Première A · Leçon 3
Combinaisons, relations et binôme
Exercices corrigés
QCM — Combinaisons et binôme
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $\binom93$ vaut :
a) 84 b) 504 c) 27 d) 729
2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, $\binom{10}4$ est égal à :
a) $\binom{10}4$ b) $\binom{10}5$ c) $\binom{10}6$ d) $\binom{10}{10}$
3) En développant $(x+2)^3$ à l'aide du triangle de Pascal, le coefficient du terme en $x$ (c'est-à-dire de $x^1$) est :
a) 3 b) 6 c) 8 d) 12
4) $\binom52+\binom53$ vaut :
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\binom93=\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=\dfrac{504}6=84$.
- Réponse : c. $\binom{10}4=\binom{10}{10-4}=\binom{10}6$.
- Réponse : d. Ligne $n=3$ du triangle : $1,3,3,1$. $(x+2)^3=x^3+3x^2(2)+3x(2)^2+2^3=x^3+6x^2+12x+8$ : le coefficient de $x$ est $12$.
- Réponse : b. $\binom52=10$, $\binom53=10$, somme $=20$ (cohérent avec $\binom63=20$ par la relation de Pascal).
Situation d’intégration — Coopérative de karité
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative de femmes, spécialisée dans la transformation du beurre de karité, compte 12 membres formées à la présentation de leurs produits. Pour une foire régionale, elle doit désigner une délégation de 3 membres (aucun rôle particulier n'est attribué : la délégation est un simple groupe).
Consigne : Calculer le nombre de délégations possibles, puis vérifier ce résultat à l'aide de la relation de Pascal $\binom np=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}p$.
Voir le corrigé
- L'ordre n'a pas d'importance (une délégation est un groupe, pas une liste de rôles) : c'est une combinaison. $\binom{12}3=\dfrac{12\times11\times10}{3\times2\times1}=\dfrac{1\,320}6=220$ délégations possibles.
- Vérification par la relation de Pascal (avec $n=12$, $p=3$) : $\binom{12}3=\binom{11}2+\binom{11}3$.
- $\binom{11}2=\dfrac{11\times10}2=55$ et $\binom{11}3=\dfrac{11\times10\times9}6=165$.
- $55+165=220$ : on retrouve bien $\binom{12}3=220$, la relation est vérifiée.
Problème — Développement et comité mixte
Problème.
Partie A.
1) Développer $(2x-1)^4$ à l'aide du triangle de Pascal (ligne $n=4$).
Partie B. Une coopérative de 15 membres, dont 6 femmes et 9 hommes, doit former un comité de gestion de 4 personnes.
2) Combien de comités de 4 personnes sont possibles au total (sans contrainte) ?
3) Combien de ces comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?
Composer une équipe de volley-ball
Pour un tournoi, une enseignante d'éducation physique doit former une équipe de 6 joueuses parmi les 10 élèves volontaires de sa classe. Awa et Mariam font partie des volontaires. Dans l'équipe, toutes les joueuses ont le même rôle : seul compte le groupe choisi.
1) Explique pourquoi il faut compter des combinaisons et non des arrangements, puis calcule le nombre d'équipes possibles.
2) Vérifie que \(C_{10}^6=C_{10}^4\) et explique cette égalité sans calcul, en pensant aux élèves qui ne sont pas retenues.
3) Combien d'équipes contiennent Awa ?
4) Combien d'équipes contiennent à la fois Awa et Mariam ? Combien ne contiennent ni l'une ni l'autre ?
5) Déduis-en le nombre d'équipes qui contiennent une seule des deux amies, puis retrouve ce nombre par un calcul direct.
Lire et utiliser le triangle de Pascal
On rappelle que, dans le triangle de Pascal, la ligne numéro \(n\) contient les nombres \(C_n^0\), \(C_n^1\), …, \(C_n^n\), et que chaque nombre est la somme des deux nombres placés juste au-dessus de lui.
1) Construis le triangle de Pascal de la ligne 0 à la ligne 6.
2) Lis dans le triangle les valeurs de \(C_6^2\), \(C_6^3\) et \(C_6^4\). Quelle propriété du triangle explique que deux de ces nombres soient égaux ?
3) Vérifie sur le triangle l'égalité \(C_5^2+C_5^3=C_6^3\). Quel est le nom de cette relation ?
4) Calcule la somme des nombres de la ligne 6 et compare-la à \(2^6\). Interprète ce résultat pour un ensemble de 6 éléments.
5) Sans écrire toute la ligne 7, calcule \(C_7^3\) à l'aide de la ligne 6, puis contrôle le résultat avec la formule des combinaisons.
Formule du binôme et calcul de puissances
On utilise la ligne 4 du triangle de Pascal, 1, 4, 6, 4, 1, et la ligne 5, qui est 1, 5, 10, 10, 5, 1.
1) Développe \((x+2)^4\) avec la formule du binôme.
2) Développe de même \((x-2)^4\). Explique comment les signes se déduisent du développement précédent.
3) Déduis-en une expression simplifiée de \((x+2)^4+(x-2)^4\).
4) En remplaçant \(x\) par 10 dans les développements des deux premières questions, calcule \(12^4\) et \(8^4\) sans calculatrice. Contrôle tes deux résultats à l'aide de la question précédente.
5) Quel est le coefficient de \(x^2\) dans le développement de \((3x+1)^5\) ? Justifie ta réponse.
Tirage de sujets à un examen oral
Pour une épreuve orale, un examinateur a préparé 8 sujets différents : 5 sujets de littérature et 3 sujets d'histoire. Chaque candidat tire au hasard 3 sujets en même temps.
1) Combien de tirages différents sont possibles ?
2) Combien de tirages ne contiennent que des sujets de littérature ?
3) Combien de tirages contiennent exactement 2 sujets de littérature et 1 sujet d'histoire ? Justifie l'emploi d'une multiplication.
4) Combien de tirages contiennent au moins un sujet d'histoire ?
5) Le candidat présente ensuite ses 3 sujets l'un après l'autre, dans l'ordre de son choix. Combien de déroulements différents de l'épreuve sont possibles ? Quel lien ce résultat a-t-il avec le nombre d'arrangements de 3 sujets parmi 8 ?