Dérivation : nombre dérivé et tangente

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La dérivée de $f(x)=x^4$ est :
a) $4x^3$   b) $x^3$   c) $4x^4$   d) $3x^3$

2) Soit $g(x)=\dfrac1x$. $g'(2)$ vaut :
a) $-\dfrac14$   b) $\dfrac14$   c) $-2$   d) $2$

3) Soit $h(x)=\sqrt x$. $h'(9)$ vaut :
a) $\dfrac16$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $\dfrac1{18}$

4) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2 est :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x+5$   d) $y=2x-3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une petite entreprise fabrique des vélos. Son bénéfice journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ vélos produits ($x\in[0;12]$), est modélisé par $B(x)=-\dfrac12x^2+6x-10$. Le directeur veut savoir, pour une production actuelle de $x=4$ vélos, si le bénéfice progresse encore ou commence déjà à ralentir, afin de décider s'il est pertinent d'augmenter légèrement la production.

Consigne : Calculer $B'(x)$, puis $B'(4)$, interpréter le signe du résultat pour conseiller le directeur, et donner l'équation de la tangente à la courbe de $B$ au point d'abscisse 4.

Problème.

Partie A. Soit $p(x)=x^3-3x$.
1) Calculer $p'(x)$.
2) Calculer $p'(0)$, $p'(1)$ et $p'(-1)$.
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse 0.

Partie B. Soit $q(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
4) Calculer $q'(x)$ à l'aide de la règle du quotient.
5) Calculer $q'(1)$ et en déduire le sens de variation de $q$ sur $]-\infty;3[$.

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=x^3-3x^2+2\), de courbe \((C)\) dans un repère.

1) Calcule \(f'(x)\).

2) Calcule \(f(1)\) et \(f'(1)\), puis donne une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 1.

3) En quels points de \((C)\) la tangente est-elle parallèle à l'axe des abscisses ? Donne leurs coordonnées.

4) Donne une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 3.

5) Existe-t-il d'autres points de \((C)\) que celui de la question 2 où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y=-3x+10\) ? Justifie.

La courbe \((C)\) d'une fonction \(g\) passe par le point \(A(2;3)\). La tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\) passe aussi par le point \(B(4;7)\).

1) Calcule le coefficient directeur de la droite \((T)\). Que vaut \(g'(2)\) ? Justifie.

2) Donne une équation de \((T)\).

3) On sait de plus que \(g(x)=x^2+bx+c\), où \(b\) et \(c\) sont deux nombres. Exprime \(g'(x)\), puis utilise les résultats précédents pour trouver \(b\) et \(c\).

4) Donne une équation de la tangente \((T')\) à \((C)\) au point d'abscisse 0.

5) Calcule les coordonnées du point d'intersection des droites \((T)\) et \((T')\). Que remarques-tu sur son abscisse ?

Un atelier de tissage fabrique et vend \(x\) dizaines de pagnes par mois, avec \(x\) compris entre 0 et 40. Son bénéfice mensuel, en milliers de francs, est donné par \(B(x)=-2x^2+80x-300\). On note \((C)\) la courbe de \(B\).

1) Calcule \(B'(x)\).

2) Calcule \(B(10)\) et \(B'(10)\), puis donne une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 10.

3) Calcule \(B'(25)\). Compare les signes de \(B'(10)\) et de \(B'(25)\) et interprète-les à l'aide des tangentes.

4) Pour quelle production la tangente à \((C)\) est-elle parallèle à l'axe des abscisses ? Calcule le bénéfice correspondant.

5) Vérifie que \(B(x)=500-2(x-20)^2\). Que représente le bénéfice trouvé à la question 4 ?

On considère les fonctions \(p\) et \(q\) définies par \(p(x)=(x^2+1)(3x-2)\) pour tout réel \(x\), et \(q(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) pour tout réel \(x\) non nul.

1) Calcule \(p'(x)\) avec la formule de la dérivée d'un produit.

2) Développe \(p(x)\), dérive le résultat et compare avec la question précédente.

3) Calcule \(q'(x)\) de deux façons : avec la formule de la dérivée d'un quotient, puis en écrivant d'abord \(q(x)=x+\dfrac{1}{x}\). Vérifie que les deux résultats sont égaux.

4) En quels points la courbe de \(q\) a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

5) Donne une équation de la tangente à la courbe de \(q\) au point d'abscisse 2.