Arrangements et permutations

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le nombre de façons de ranger 6 objets distincts en ligne est :
a) 36   b) 120   c) 720   d) 46656

2) $A_7^2$ vaut :
a) 42   b) 49   c) 21   d) 14

3) Un jury distingue, dans l'ordre, un 1^er, un 2^e et un 3^e prix parmi 9 candidats. Le nombre de podiums possibles est :
a) 504   b) 729   c) 84   d) 27

4) Le mot-clé qui signale un arrangement (et non une combinaison) est :
a) l'ordre ne compte pas   b) les rôles ou rangs sont distincts   c) répétition autorisée   d) aucun ordre

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une radio prépare la diffusion d'un compte à rebours musical pour un festival culturel : elle doit choisir, dans l'ordre exact de diffusion, 5 chansons parmi une playlist de 12 morceaux traditionnels déjà sélectionnés. Le producteur hésite entre programmer l'ordre manuellement ou investir dans un logiciel d'aide à la programmation — il estime qu'au-delà de 500 ordres possibles, la programmation manuelle est trop risquée pour trouver le meilleur enchaînement.

Consigne : Calculer le nombre d'ordres de diffusion possibles pour les 5 chansons choisies parmi les 12, puis conseiller le producteur : doit-il investir dans le logiciel ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème. Un comité de 10 élèves doit élire un bureau composé de trois rôles distincts : un président, un vice-président et un secrétaire.

Partie A.
1) Combien de bureaux différents (président, vice-président, secrétaire) sont possibles au total ?

Partie B. Parmi les 10 élèves, 4 sont en Terminale D et 6 sont en Terminale C. Le règlement impose que le président soit obligatoirement en Terminale D (les deux autres rôles restant ouverts à n'importe lequel des 9 élèves restants, tous niveaux confondus).
2) Combien de bureaux respectant cette contrainte sont possibles ?

Partie C.
3) Pour la photo de fin d'année, les 10 élèves du comité sont alignés côte à côte. Combien de dispositions différentes sont possibles ?

Huit équipes, dont celle de la Première A, participent au tournoi de football d'un lycée. À la fin du tournoi, les équipes sont classées de la première à la huitième place, sans ex æquo.

1) Combien de classements complets des huit équipes sont possibles ?

2) Seules les trois premières équipes montent sur le podium (première, deuxième et troisième place). Combien de podiums différents sont possibles ?

3) Combien de podiums ont l'équipe de la Première A à la première place ?

4) Explique pourquoi le nombre de podiums où figure l'équipe de la Première A, à n'importe laquelle des trois places, est le triple du résultat précédent, et donne ce nombre.

5) Calcule de deux façons le nombre de podiums où l'équipe de la Première A ne figure pas. Quel pourcentage des podiums possibles cela représente-t-il ? Interprète ce résultat.

Dans cet exercice, on s'entraîne à calculer avec les factorielles sans effectuer de longues multiplications. On rappelle que, pour un entier \(n\geq 2\), \(n!=n\times(n-1)!\).

1) Calcule \(5!\), puis déduis-en \(6!\) et \(7!\) en utilisant le rappel.

2) Simplifie puis calcule \(\dfrac{10!}{8!}\) et \(\dfrac{9!}{6!\times 3!}\).

3) Explique pourquoi \(A_n^2=n(n-1)\) pour tout entier \(n\geq 2\). Trouve alors l'entier \(n\) tel que \(A_n^2=56\).

4) Justifie, sans calculer \(7!\) ni \(6!\), que \(7!-6!=6\times 6!\). Donne la valeur de ce nombre.

5) Compare \(A_6^3\) et \(5!\). Explique le résultat en écrivant les deux nombres sous forme de produits.

La responsable de la bibliothèque d'une classe dispose de 6 livres tous différents : 4 romans et 2 recueils de contes. Elle les range côte à côte sur une étagère.

1) Combien de rangements différents des 6 livres sont possibles ?

2) Elle souhaite que les deux recueils de contes soient côte à côte. En considérant ces deux recueils comme un seul bloc, calcule le nombre de rangements possibles. Justifie le facteur 2 qui apparaît dans le calcul.

3) On note \(E\) l'ensemble de tous les rangements et \(B\) l'ensemble de ceux où les deux recueils sont côte à côte. Déduis des questions précédentes le nombre de rangements où les deux recueils ne sont pas côte à côte.

4) Combien de rangements placent les 4 romans à gauche et les 2 recueils de contes à droite ?

5) Pour une exposition, elle choisit seulement 3 livres parmi les 6 et les aligne sur un présentoir. Combien d'alignements sont possibles ? Combien ne contiennent que des romans ? Combien contiennent au moins un recueil de contes ?

Une coopérative de productrices de beurre de karité attribue à chaque membre un code formé de 3 lettres différentes, écrites dans un certain ordre et choisies parmi les six lettres A, B, C, D, E et F. Par exemple, BAF et FAB sont deux codes différents, et AAB n'est pas un code.

1) Combien de codes différents peut-on former ?

2) Combien de codes commencent par la lettre A ? Combien se terminent par la lettre F ?

3) Combien de codes commencent par A et se terminent par F ?

4) On note \(M\) l'ensemble des codes qui commencent par A et \(N\) l'ensemble des codes qui se terminent par F. Calcule le cardinal de \(M\cup N\), puis le nombre de codes qui ne commencent pas par A et ne se terminent pas par F.

5) La coopérative compte 150 membres. Les codes de 3 lettres suffisent-ils ? Sinon, montre que des codes de 4 lettres différentes prises parmi les mêmes six lettres conviennent, et interprète la marge obtenue.