Première A · Leçon 4
Suites numériques : génération et variation
Exercices corrigés
QCM — Génération et variation d’une suite
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5 b) 7 c) 9 d) 1
2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19 b) 22 c) 25 d) 7
3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$ b) $2$ c) $-2n$ d) $8$
4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante b) décroissante c) constante d) on ne peut pas savoir
Situation d’intégration — Programme de reboisement
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).
Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.
Situation d'intégration — Suivi des pannes de pompes villageoises
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une ONG installe des pompes à eau villageoises dans la région du Sahel. Elle modélise la proportion de pompes en panne après $n$ mois de fonctionnement par $p_n=\dfrac n{n+2}$.
Consigne : Montrer que cette proportion reste toujours strictement inférieure à $1$ (majorée par $1$), montrer qu'elle est croissante, et interpréter ces deux résultats pour la maintenance à long terme du réseau de pompes.
Voir le corrigé
- Majoration. Pour tout $n\geqslant0$, $p_n=\dfrac n{n+2}<\dfrac{n+2}{n+2}=1$ : la proportion est majorée par $1$.
- Monotonie. $p_{n+1}-p_n=\dfrac{n+1}{n+3}-\dfrac n{n+2}=\dfrac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\dfrac{n^2+3n+2-n^2-3n}{(n+3)(n+2)}=\dfrac2{(n+3)(n+2)}>0$ : la suite est croissante.
- Interprétation. D'après ce modèle, la proportion de pompes en panne n'atteint jamais $100\%$ (majoration), mais elle augmente continuellement avec le temps (croissance) : le réseau se dégrade progressivement et nécessite une maintenance de plus en plus soutenue, sans jamais tomber totalement hors service selon cette seule modélisation.
Problème — Suites et conjecture
Problème.
Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.
Voir le corrigé
- $u_0=f(0)=-1$, $u_1=f(1)=2-1=1$, $u_2=f(2)=8-1=7$.
- $u_{n+1}-u_n=2(n+1)^2-1-(2n^2-1)=2(n^2+2n+1)-2n^2=4n+2$. Pour tout $n\geqslant0$, $4n+2>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
- $v_1=2\times3-1=5$, $v_2=2\times5-1=9$, $v_3=2\times9-1=17$, $v_4=2\times17-1=33$.
- Écarts consécutifs : $5-3=2$, $9-5=4$, $17-9=8$, $33-17=16$ — ces écarts doublent à chaque étape ($2,4,8,16$, soit $2^{n+1}$). On conjecture $v_n=2^{n+1}+1$.
- Vérification : $n=0$, $2^1+1=3=v_0$ ✓ ; $n=1$, $2^2+1=5=v_1$ ✓ ; $n=2$, $2^3+1=9=v_2$ ✓ ; $n=3$, $2^4+1=17=v_3$ ✓ ; $n=4$, $2^5+1=33=v_4$ ✓ — la conjecture est vérifiée sur les cinq premiers termes.
L'épargne de Fatou pour un vélo
Fatou possède 3 000 francs dans sa tirelire. À partir de maintenant, elle y dépose 750 francs à la fin de chaque semaine. On note \(u_n\) la somme, en francs, contenue dans la tirelire au bout de \(n\) semaines. Ainsi \(u_0=3\,000\).
1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\), puis écris la relation qui permet de passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\).
2) En observant comment on obtient les premiers termes, propose une formule donnant \(u_n\) directement en fonction de \(n\). Contrôle-la pour \(n=3\).
3) Étudie le sens de variation de la suite \((u_n)\).
4) Le vélo que Fatou veut acheter coûte 15 000 francs. Au bout de combien de semaines pourra-t-elle l'acheter ?
5) Fatou affirme : « Un jour, ma tirelire contiendra exactement 20 000 francs. » A-t-elle raison ? Justifie ta réponse à l'aide de la formule de la question 2.
Une suite qui descend puis remonte
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=n^2-8n+10\).
1) Calcule les six premiers termes, de \(u_0\) à \(u_5\). La suite semble-t-elle croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre ?
2) Démontre que, pour tout entier \(n\), \(u_{n+1}-u_n=2n-7\).
3) Étudie le signe de \(2n-7\) selon les valeurs de l'entier \(n\) et déduis-en les variations de la suite.
4) Quel est le plus petit terme de la suite ? Vérifie que \(u_n=(n-4)^2-6\) et explique pourquoi aucun terme de la suite n'est inférieur à \(-6\).
5) Pour quels rangs \(n\) a-t-on \(u_n=10\) ? Explique pourquoi ce résultat est cohérent avec les variations trouvées.
D'une relation de récurrence à une formule directe
On définit la suite \((w_n)\) par \(w_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(w_{n+1}=2w_n+3\).
1) Calcule \(w_1\), \(w_2\), \(w_3\) et \(w_4\).
2) On pose \(t_n=w_n+3\). Calcule \(t_0\), \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\) et \(t_4\). Que remarques-tu ? Propose alors une formule donnant \(w_n\) en fonction de \(n\).
3) Calcule \(w_5\) de deux façons : avec la relation de récurrence, puis avec la formule proposée. Que peut-on en conclure, et que ne peut-on pas encore affirmer ?
4) Justifie que \(w_{n+1}-w_n=w_n+3\), puis explique pourquoi la suite \((w_n)\) est croissante.
5) En admettant la formule de la question 2, détermine le premier rang \(n\) pour lequel \(w_n\) dépasse 1 000.
Les progrès d'une apprentie couturière
Dans un atelier de couture, on a observé qu'une apprentie coud en moyenne \(u_n=\dfrac{6n}{n+2}\) pagnes par jour après \(n\) semaines de formation, \(n\) étant un entier naturel.
1) Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_4\) et \(u_{10}\).
2) Vérifie que, pour tout entier \(n\), \(u_n=6-\dfrac{12}{n+2}\).
3) Démontre que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{12}{(n+2)(n+3)}\) et déduis-en le sens de variation de la suite.
4) Justifie que \(0\leq u_n\lt 6\) pour tout \(n\). L'apprentie peut-elle arriver à coudre 6 pagnes par jour en moyenne ?
5) Au bout de combien de semaines l'apprentie coud-elle au moins 5,5 pagnes par jour en moyenne ? Interprète l'ensemble des résultats de l'exercice.