Langage des ensembles et cardinal

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un village, sur 60 habitants, 35 pratiquent l'agriculture (A), 20 pratiquent l'élevage (E), 10 pratiquent les deux. $\text{card}(A\cup E)$ vaut :
a) 55   b) 45   c) 65   d) 25

2) Soit $E$ un ensemble de cardinal 8 et $A$ une partie de $E$ avec $\text{card}(A)=5$. $\text{card}(\overline A)$ vaut :
a) 3   b) 5   c) 8   d) 13

3) Un menu comporte 3 entrées et 5 desserts. Le nombre de combinaisons possibles (une entrée, un dessert) est :
a) 8   b) 15   c) 35   d) 53

4) Un ensemble $E$ a 6 éléments. Le nombre de parties de $E$ est :
a) 6   b) 12   c) 36   d) 64

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole regroupe 80 membres. Une enquête montre que 52 membres cultivent le maïs (\(M\)), 41 cultivent le coton (\(C\)), et 18 cultivent les deux. Le président de la coopérative souhaite savoir combien de membres cultivent au moins l'une des deux cultures, et surtout combien n'en cultivent aucune des deux — car un programme de sensibilisation à la diversification doit être lancé si plus de 15% des membres sont dans ce cas.

Consigne : Calculer $\text{card}(M\cup C)$, en déduire le nombre de membres qui ne cultivent ni maïs ni coton, calculer le pourcentage correspondant, et conclure si le président doit lancer le programme de sensibilisation.

Problème.

Partie A. Un lycée compte 150 élèves de Terminale. Parmi eux, 90 pratiquent le football ($F$), 60 pratiquent le basketball ($B$), et 25 pratiquent les deux sports.

1) Déterminer $\text{card}(F\cup B)$.
2) En déduire combien d'élèves ne pratiquent ni le football ni le basketball.

Partie B. Le comité d'organisation du tournoi est formé de 4 élèves $E=\{A;B;C;D\}$.
3) Combien de parties (sous-comités, y compris l'ensemble vide et $E$ tout entier) l'ensemble $E$ possède-t-il au total ?
4) Combien de ces parties comptent strictement plus de 2 membres (c'est-à-dire 3 ou 4 membres) ?

Partie C. Pour un match d'exhibition, le comité souhaite former un binôme composé d'un élève pratiquant uniquement le football et d'un élève pratiquant uniquement le basketball.
5) Combien de binômes (football-seul, basketball-seul) sont possibles ?

Le club de lecture d'un lycée compte 60 élèves. Une enquête montre que 35 élèves lisent des romans, 28 lisent des bandes dessinées et 12 ne lisent ni romans ni bandes dessinées. On note \(E\) l'ensemble des élèves du club, \(R\) l'ensemble de ceux qui lisent des romans et \(B\) l'ensemble de ceux qui lisent des bandes dessinées.

1) Traduis par une phrase l'ensemble \(R\cup B\), puis calcule son cardinal.

2) Calcule le nombre d'élèves qui lisent à la fois des romans et des bandes dessinées. Quel ensemble forment-ils ?

3) Calcule le nombre d'élèves qui lisent seulement des romans, puis le nombre d'élèves qui lisent seulement des bandes dessinées.

4) Vérifie tes résultats en retrouvant l'effectif total du club, puis calcule le nombre d'élèves qui lisent un seul des deux genres. Quel pourcentage du club représentent-ils ?

5) Décris par une phrase le complémentaire de \(R\cap B\) dans \(E\) et donne son cardinal. Explique pourquoi ce n'est pas l'ensemble des élèves qui ne lisent rien.

Une association sportive compte 75 membres. Elle propose le football, le basket et le handball. On sait que 40 membres pratiquent le football, 30 le basket et 22 le handball ; 12 pratiquent le football et le basket, 9 le football et le handball, 7 le basket et le handball ; enfin 4 membres pratiquent les trois sports.

Pour répondre, trace un diagramme formé de trois ensembles qui se coupent et remplis-le en partant du centre.

1) Combien de membres pratiquent le football et le basket mais pas le handball ? Réponds à la même question pour les deux autres paires de sports.

2) Combien de membres pratiquent seulement le football ? seulement le basket ? seulement le handball ?

3) Combien de membres pratiquent au moins un des trois sports ?

4) Combien de membres ne pratiquent aucun de ces trois sports ?

5) Combien de membres pratiquent au moins deux sports ? L'entraîneur affirme que plus d'un quart des membres sont dans ce cas : a-t-il raison ? Justifie.

On note \(E\) l'ensemble des entiers de 1 à 20, \(A\) l'ensemble des éléments de \(E\) qui sont des multiples de 2 et \(B\) l'ensemble des éléments de \(E\) qui sont des multiples de 3.

1) Écris la liste des éléments de \(A\) et celle des éléments de \(B\), et donne leurs cardinaux.

2) Écris la liste des éléments de \(A\cap B\). Quelle propriété ont ces nombres ? Calcule ensuite le cardinal de \(A\cup B\) de deux façons.

3) Écris la liste des éléments du complémentaire de \(A\cup B\) dans \(E\) et décris ces nombres par une phrase.

4) Réponds par vrai ou faux en justifiant : « \(B\) est inclus dans \(A\) » ; « \(A\cap B\) est inclus dans \(A\) ».

5) On note \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) les complémentaires de \(A\) et de \(B\) dans \(E\). Écris la liste des éléments de \(\overline{A}\cap\overline{B}\) et compare-la à celle de la question 3. Explique ce résultat par une phrase.

Sur un marché, 45 vendeuses sont installées. Parmi elles, 27 vendent des légumes, 20 vendent des fruits et 8 vendent à la fois des légumes et des fruits. On note \(L\) l'ensemble des vendeuses de légumes et \(F\) l'ensemble des vendeuses de fruits.

1) Calcule le nombre de vendeuses qui vendent des légumes ou des fruits.

2) Combien de vendeuses ne vendent ni légumes ni fruits ?

3) Combien vendent seulement des légumes ? seulement des fruits ?

4) Calcule le pourcentage de vendeuses qui proposent au moins l'un des deux produits (arrondi au dixième).

5) Cinq nouvelles vendeuses s'installent ; elles vendent toutes des fruits et pas de légumes. Calcule les nouveaux cardinaux de \(F\) et de \(L\cup F\), puis le pourcentage de vendeuses qui ne vendent ni légumes ni fruits. Ce pourcentage a-t-il augmenté ou diminué ? Interprète.