervalle \(I=]1;+\infty[\), on considère les fonctions \(f(x)=\frac{x+3}{x-1}\) et \(h(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}\), de sorte que \(h\) est la composée de \(f\) suivie de la fonction racine carrée.

1) Démontre que pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)=1+\frac{4}{x-1}\). Déduis-en que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) et que \(f(x)\gt1\) pour tout \(x\) de \(I\).

2) Justifie que \(h\) est bien définie sur \(I\) et démontre qu'elle est strictement décroissante sur \(I\).

3) Calcule les limites de \(h\) en \(1\) (à droite) et en \(+\infty\). Déduis-en les asymptotes à la courbe de \(h\) et la position de cette courbe par rapport à son asymptote horizontale.

4) Résous dans \(I\) l'inéquation \(h(x)\leq\sqrt{2}\).

5) Démontre que pour tout \(x\) de \(I\), \(h(x)-1=\frac{4}{(x-1)\left(h(x)+1\right)}\). Déduis-en \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(h(x)-1\right)\) et interprète ce résultat pour les grandes valeurs de \(x\).