Première A · Leçon 6
Statistiques : caractéristiques de dispersion
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Moyenne d'une série statistique
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
QCM — Caractéristiques de dispersion
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Série : $3,5,7,9$. L'étendue vaut :
a) 4 b) 6 c) 9 d) 3
2) Série de moyenne 8 : $6,7,9,10$. L'écart-moyen vaut :
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 6
3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\dfrac1n\sum x_i-\bar x$ b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$ c) $V=\sqrt{\dfrac1n\sum x_i^2}$ d) $V=\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i$
4) Si $\sigma=3$, alors la variance $V$ vaut :
a) 9 b) 6 c) 3 d) 1,5
Situation d’intégration — Rendements agricoles dans le Yatenga
Exercice 2 — Situation d'intégration
Deux champs de mil dans la province du Yatenga ont produit, sur 5 années successives, les rendements suivants (en sacs de 100 kg) :
Champ A : $18,\;20,\;19,\;21,\;22$
Champ B : $12,\;25,\;15,\;28,\;20$
Consigne : Calculer la moyenne de chaque champ, calculer l'écart-type de chaque champ à l'aide de la formule simplifiée, et conclure sur la régularité de chaque champ pour aider l'agriculteur à décider lequel privilégier en cas de mauvaise saison.
Problème — Dispersion et transformation des données
Problème. On relève les notes sur 20 obtenues par 5 élèves à un devoir : $8,\;10,\;10,\;12,\;15$.
Partie A.
1) Calculer la moyenne de cette série.
2) Calculer l'étendue de cette série.
Partie B.
3) Calculer la variance à l'aide de la formule simplifiée.
4) En déduire l'écart-type, arrondi au centième.
Partie C.
5) Le professeur décide d'ajouter 2 points de bonus à chaque note. Sans refaire tous les calculs, donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type, en justifiant.
Voir le corrigé
- $\bar x=\dfrac{8+10+10+12+15}5=\dfrac{55}5=11$.
- Étendue $=15-8=7$.
- $\sum x_i^2=64+100+100+144+225=633$. $V=\dfrac{633}5-11^2=126{,}6-121=5{,}6$.
- $\sigma=\sqrt{5{,}6}\approx2{,}37$.
- Nouvelle moyenne : $11+2=13$ (ajouter une constante à toutes les valeurs ajoute la même constante à la moyenne). Nouvel écart-type : inchangé, $\sigma\approx2{,}37$ — ajouter la même constante à toutes les valeurs ne modifie pas les écarts entre elles, donc ni la dispersion ni l'écart-type.
Deux élèves, la même moyenne
Voici les notes sur 20 obtenues par deux élèves aux cinq devoirs du trimestre.
Awa : 8, 10, 12, 14, 16.
Moussa : 11, 12, 12, 12, 13.
1) Calcule la moyenne de chaque élève. Que constates-tu ?
2) Calcule l'étendue de chaque série de notes.
3) Calcule l'écart moyen de chaque série.
4) Calcule la variance puis l'écart-type de chaque série. Tu arrondiras les écarts-types au centième.
5) Lequel des deux élèves a les résultats les plus réguliers ? Justifie ta réponse à l'aide des questions précédentes et explique pourquoi la moyenne seule ne permettait pas de répondre.
Ventes de sacs de riz sur vingt jours
Une commerçante a noté, pendant 20 jours, le nombre de sacs de riz vendus chaque jour.
| Sacs vendus dans la journée | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de jours | 2 | 4 | 8 | 4 | 2 |
1) Vérifie que l'effectif total est 20, puis calcule le nombre moyen de sacs vendus par jour.
2) Calcule l'étendue et l'écart moyen de cette série.
3) Calcule la variance en utilisant la formule simplifiée, celle qui fait intervenir la moyenne des carrés.
4) Déduis-en l'écart-type \(\sigma\), arrondi au centième.
5) Combien de jours ont un nombre de ventes compris entre \(\bar x-\sigma\) et \(\bar x+\sigma\) ? Exprime ce résultat en pourcentage et interprète-le.
Dispersion de cinq termes d'une suite arithmétique
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=3+4n\).
1) Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_4\). Quelle est la nature de cette suite ?
2) On regarde ces cinq nombres comme une série statistique. Calcule sa moyenne. Que remarques-tu ?
3) Calcule la variance et l'écart-type de cette série ; donne la valeur exacte de l'écart-type, puis sa valeur arrondie au centième.
4) Plus généralement, cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison \(r\) peuvent s'écrire \(a-2r\), \(a-r\), \(a\), \(a+r\) et \(a+2r\). Justifie que leur moyenne est \(a\) et que leur variance est \(2r^2\).
5) Cinq termes consécutifs d'une suite arithmétique ont pour variance 18. Quelles sont les valeurs possibles de la raison ?
L'effet d'une valeur très différente des autres
Quatre vendeuses d'un marché ont un revenu journalier, en milliers de francs, de 3, 4, 4 et 5. Une grossiste, dont le revenu journalier est de 14 milliers de francs, vient s'installer à côté d'elles.
1) Pour la série des quatre vendeuses, calcule la moyenne, l'étendue, la variance et l'écart-type arrondi au centième.
2) On ajoute le revenu de la grossiste. Calcule la nouvelle moyenne et la nouvelle étendue.
3) Calcule la nouvelle variance avec la formule simplifiée, puis le nouvel écart-type arrondi au centième.
4) Combien de personnes, parmi les cinq, ont un revenu inférieur à la nouvelle moyenne ? Cette moyenne décrit-elle bien le revenu habituel d'une vendeuse de ce groupe ?
5) Compare les deux écarts-types. Que montre cet exercice sur l'effet d'une seule valeur très éloignée des autres ?