Première A · Leçon 8

Dérivation : nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

De la sécante à la tangente

Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite mesure son inclinaison. En observant, sur des exemples, une droite qui joint deux points de plus en plus rapprochés d'une courbe (une sécante), on constate qu'elle se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe en ce point.

Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\), est défini comme le coefficient directeur de cette tangente. Si \(f\) admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle \(I\), on obtient la fonction dérivée \(f'\) sur \(I\).

Équation de la tangente \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées des fonctions usuelles (admises)

Fonction	Dérivée
\(ax+b\)	\(a\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\) (\(n\in\mathbb N^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\dfrac1x\)	\(-\dfrac1{x^2}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)

Règles de calcul (admises)

\((\lambda f)'=\lambda f'\) ; \((f+g)'=f'+g'\) ; \((fg)'=f'g+fg'\) ; \(\left(\dfrac1f\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}\) ; \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée et tangente

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Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(k'(a)\) se mettent à jour en temps réel.