Première A · Leçon 5
Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=u_n+r\) (on ajoute toujours la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0+p\,r. \]\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=q\times u_n\) (on multiplie toujours par la même quantité). Terme de rang \(p\) :
\[ u_p=u_0\times q^p. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure — Croissance arithmétique et géométrique comparées
Suite arithmétique \(u_0=2\), \(r=3\) (points navy) contre suite géométrique \(v_0=2\), \(q=2\) (points dorés) : même point de départ, croissances très différentes.
Pour une suite arithmétique, la somme des termes de rang \(0\) à \(n\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}2. \]Pour une suite géométrique de raison \(q\neq1\) :
\[ S=u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}. \]Deux cas particuliers très utiles (avec premier terme \(1\)) :
\[ 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2, \qquad 1+a+a^2+\cdots+a^n=\dfrac{a^{n+1}-1}{a-1}. \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
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