Première A · Leçon 7
Comportement global et limites d'une fonction
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Pour \(f\), \(g\) définies sur un même ensemble et \(\lambda\) réel, on note \(\lambda f\), \(f+g\), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\). On compare deux fonctions par le calcul (\(f\leqslant g \iff f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\)) ou graphiquement, en comparant leurs courbes.
À partir de la courbe \((C)\) d'une fonction \(f\), on peut : lire des valeurs \(f(a)\) ; dresser le tableau de variations ; repérer un éventuel centre ou axe de symétrie ; déterminer l'image d'un intervalle ; résoudre graphiquement \(f(x)=\lambda\).
Soit \(r(x)=-(x+2)^2+9\), définie sur \(\mathbb R\). La courbe de \(r\) est symétrique par rapport à la droite \(x=-2\) (axe de symétrie), avec un maximum \(r(-2)=9\). Elle est croissante sur \(]-\infty;-2]\), décroissante sur \([-2;+\infty[\). Résolution graphique de \(r(x)=0\) : \((x+2)^2=9\Leftrightarrow x+2=\pm3\Leftrightarrow x=1\) ou \(x=-5\).
Figure — Courbe de \(r(x)=-(x+2)^2+9\)
Axe de symétrie \(x=-2\) (pointillé), maximum en \((-2;9)\), zéros en \(x=-5\) et \(x=1\).
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Pour les fonctions de référence \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt x\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1{x^2}\), on connaît leur comportement quand \(|x|\) devient grand. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe.
Comme pour \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) en \(0\), une fonction peut avoir une limite infinie en un réel \(a\) (borne de son ensemble de définition). La droite \(x=a\) est alors asymptote verticale à la courbe.
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction.
Soit \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+2=2(x-1)+4\), on obtient :
\[ k(x)=2+\dfrac4{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac4{x-1}\to0\), donc \(k(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale. Quand \(x\to1^+\), \(\dfrac4{x-1}\to+\infty\) donc \(k(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to1^-\), \(k(x)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Figure — Courbe de \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Résumé
Valeurs, tableau de variations, symétrie, image d'un intervalle.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
Combiner les limites de chaque fonction (admis).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{x-3}{x+1}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(1+\dfrac c{x+1}\), puis déterminer les limites de \(s\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
\(x-3=(x+1)-4\), donc \(s(x)=1-\dfrac4{x+1}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(s(x)\to1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale.
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-1)^-\) et en \((-1)^+\), puis en déduire une asymptote.
Quand \(x\to(-1)^+\), \(x+1\to0^+\), donc \(\dfrac4{x+1}\to+\infty\) et \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-1)^-\), \(s(x)\to+\infty\). La droite \(x=-1\) est asymptote verticale.
Question 3. Soit \(t(x)=-(x-1)^2+4\). Donner son tableau de variations et l'axe de symétrie de sa courbe.
Axe de symétrie \(x=1\), maximum \(t(1)=4\). \(t\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\).