Suites arithmétiques et géométriques

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Suite arithmétique de premier terme $u_0=10$ et de raison $r=-4$. $u_7$ vaut :
a) $-18$   b) $18$   c) $-30$   d) $38$

2) Suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. $u_4$ vaut :
a) 40   b) 80   c) 20   d) 160

3) Suite arithmétique $u_0=3$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ (10 termes) vaut :
a) 120   b) 210   c) 240   d) 110

4) $1+2+\cdots+15$ vaut :
a) 105   b) 120   c) 135   d) 225

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan dépose $30\,000$ FCFA sur un compte d'épargne la première année. Chaque année suivante, il augmente son dépôt de $10\%$ par rapport à l'année précédente : les dépôts successifs suivent donc une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1{,}1$, avec $u_0=30\,000$.

Consigne : Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_4$ (dépôt de la 5^e année, arrondi au FCFA près), puis calculer la somme totale déposée sur 5 ans ($u_0$ à $u_4$, arrondie au FCFA près).

Problème.

Partie A. Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=6$ et pour raison $r=5$.
1) Calculer $u_{15}$.
2) Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Partie B. Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=4$ et pour raison $q=\dfrac12$.
3) Calculer $v_5$.
4) Calculer la somme $T=v_0+v_1+\cdots+v_5$.

Partie C.
5) Sans calcul supplémentaire, comparer en une phrase le comportement des deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ pour de grandes valeurs de $n$.

Le club environnement d'un lycée lance une campagne de reboisement. La première semaine, les élèves plantent 12 arbres ; ensuite, chaque semaine, ils plantent 4 arbres de plus que la semaine précédente. On note \(u_n\) le nombre d'arbres plantés pendant la \(n\)-ième semaine, pour \(n\ge 1\), et \(S_n=u_1+u_2+\dots+u_n\) le nombre total d'arbres plantés pendant les \(n\) premières semaines.

1) Justifie que \((u_n)\) est une suite arithmétique dont tu donneras le premier terme et la raison. Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\).

2) Combien d'arbres sont plantés pendant la 10e semaine ? Pendant quelle semaine plante-t-on exactement 60 arbres ?

3) Calcule le nombre total d'arbres plantés pendant les 10 premières semaines.

4) Montre que, pour tout \(n\ge 1\), \(S_n=2n^2+10n\).

5) L'objectif du club est de planter 1 000 arbres au total. Vérifie que cet objectif est atteint exactement à la fin de la 20e semaine et interprète ce résultat.

Une association publie une annonce sur un réseau social. Le premier jour, 5 personnes la partagent. Chaque jour suivant, le nombre de nouveaux partages est le triple de celui de la veille. On note \(v_n\) le nombre de nouveaux partages le \(n\)-ième jour, pour \(n\ge 1\) ; ainsi \(v_1=5\).

1) Justifie que \((v_n)\) est une suite géométrique ; précise sa raison et exprime \(v_n\) en fonction de \(n\).

2) Calcule \(v_2\), \(v_3\), \(v_4\) et \(v_5\).

3) Calcule le nombre total de partages pendant les 5 premiers jours de deux façons : en additionnant les termes, puis avec la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

4) À partir de quel jour le nombre de nouveaux partages dépasse-t-il 10 000 ? Justifie en calculant des termes.

5) Calcule le nombre total de partages à la fin du 8e jour et interprète ce résultat pour l'association.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=5\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=3u_n-4\). On pose, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=u_n-2\).

1) Calcule \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifie.

2) Montre que \(v_{n+1}=3v_n\) pour tout \(n\). Déduis-en la nature de la suite \((v_n)\), sa raison et son premier terme.

3) Exprime \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\). Vérifie ta formule avec la valeur de \(u_3\) trouvée à la question 1.

4) Calcule \(v_0+v_1+v_2+v_3+v_4\), puis déduis-en \(u_0+u_1+u_2+u_3+u_4\).

5) Calcule \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(n\) et déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\).

Un artisan emprunte 168 000 F à un proche pour acheter une machine à coudre. Il rembourse 30 000 F le premier mois, puis chaque mois 2 000 F de moins que le mois précédent. On note \(u_n\) le montant (en francs) remboursé le \(n\)-ième mois, pour \(n\ge 1\), et \(S_n\) le montant total remboursé après \(n\) mois.

1) Précise la nature de la suite \((u_n)\), sa raison, et montre que \(u_n=32000-2000n\).

2) Calcule \(u_7\). Au cours de quel mois l'artisan rembourserait-il seulement 10 000 F ?

3) Montre que \(S_n=31000n-1000n^2\).

4) Calcule \(S_6\) et \(S_7\). Déduis-en le nombre de mois nécessaires pour rembourser toute la dette et le montant de la dernière mensualité.

5) Un ami lui propose plutôt de rembourser la même somme par mensualités constantes sur la même durée. Calcule cette mensualité constante et interprète-la à l'aide de la première et de la dernière mensualité.