Comportement global et limites d'une fonction

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$. En écrivant $f(x)=3+\dfrac{c}{x-2}$, la valeur de $c$ est :
a) 5   b) $-5$   c) 3   d) $-1$

2) La limite de $f$ en $+\infty$ (avec $f(x)=3+\dfrac5{x-2}$) est :
a) 3   b) 5   c) $+\infty$   d) 0

3) La courbe de $f$ admet pour asymptote verticale :
a) $y=3$   b) $x=2$   c) $x=3$   d) $y=2$

4) Soit $r(x)=-(x-3)^2+7$. La courbe de $r$ admet :
a) un maximum en $(3;7)$   b) un minimum en $(3;7)$   c) un maximum en $(-3;7)$   d) un minimum en $(-3;-7)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de mangues séchées envisage d'acheter une nouvelle machine de séchage. Le coût moyen de production, en FCFA par kilogramme, pour une production journalière de $x$ kg ($x>10$), est modélisé par $C(x)=\dfrac{500x-3\,000}{x-10}$.

Consigne : Écrire $C(x)$ sous la forme $500+\dfrac{c}{x-10}$, déterminer la limite de $C(x)$ quand $x\to+\infty$ et interpréter ce résultat, puis déterminer le comportement de $C(x)$ quand $x\to10^+$ et expliquer pourquoi la coopérative doit produire nettement plus de 10 kg par jour pour rester rentable.

Problème.

Partie A. Soit $m(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}$.
1) Écrire $m(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$.
2) Déterminer les limites de $m$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis en déduire une asymptote.
3) Déterminer les limites de $m$ en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$, puis en déduire une seconde asymptote.

Partie B. Soit $t(x)=-(x+3)^2+5$.
4) Donner le tableau de variations de $t$ et les coordonnées du sommet de sa courbe.
5) Résoudre l'équation $t(x)=0$.

Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.

Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?

2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.

3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.

On considère la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) non nul par \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère.

1) Vérifie que, pour tout \(x\) non nul, \(f(x)=3-\dfrac{1}{x}\).

2) Détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) peut-on en déduire ?

3) Détermine les limites de \(f\) en 0, à droite puis à gauche. Quelle autre asymptote obtient-on ?

4) Étudie le signe de \(f(x)-3\) et déduis-en la position de \((C)\) par rapport à la droite d'équation \(y=3\).

5) Résous l'équation \(f(x)=0\), puis l'inéquation \(f(x)\geq 2\). Explique comment contrôler ces résultats sur la courbe.

Une savonnière fabrique des savons au beurre de karité. Fabriquer \(x\) savons dans le mois lui coûte au total \(C(x)=200x+6\,000\) francs : 200 francs de matières premières par savon, et 6 000 francs de frais fixes. Le coût moyen d'un savon est \(m(x)=\dfrac{C(x)}{x}\), pour \(x\gt 0\).

1) Montre que \(m(x)=200+\dfrac{6\,000}{x}\), puis calcule \(m(10)\), \(m(100)\) et \(m(1\,000)\).

2) Détermine la limite de \(m\) en \(+\infty\). Quelle asymptote la courbe de \(m\) admet-elle ? Interprète ce résultat pour la savonnière.

3) Détermine la limite de \(m\) en 0, à droite. Interprète ce résultat.

4) Soient \(a\) et \(b\) deux nombres tels que \(0\lt a\lt b\). Compare \(m(a)\) et \(m(b)\) et déduis-en le sens de variation de \(m\) sur \(]0;+\infty[\).

5) Elle vend chaque savon 300 francs. À partir de combien de savons fabriqués dans le mois le coût moyen ne dépasse-t-il plus le prix de vente ?

Sur l'intervalle \(]0;+\infty[\), on considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=\dfrac{1}{x}\).

1) On pose \(h=f+g\). Écris \(h(x)\), puis détermine les limites de \(h\) en \(+\infty\) et en 0.

2) On pose \(p=f\times g\). Simplifie \(p(x)\) et donne la limite de \(p\) en 0. Explique pourquoi on ne pouvait pas trouver cette limite en utilisant seulement les limites de \(f\) et de \(g\) en 0.

3) On pose \(k=\dfrac{g}{f}\). Simplifie \(k(x)\), puis détermine ses limites en \(+\infty\) et en 0.

4) Compare \(f\) et \(g\) sur \(]0;+\infty[\) : pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x)\geq g(x)\) ? Interprète graphiquement.

5) Calcule \(h(0{,}5)\), \(h(1)\) et \(h(2)\). La fonction \(h\) est-elle croissante sur \(]0;+\infty[\) ? Justifie.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) non nul par \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2}\), de courbe \((C)\) dans un repère orthogonal.

1) Vérifie que \(f(x)=1-\dfrac{4}{x^2}\), puis compare \(f(-x)\) et \(f(x)\). Que peut-on en déduire pour la courbe \((C)\) ?

2) Détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et l'asymptote correspondante.

3) Détermine la limite de \(f\) en 0 et l'asymptote correspondante.

4) Résous l'équation \(f(x)=0\). Pour quelles valeurs de \(x\) la courbe est-elle au-dessous de l'axe des abscisses ?

5) Justifie que \((C)\) est toujours au-dessous de la droite d'équation \(y=1\). À partir de quelle valeur positive de \(x\) a-t-on \(f(x)\gt 0{,}99\) ?