Bases orthonormées et angle de deux vecteurs

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\vec u(3;4)$ et $\vec v(4;-3)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $0$   b) $24$   c) $-24$   d) $25$

2) Deux vecteurs $\vec u$, $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u\cdot\vec v=1$

3) $\vec u(5;12)$, $\vec v(12;-5)$. Ces deux vecteurs sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

4) $\vec u(1;0)$, $\vec v(0;1)$. $\sin(\vec u,\vec v)$ vaut :
a) $0$   b) $-1$   c) $1$   d) $\dfrac12$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien de télécommunications installe deux antennes directionnelles sur un pylône. Dans un repère orthonormé direct lié au pylône (unité : mètre), les directions de rayonnement des deux antennes sont données par $\vec u(6;8)$ et $\vec v(-8;6)$.

Consigne : Calculer $\vec u\cdot\vec v$ et $\det(\vec u,\vec v)$, en déduire $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\vec u,\vec v)$, puis déterminer si les deux antennes rayonnent dans des directions orthogonales, comme l'exige le cahier des charges du fournisseur pour éviter les interférences.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(0;0)$, $B(6;2)$, $C(1;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés (arrondie à l'unité).

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Le plan est orienté et muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\). On pose \(\vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i}+\frac{1}{2}\vec{j}\) et \(\vec{v}=-\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{j}\).

1) Démontre que \((\vec{u},\vec{v})\) est une base orthonormée, puis qu'elle est directe en calculant une mesure de l'angle orienté \((\vec{u},\vec{v})\).

2) Le point \(M\) a pour coordonnées \((2;2\sqrt{3})\) dans le repère \((O;\vec{u},\vec{v})\). Calcule ses coordonnées dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\) et interprète le résultat à l'aide de la distance \(OM\) et de l'angle \((\vec{u},\overrightarrow{OM})\).

3) Le point \(N\) a pour coordonnées \((-2;2)\) dans le repère \((O;\vec{i},\vec{j})\). En résolvant un système, détermine ses coordonnées \((x';y')\) dans le repère \((O;\vec{u},\vec{v})\).

4) Détermine la mesure principale de \((\vec{u},\overrightarrow{ON})\). En utilisant la question 3, déduis-en les valeurs exactes de \(\cos\frac{7\pi}{12}\) et \(\sin\frac{7\pi}{12}\).

5) Détermine les mesures principales de \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})\) et de \((\overrightarrow{OM},-\overrightarrow{ON})\). La base \((\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM})\) est-elle directe ? Justifie.

Un drone surveille un champ. Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\), le vecteur \(\vec{i}\) indiquant l'est ; l'unité est l'hectomètre. Le cap d'un déplacement est la mesure principale de l'angle \((\vec{i},\vec{w})\), où \(\vec{w}\) est le vecteur déplacement. Le drone part de \(O\), parcourt 4 hm au cap \(\frac{\pi}{6}\) jusqu'en \(A\), puis 4 hm au cap \(\frac{5\pi}{6}\) jusqu'en \(B\), puis \(2\sqrt{2}\) hm au cap \(-\frac{3\pi}{4}\) jusqu'en \(C\).

1) Calcule les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\).

2) Détermine les mesures principales des angles \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB})\) et \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})\). Interprète-les comme des changements de direction du drone (vers la gauche ou vers la droite, et de combien).

3) Détermine la mesure principale de \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\) et démontre que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

4) Le drone revient en ligne droite de \(C\) à \(O\). Calcule la distance à parcourir, le cap à suivre et la mesure principale de \((\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CO})\).

5) Arrivé en \(O\), il reprend le cap initial. Calcule la mesure principale de \((\overrightarrow{CO},\overrightarrow{OA})\), puis démontre que la somme des quatre changements de direction vaut \(2\pi\).

Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\) d'origine \(O\). Pour tout entier naturel \(n\), on définit le point \(M_n\) par \(OM_n=r_n\) et \((\vec{i},\overrightarrow{OM_n})=\frac{n\pi}{6}\), où \(r_0=1\) et \(r_{n+1}=2r_n\).

1) Exprime \(r_n\) en fonction de \(n\), puis calcule les coordonnées de \(M_0\), \(M_1\) et \(M_2\).

2) Détermine les mesures principales de \((\vec{i},\overrightarrow{OM_{17}})\) et de \((\vec{i},\overrightarrow{OM_{40}})\). Démontre que, pour tout \(n\), le point \(M_{n+12}\) appartient à la demi-droite \([OM_n)\).

3) Démontre que la base \((\overrightarrow{OM_n},\overrightarrow{OM_{n+1}})\) est directe et que le triangle \(OM_nM_{n+3}\) est rectangle en \(O\). Exprime son aire \(\mathcal{A}_n\) en fonction de \(n\).

4) Calcule \(\mathcal{A}_0+\mathcal{A}_1+\cdots+\mathcal{A}_5\).

5) Détermine tous les entiers \(n\) pour lesquels \((\overrightarrow{OM_0},\overrightarrow{OM_n})\) a pour mesure principale \(-\frac{\pi}{2}\), puis ceux pour lesquels \(M_n\) est sur la demi-droite d'origine \(O\) dirigée par \(-\vec{i}\).

Le plan est muni d'une base orthonormée directe \((\vec{i},\vec{j})\). On considère les vecteurs \(\vec{a}(\sqrt{3};1)\), \(\vec{b}(-1;\sqrt{3})\) et, pour tout réel \(m\), \(\vec{w}_m(m;1)\).

1) Calcule \(\|\vec{a}\|\) et \(\|\vec{b}\|\), puis les mesures principales de \((\vec{i},\vec{a})\), \((\vec{i},\vec{b})\) et \((\vec{a},\vec{b})\). Déduis-en que \(\left(\frac{1}{2}\vec{a},\frac{1}{2}\vec{b}\right)\) est une base orthonormée directe.

2) Détermine le réel \(m\) tel que \((\vec{i},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(\frac{\pi}{3}\). Tu résoudras une équation avec radical.

3) Détermine le réel \(m\) tel que \((\vec{a},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(\frac{\pi}{2}\). Existe-t-il un réel \(m\) tel que \((\vec{a},\vec{w}_m)\) ait pour mesure \(-\frac{\pi}{2}\) ? Justifie.

4) Démontre que la base \((\vec{a},\vec{w}_m)\) est directe si et seulement si \(m\lt\sqrt{3}\). Que se passe-t-il pour \(m=\sqrt{3}\) ?

5) Pour la valeur de \(m\) trouvée à la question 2, détermine les mesures principales de \((\vec{a},\vec{w}_m)\) et de \((-\vec{a},\vec{w}_m)\).