Application de la dérivation et fonctions associées

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=0$ pour tout $x$. On peut affirmer que $f$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut rien dire

2) Soit $g$ dérivable sur $I$ avec $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$. $g$ est alors :
a) constante sur $I$   b) croissante sur $I$   c) décroissante sur $I$   d) non dérivable

3) Soit $s(x)=x^2-6x+5$. La valeur de $x$ qui annule $s'(x)$ est :
a) 3   b) 5   c) 6   d) $-3$

4) Pour tracer la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$, là où $f(x)<0$, on :
a) supprime la portion de courbe   b) la laisse identique   c) la replie par symétrie par rapport à $(Ox)$   d) la translate vers le haut

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise produit du jus de mangue en bouteilles. Le coût total journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ centaines de bouteilles produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $K(x)=x^2-8x+20$. Le gérant souhaite déterminer la production qui minimise ce coût, afin de fixer un objectif journalier réaliste.

Consigne : Étudier le signe de $K'(x)$, dresser le sens de variation de $K$, puis en déduire la production optimale (en nombre de bouteilles) et le coût minimal correspondant.

Problème. Soit $f(x)=x^2-2x-3$.

Partie A.
1) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

Partie B.
4) Décrire la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$ : sur quels intervalles coïncide-t-elle avec $f$, sur lequel est-elle repliée, et quelle est la valeur du maximum local obtenu par ce repli ?
5) On pose $g(x)=f(x+2)$. Donner l'expression développée de $g(x)$ et calculer $g(0)$.

On étudie la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-4;4]\) par \(f(x)=x^3-12x+5\).

1) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=3(x-2)(x+2)\).

2) Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \([-4;4]\), puis dresse le tableau de variations de \(f\) en indiquant les valeurs aux bornes et aux changements de variation.

3) Quels sont le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-4;4]\) ? En quelles valeurs de \(x\) sont-ils atteints ?

4) Résous par le calcul l'équation \(f(x)=5\).

5) À l'aide du tableau de variations, indique le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\) dans \([-4;4]\), puis celui de l'équation \(f(x)=30\). Justifie.

Un éleveur veut construire un enclos rectangulaire le long d'un mur. Le mur forme un des côtés, et il dispose de 60 mètres de grillage pour les trois autres côtés. On note \(x\) la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur, avec \(0\lt x\lt 30\).

1) Exprime en fonction de \(x\) la longueur du côté parallèle au mur, puis montre que l'aire de l'enclos, en mètres carrés, est \(A(x)=60x-2x^2\).

2) Calcule \(A'(x)\) et étudie son signe sur \(]0;30[\).

3) Dresse le tableau de variations de \(A\).

4) Quelles dimensions l'éleveur doit-il choisir pour que l'aire soit maximale ? Quelle est cette aire ?

5) Il a besoin d'au moins 400 mètres carrés. Vérifie que \(60x-2x^2-400=-2(x-10)(x-20)\) et déduis-en les valeurs de \(x\) qui conviennent.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\).

1) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x^2}\).

2) Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \(]0;+\infty[\) et dresse le tableau de variations de \(f\).

3) Quel est le minimum de \(f\) ? Déduis-en que, pour tout nombre \(x\gt 0\), \(x+\dfrac{9}{x}\geq 6\).

4) Résous l'équation \(f(x)=10\) et vérifie que le résultat est cohérent avec le tableau de variations.

5) Un rectangle a une aire de 9 mètres carrés. On note \(x\) l'une de ses dimensions, en mètres. Exprime son périmètre à l'aide de \(f(x)\), puis détermine le rectangle d'aire 9 mètres carrés qui a le plus petit périmètre.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=x^2-4x+3\), de courbe \((C)\) dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).

1) À l'aide de la dérivée, dresse le tableau de variations de \(f\) et donne son minimum.

2) On pose \(g(x)=f(x+2)\). Calcule \(g(x)\). Par quelle transformation passe-t-on de \((C)\) à la courbe de \(g\) ? Déduis-en les variations de \(g\).

3) On pose \(h(x)=f(x)+1\). Par quelle transformation passe-t-on de \((C)\) à la courbe de \(h\) ? Quel est le minimum de \(h\) ?

4) On pose \(k(x)=-2f(x)\). Explique pourquoi les variations de \(k\) sont le contraire de celles de \(f\), et donne le maximum de \(k\).

5) On pose \(m(x)=|f(x)|\). Étudie le signe de \(f(x)\), explique comment obtenir la courbe de \(m\) à partir de \((C)\), puis donne le nombre de solutions de l'équation \(|f(x)|=1\).