Calcul vectoriel, Statistiques à 2 variables & Matrices
Barycentre, produit scalaire et vectoriel, cocyclicité — puis ajustement affine et coefficient de corrélation — enfin les matrices d'ordre 2 (approfondissement, non exigible au Bac). Dernière partie du programme de Terminale Série C.
Calcul vectoriel et configurations
XIII.1 — Barycentre
Soient \(n\) points pondérés \((A_1, a_1), \ldots, (A_n, a_n)\) avec \(a_1 + \cdots + a_n \neq 0\). Le barycentre \(G\) de ce système est l'unique point vérifiant la relation vectorielle :
\[ a_1\,\overrightarrow{GA_1} + a_2\,\overrightarrow{GA_2} + \cdots + a_n\,\overrightarrow{GA_n} = \vec{0}. \]Lorsque tous les coefficients sont égaux (\(a_i = 1\) pour tout \(i\)), \(G\) est l'isobarycentre : c'est le milieu si \(n = 2\), le centre de gravité du triangle si \(n = 3\).
Formule de réduction. Pour tout point \(M\) du plan (ou de l'espace) :
\[ \sum_{i=1}^n a_i\,\overrightarrow{MA_i} \;=\; \Big(\sum_{i=1}^n a_i\Big)\overrightarrow{MG}. \]Coordonnées. Dans un repère \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) :
\[ x_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,x_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}, \qquad y_G = \frac{\displaystyle\sum a_i\,y_{A_i}}{\displaystyle\sum a_i}. \]Homogénéité. Multiplier tous les coefficients par une constante \(k \neq 0\) ne modifie pas la position de \(G\) : seuls les rapports entre les poids comptent.
Associativité. On peut regrouper une partie des points en leur substituant leur propre barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cela permet de calculer \(G\) en deux étapes quand le système est complexe.
Pour deux points \(A\) et \(B\) avec coefficients \(a\) et \(b\) (\(a + b \neq 0\)), on part de la définition \(a\,\overrightarrow{GA} + b\,\overrightarrow{GB} = \vec{0}\) et on exprime tout en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) :
- Écrire \(\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BG}\) (ou simplement utiliser \(\overrightarrow{GA} = -\overrightarrow{AG}\)).
- Exprimer \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\) : \(G\) divise \([AB]\) dans le rapport \(b:a\) à partir de \(A\).
- Vérifier le sens : si \(a\) et \(b\) sont de même signe, \(G\) est entre \(A\) et \(B\) ; sinon il est à l'extérieur.
Exemple 1 — Deux points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 2)\) et \((B, 1)\). On a \(2\,\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}\), d'où \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\). \(G\) est situé au tiers du segment \([AB]\) à partir de \(A\), à l'intérieur du segment car les deux poids sont positifs.
Exemple 2 — Trois points. Soit \(G\) barycentre de \((A, 3)\), \((B, -1)\), \((C, 2)\). La somme est \(3 + (-1) + 2 = 4\). En coordonnées, avec \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(1;3)\) :
\[ x_G = \frac{3\times0 + (-1)\times4 + 2\times1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad y_G = \frac{3\times0 + (-1)\times0 + 2\times3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}. \]Exemple 3 — Associativité. Dans un triangle \(ABC\) avec masses \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, 3)\) : on calcule d'abord \(G_{BC}\), barycentre de \((B, 2)\) et \((C, 3)\), qui vérifie \(\overrightarrow{BG_{BC}} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{BC}\) ; puis \(G\) est le barycentre de \((A, 1)\) et \((G_{BC}, 5)\), soit \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{5}{6}\overrightarrow{AG_{BC}}\). C'est bien plus rapide que de partir des coordonnées brutes.
Ne pas oublier de vérifier que \(\sum a_i \neq 0\) avant de définir \(G\) : si la somme est nulle, le barycentre n'existe pas (les vecteurs \(a_i\overrightarrow{MA_i}\) se compensent quel que soit \(M\), le système est dit libre). Autre erreur classique : écrire \(x_G = \sum a_i x_{A_i}\) sans diviser par \(\sum a_i\).
Barycentre de \((A, a)\) et \((B, b)\) — déplacer les curseurs
Point \(B\) (poids \(b\))
Barycentre \(G\)
XIII.2 — Produit scalaire et projection orthogonale
Le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le réel noté \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). Il admet trois expressions équivalentes, à connaître toutes les trois car le choix de l'une ou de l'autre dépend des données du problème.
La symétrie \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\), la bilinéarité et la relation \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\) sont les trois règles de calcul à appliquer sans hésitation.
Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\). Alors, quel que soit la position de \(H\) sur \((AB)\) :
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} = AB\times AH\times\epsilon, \]où \(\epsilon = +1\) si \(\overrightarrow{AH}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont de même sens, \(\epsilon = -1\) sinon. En pratique, dès qu'un angle droit apparaît dans la figure, on cherche le pied de la hauteur et on utilise cette formule.
- Si un angle est donné ou demandé : utiliser \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta\).
- Si les coordonnées sont connues : utiliser \(xx' + yy'\). C'est le calcul le plus rapide.
- Si on dispose de normes mais pas de l'angle : utiliser l'identité de polarisation \(\tfrac{1}{2}(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2)\). C'est cette forme qui donne le théorème d'Al-Kashi et le théorème de la médiane.
Exemple 1 — Calcul par coordonnées. \(\vec{u}(3\,;-1)\), \(\vec{v}(2\,;4)\) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times2 + (-1)\times4 = 6 - 4 = 2\).
Exemple 2 — Angle à partir du produit scalaire. Dans un triangle \(ABC\) avec \(AB = 5\), \(AC = 3\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 9\) :
\[ \cos\widehat{A} = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC} = \frac{9}{5\times3} = \frac{3}{5}, \qquad \widehat{A} \approx 53{,}1°. \]Exemple 3 — Projection et hauteur. Triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), \(AB = 10\), \(AC = 6\), \(\widehat{A} = 53°\). Le pied \(H\) de la hauteur issue de \(C\) vérifie \(AH = AC\cos\widehat{A} = 6\times0{,}6 = 3{,}6\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 10\times3{,}6 = 36\). Contrôle par coordonnées : \(A(0;0)\), \(B(10;0)\), \(C(6\cos53°; 6\sin53°) = (3{,}6; 4{,}8)\) donne \(10\times3{,}6 + 0\times4{,}8 = 36\). Cohérent.
Le produit scalaire peut être négatif : cela arrive si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (\(\cos\theta < 0\)). Un produit scalaire négatif ne signifie pas que quelque chose est faux, il reflète simplement la configuration géométrique.
Produit scalaire et projection orthogonale — déplacer \(C\)
Point \(C\) (mobile)
Projeté \(H\) de \(C\)
XIII.3 — Lignes de niveau — ensembles de points
Un ensemble de points (ou ligne de niveau) est décrit par une équation du type \(f(M) = k\) où \(f\) est une expression faisant intervenir des distances ou des produits scalaires. L'objectif est toujours d'identifier la nature géométrique de cet ensemble : cercle, droite, point ou ensemble vide.
Soient \(A\) et \(B\) deux points fixes, \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour tout point \(M\) :
\[ MA^2 + MB^2 = 2\,MI^2 + \frac{AB^2}{2} \qquad\text{et}\qquad \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}. \]Selon la forme de l'équation, on applique l'une des réductions suivantes. Dans tous les cas, on commence par faire apparaître une expression de la forme \(MI^2\) ou \(MG^2\), où \(I\) ou \(G\) est un point fixe.
| Équation | Réduction | Ensemble |
|---|---|---|
| \(MA^2 + MB^2 = k\) | \(MI^2 = \dfrac{k}{2} - \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de centre \(I\) si membre droit \(> 0\) |
| \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) | \(MI^2 = \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de diamètre \([AB]\) |
| \(a\,MA^2 + b\,MB^2 = k\) | Barycentre \(G\) de \((A,a)(B,b)\) : \(MG^2 = \ldots\) | Cercle de centre \(G\) |
| \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = \lambda\) | \(MI^2 = \lambda + \dfrac{AB^2}{4}\) | Cercle de centre \(I\) si \(\lambda + \dfrac{AB^2}{4} > 0\) |
Cas général \(a\,MA^2 + b\,MB^2 = k\) (\(a + b \neq 0\)). On introduit le barycentre \(G\) de \((A, a)\) et \((B, b)\). La formule de réduction donne :
\[ a\,MA^2 + b\,MB^2 = (a+b)\,MG^2 + \frac{ab}{a+b}\,AB^2. \]L'ensemble est alors un cercle de centre \(G\) si \(\dfrac{k - \tfrac{ab}{a+b}AB^2}{a+b} > 0\), un point si égal à 0, et l'ensemble vide sinon.
Exemple 1 — Cercle de diamètre. Soit \(\mathcal{E} = \{M \mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\}\). \(I\) milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^2 - \tfrac{AB^2}{4}\). L'équation devient \(MI^2 = \tfrac{AB^2}{4}\), soit \(MI = \tfrac{AB}{2}\). C'est le cercle de diamètre \([AB]\).
Exemple 2 — Ensemble de type \(MA^2 + MB^2\). Avec \(A(-2;0)\), \(B(2;0)\), chercher \(MA^2 + MB^2 = 20\). On a \(I = (0;0)\), \(AB = 4\). Réduction : \(2\,MI^2 + 8 = 20\), soit \(MI^2 = 6\). L'ensemble est le cercle de centre \(I(0;0)\) et de rayon \(\sqrt{6}\).
Exemple 3 — Cas général. Chercher \(2\,MA^2 + 3\,MB^2 = 30\) avec \(A(0;0)\), \(B(5;0)\). Barycentre \(G\) de \((A,2)\), \((B,3)\) : \(x_G = \tfrac{3\times5}{5} = 3\), \(G = (3;0)\). Réduction : \(5\,MG^2 + \tfrac{6}{5}\times25 = 5\,MG^2 + 30\). L'équation donne \(5\,MG^2 = 0\), donc \(M = G\) : l'ensemble est réduit au point \(G(3;0)\).
Lignes de niveau — choisir le type d'ensemble
Centre \(I\) (milieu)
Lieu de \(M\)
XIII.4 — Produit vectoriel
Dans un espace orienté muni d'une base orthonormée directe, le produit vectoriel de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) (ou \(\vec{u} \times \vec{v}\)) défini par :
- \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\) si et seulement si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires ;
- sinon, \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\), la base \((\vec{u},\vec{v},\vec{u}\wedge\vec{v})\) est directe, et :
Antisymétrie : \(\vec{v}\wedge\vec{u} = -\,\vec{u}\wedge\vec{v}\) (intervertir les vecteurs change le signe).
Bilinéarité : \((\alpha\vec{u}+\vec{w})\wedge\vec{v} = \alpha(\vec{u}\wedge\vec{v}) + \vec{w}\wedge\vec{v}\).
Formule en coordonnées. Pour \(\vec{u}(x\,;y\,;z)\) et \(\vec{v}(x'\,;y'\,;z')\) :
\[ \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{pmatrix}yz' - zy'\\zx' - xz'\\xy' - yx'\end{pmatrix}. \]Moyen mnémotechnique : développer le déterminant symbolique \(\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\x'&y'&z'\end{vmatrix}\) selon la première ligne.
Applications directes :
- Colinéarité : \(\vec{u}\wedge\vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
- Aire du triangle \(ABC\) : \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\).
- \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\), utile pour écrire l'équation cartésienne du plan.
- Écrire les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) clairement, en colonnes si besoin.
- Appliquer la formule terme à terme : \(yz'-zy'\) ; \(zx'-xz'\) ; \(xy'-yx'\).
- Vérifier que le résultat est bien orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\) en calculant les deux produits scalaires (ils doivent valoir 0).
Exemple 1 — Calcul direct. \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) : \(\overrightarrow{AB}(-1;1;0)\), \(\overrightarrow{AC}(-1;0;1)\).
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}1\times1-0\times0\\0\times(-1)-(-1)\times1\\(-1)\times0-1\times(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. \]Aire de \(ABC\) : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{1+1+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Équation du plan : \(x + y + z = 1\) (vecteur normal \(\vec{n}(1;1;1)\), passant par \(A(1;0;0)\)).
Exemple 2 — Test de colinéarité. \(\vec{u}(2;-3;1)\), \(\vec{v}(4;-6;2)\). \(\vec{u}\wedge\vec{v} = (-3\times2-1\times(-6)\,;\,1\times4-2\times2\,;\,2\times(-6)-(-3)\times4) = (0;0;0)\). Les vecteurs sont colinéaires (\(\vec{v} = 2\vec{u}\)).
Exemple 3 — Vecteur normal et équation de plan. Plan passant par \(P(1;2;3)\), \(Q(2;0;1)\), \(R(0;1;2)\) : \(\overrightarrow{PQ}(1;-2;-2)\), \(\overrightarrow{PR}(-1;-1;-1)\), \(\overrightarrow{PQ}\wedge\overrightarrow{PR} = ((-2)(-1)-(-2)(-1)\,;\,(-2)(-1)-(1)(-1)\,;\,(1)(-1)-(-2)(-1)) = (2-2\,;\,2+1\,;\,-1-2) = (0;3;-3)\). Équation : \(0(x-1)+3(y-2)-3(z-3)=0\), soit \(y - z = -1\).
Astuce : pour mémoriser la formule, pensez à la règle « on omet la ligne et la colonne du coefficient », comme pour les déterminants.
Piège : le produit vectoriel n'est pas commutatif — c'est l'erreur la plus fréquente dans les copies. Écrire \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{AB}\) donne des vecteurs opposés, ce qui change l'orientation de la normale et peut affecter le signe de l'équation cartésienne du plan.
Aire du triangle par produit vectoriel — curseur sur \(C\)
Hauteur depuis \(C\)
XIII.5 — Cocyclicité
Dans un cercle de centre \(O\), l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) est le double de tout angle inscrit \(\widehat{ACB}\) qui intercepte le même arc \(\overset{\frown}{AB}\). Deux angles inscrits dans le même arc sont donc égaux.
\[ \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right) = 2\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \pmod{2\pi}. \]Cas particulier fondamental : si \([AB]\) est un diamètre, tout angle inscrit dans le demi-cercle vaut \(\pm\dfrac{\pi}{2}\) — c'est le théorème de Thalès dans le cercle.
Quatre points distincts \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont cocycliques ou alignés si et seulement si :
\[ \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right) \ [\pi]. \]En pratique, on calcule les deux angles orientés modulo \(\pi\) et on vérifie s'ils coïncident. Si l'un des quatre points est à l'infini, la condition se ramène à l'alignement des trois autres.
En notant \(z_A, z_B, z_C, z_D\) les affixes des quatre points, le critère de cocyclicité est équivalent à demander que le birapport
\[ \frac{(z_A - z_C)(z_B - z_D)}{(z_B - z_C)(z_A - z_D)} \in \mathbb{R}. \]Si ce birapport est réel strictement positif, les quatre points sont cocycliques (ils sont sur le même arc) ; s'il est négatif, ils sont cocycliques mais séparés par la corde \([AB]\). Ce lien est exploité dans les exercices qui mêlent géométrie et complexes.
- Méthode directe : chercher le cercle passant par trois des points (deux médiatrices perpendiculaires) et vérifier que le quatrième est sur ce cercle.
- Méthode des angles : calculer \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) et \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) et montrer qu'ils sont égaux modulo \(\pi\).
- Méthode des complexes : montrer que le birapport est réel.
Exemple 1 — Cercle de diamètre et angle droit. Si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) pour tout \(M\) d'un ensemble \(\mathcal{E}\), alors \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2}\) : tous les points de \(\mathcal{E}\) voient \([AB]\) sous un angle droit. Par le théorème de Thalès inversé, \(\mathcal{E}\) est le cercle de diamètre \([AB]\) — la ligne de niveau de la section précédente et le critère de cocyclicité se rejoignent.
Exemple 2 — Vérification par les angles. \(A(1;0)\), \(B(-1;0)\), \(C(0;1)\), \(D(0;-1)\). \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\) : \(\overrightarrow{CA}(1;-1)\), \(\overrightarrow{CB}(-1;-1)\), \(\cos\theta = \frac{-1+1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = 0\), donc l'angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). \(\left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\) : \(\overrightarrow{DA}(1;1)\), \(\overrightarrow{DB}(-1;1)\), même calcul, angle vaut \(\tfrac{\pi}{2}\). Égalité modulo \(\pi\) : les quatre points sont cocycliques. (C'est le cercle unité \(x^2+y^2=1\).)
Cocyclicité — déplacer \(D\) pour voir quand les quatre points restent cocycliques
Point \(D\) (mobile)
D sur le cercle : cocycliques
XIII.Bac — Géométrie vectorielle dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \((O\,;\,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), on donne les points \(A(2;0;0)\), \(B(0;4;0)\) et \(C(0;0;3)\). Soit \(G\) le barycentre de \((A,1)\), \((B,2)\), \((C,3)\).
Question 1 — Coordonnées de \(G\).
La somme des poids est \(1 + 2 + 3 = 6\). On applique la formule des coordonnées :
\[ x_G = \frac{1\times2 + 2\times0 + 3\times0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_G = \frac{1\times0 + 2\times4 + 3\times0}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad z_G = \frac{1\times0 + 2\times0 + 3\times3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}. \]Donc \(G\!\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{3}{2}\right)\). On peut vérifier par la formule de réduction : \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}\) doit être nul — un bon réflexe dans une copie de bac.
Question 2 — Vecteur normal au plan \((ABC)\).
On calcule \(\overrightarrow{AB}(-2;4;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-2;0;3)\).
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4\times3-0\times0\\0\times(-2)-(-2)\times3\\(-2)\times0-4\times(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12\\6\\8\end{pmatrix}. \]On peut simplifier en divisant par 2 : un vecteur normal au plan \((ABC)\) est \(\vec{n}(6;3;4)\). L'équation du plan s'écrit alors, en passant par \(A(2;0;0)\) :
\[ 6(x-2) + 3(y-0) + 4(z-0) = 0 \;\iff\; 6x + 3y + 4z = 12. \]Vérification : \(B(0;4;0)\) : \(0+12+0=12\). \(C(0;0;3)\) : \(0+0+12=12\). Correct.
Question 3 — Distance de l'origine au plan \((ABC)\).
La formule de la distance d'un point \(P(x_0;y_0;z_0)\) au plan \(ax+by+cz+d=0\) est :
\[ d = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \]Le plan est \(6x+3y+4z-12=0\). Pour \(O(0;0;0)\) :
\[ d(O, (ABC)) = \frac{|6\times0+3\times0+4\times0-12|}{\sqrt{36+9+16}} = \frac{12}{\sqrt{61}}. \]Question 4 — Aire du triangle \(ABC\).
On a calculé \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = (12;6;8)\). Sa norme est \(\sqrt{144+36+64} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}\). Donc :
\[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2}\times2\sqrt{61} = \sqrt{61}. \]Remarque : on peut retrouver ce résultat avec la formule \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times AB\times d(C,(AB))\), mais la méthode du produit vectoriel est nettement plus rapide quand les coordonnées sont connues.
Question 5 — Ensemble de points \(\mathcal{E}\).
On cherche l'ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M\) vérifiant :
\[ MA^2 + 2\,MB^2 = 38. \]Le barycentre \(G'\) de \((A,1)\) et \((B,2)\) vérifie \(x_{G'} = \tfrac{2\times2}{3} = \tfrac{4}{3}\), \(y_{G'} = \tfrac{2\times4}{3} = \tfrac{8}{3}\), \(z_{G'} = 0\), soit \(G'\!\left(\tfrac{4}{3};\tfrac{8}{3};0\right)\). La formule de réduction donne :
\[ MA^2 + 2\,MB^2 = 3\,MG'^{\,2} + \frac{1\times2}{3}\,AB^2. \]\(AB^2 = 4+16+0 = 20\), donc \(\dfrac{2}{3}\times20 = \dfrac{40}{3}\). L'équation devient : \(3\,MG'^{\,2} = 38 - \dfrac{40}{3} = \dfrac{114-40}{3} = \dfrac{74}{3}\), soit \(MG'^{\,2} = \dfrac{74}{9}\).
L'ensemble \(\mathcal{E}\) est la sphère de centre \(G'\!\left(\tfrac{4}{3};\tfrac{8}{3};0\right)\) et de rayon \(r = \dfrac{\sqrt{74}}{3}\).
Définition : \(\sum a_i\overrightarrow{GA_i} = \vec{0}\). Réduction : \(\sum a_i\overrightarrow{MA_i} = (\sum a_i)\overrightarrow{MG}\). Coordonnées : \(x_G = \dfrac{\sum a_i x_{A_i}}{\sum a_i}\).
Trois expressions : angle, coordonnées, polarisation. Projection : \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AH\times\epsilon\).
Théorème de la médiane : \(MA^2+MB^2 = 2MI^2 + \tfrac{AB^2}{2}\). Cercle de diamètre : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \iff MI = \tfrac{AB}{2}\).
Formule : \(\vec{u}\wedge\vec{v} = (yz'-zy'\,;\,zx'-xz'\,;\,xy'-yx')\). Aire : \(\tfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\).
Critère angulaire : \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\ [\pi]\). Lien complexes : birapport réel.
Statistiques à deux variables
XIV.1 — Série double, nuage et point moyen
Une série statistique double associe à chaque individu d'une population deux caractères quantitatifs \(x\) et \(y\). Elle se présente sous la forme de \(n\) couples \((x_i\,;\,y_i)\), pour \(i = 1, 2, \ldots, n\). Représenter ces \(n\) couples dans un repère cartésien donne le nuage de points associé à la série.
La forme générale du nuage renseigne immédiatement sur la nature de la liaison : un nuage allongé selon une direction indique une tendance affine ; un nuage en courbe suggère une liaison non linéaire ; un nuage dispersé sans direction privilégiée traduit l'absence de liaison.
Le point moyen (ou centre de gravité) du nuage est le point \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) dont les coordonnées sont les moyennes respectives des deux séries :
\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad\qquad \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i. \]Résultat fondamental : toute droite d'ajustement obtenue par les méthodes présentées dans ce chapitre passe obligatoirement par \(G\). Vérifier ce passage est donc un moyen de contrôler ses calculs.
On observe cinq élèves : nombre d'heures de révision \(x\) et note obtenue \(y\) (sur 20).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 6 | 9 | 11 | 14 | 18 |
\(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+5+7}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6\) ; \(\bar{y} = \dfrac{6+9+11+14+18}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6\).
Le point moyen est \(G(3{,}6\,;\,11{,}6)\).
Avec les données précédentes, les points \((1;6), (2;9), (3;11), (5;14), (7;18)\) forment un nuage allongé vers le haut à droite : la liaison semble positive et affine. Le point \(G(3{,}6\,;\,11{,}6)\) se trouve visuellement au centre du nuage.
Confondre \(\bar{x}\bar{y}\) (produit des moyennes) et \(\overline{xy} = \dfrac{1}{n}\sum x_i y_i\) (moyenne des produits). Ces deux quantités sont en général distinctes, et leur différence est précisément la covariance.
Nuage de points et point moyen
Point moyen \(G\)
XIV.2 — Ajustement affine : méthode de Mayer
La droite de Mayer est une droite d'ajustement obtenue graphiquement à partir de deux points moyens partiels. Elle offre une estimation rapide de la tendance sans calculs intensifs.
On procède en trois étapes successives.
Étape 1. Ranger les points par abscisses croissantes, puis partager le nuage en deux sous-nuages d'effectifs égaux (ou aussi proches que possible). En cas d'effectif impair, le point médian est mis de côté ou rattaché à l'un des deux sous-nuages selon la consigne.
Étape 2. Calculer le point moyen \(G_1(\bar{x}_1\,;\,\bar{y}_1)\) du premier sous-nuage (les petites valeurs de \(x\)) et le point moyen \(G_2(\bar{x}_2\,;\,\bar{y}_2)\) du second sous-nuage (les grandes valeurs de \(x\)).
Étape 3. La droite de Mayer est la droite \((G_1 G_2)\). Son équation \(y = ax + b\) s'obtient par :
\[ a = \frac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x} \]où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes globales. La vérification que la droite passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) est indispensable.
Six couples classés par \(x\) croissant : \((1;3), (2;4), (3;6), (5;8), (6;10), (8;13)\).
Sous-nuage bas (3 premiers) : \(G_1\!\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\,\dfrac{3+4+6}{3}\right) = G_1(2\,;\,\tfrac{13}{3})\).
Sous-nuage haut (3 derniers) : \(G_2\!\left(\dfrac{5+6+8}{3}\,;\,\dfrac{8+10+13}{3}\right) = G_2\!\left(\tfrac{19}{3}\,;\,\tfrac{31}{3}\right)\).
Pente : \(a = \dfrac{\tfrac{31}{3} - \tfrac{13}{3}}{\tfrac{19}{3} - 2} = \dfrac{\tfrac{18}{3}}{\tfrac{13}{3}} = \dfrac{18}{13} \approx 1{,}38\).
Moyenne globale : \(\bar{x} = \dfrac{25}{6} \approx 4{,}17\) ; \(\bar{y} = \dfrac{44}{6} \approx 7{,}33\). Alors \(b = 7{,}33 - 1{,}38 \times 4{,}17 \approx 1{,}57\).
Droite de Mayer approximative : \(y \approx 1{,}38\,x + 1{,}57\). Vérification : \(G(\approx\!4{,}17\,;\,\approx\!7{,}33)\) appartient bien à cette droite (\(1{,}38 \times 4{,}17 + 1{,}57 \approx 7{,}33\)).
Données : \((1;2), (2;3), (3;5), (4;6), (5;9)\). L'effectif est 5 (impair). On écarte le point médian \((3;5)\) et on forme deux sous-nuages de 2 points.
\(G_1(1{,}5\,;\,2{,}5)\) et \(G_2(4{,}5\,;\,7{,}5)\). Pente : \(a = \dfrac{7{,}5 - 2{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\). Moyenne globale : \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=5\). Alors \(b = 5 - \tfrac{5}{3} \times 3 = 0\).
Droite de Mayer : \(y = \dfrac{5}{3}\,x\) (passe par l'origine).
La méthode de Mayer est rapide et intuitive, mais le résultat dépend du découpage choisi : un autre partage donne une droite différente. Elle constitue une estimation grossière là où la méthode des moindres carrés (section suivante) fournit une droite unique, optimale au sens de la minimisation des écarts au carré.
Astuce. Pour vérifier rapidement que la droite de Mayer passe par \(G\), il suffit de constater que \(G\) est à mi-chemin de \(G_1\) et \(G_2\) lorsque les deux sous-nuages ont le même effectif. En effet, dans ce cas \(\bar{x} = \tfrac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2}\) et de même pour \(\bar{y}\).
Droite de Mayer et sous-nuages
Sous-nuage haut
\(G_1\) et \(G_2\)
Droite de Mayer
XIV.3 — Ajustement par les moindres carrés
La covariance de \(x\) et \(y\) mesure la tendance commune des deux variables à s'écarter simultanément de leur moyenne :
\[ \operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}. \]Les variances des deux séries sont définies par :
\[ V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 \qquad V(y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \bar{y}^2. \]Les écarts-types sont \(\sigma_x = \sqrt{V(x)}\) et \(\sigma_y = \sqrt{V(y)}\).
Parmi toutes les droites d'équation \(y = ax + b\), celle qui minimise la somme \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2\) des carrés des écarts verticaux est unique. C'est la droite des moindres carrés de \(y\) en \(x\), d'équation \(y = ax + b\) avec :
\[ a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}. \]Cette droite passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Pour ne pas se perdre dans les formules, on dresse systématiquement un tableau à cinq colonnes : \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_i y_i\). On somme chaque colonne, on en déduit \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\overline{x^2}\), \(\overline{y^2}\), \(\overline{xy}\), puis \(V(x)\), \(V(y)\) et \(\operatorname{cov}(x,y)\). Enfin, \(a\) et \(b\) se calculent sans ambiguïté.
Reprenons \((1;2), (2;3), (3;5), (4;6), (5;9)\) avec \(n=5\).
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 6 |
| 3 | 5 | 9 | 25 | 15 |
| 4 | 6 | 16 | 36 | 24 |
| 5 | 9 | 25 | 81 | 45 |
| 15 | 25 | 55 | 155 | 92 |
\(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 5\), \(\overline{xy} = \dfrac{92}{5} = 18{,}4\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = 18{,}4 - 3 \times 5 = 3{,}4\).
\(V(x) = \dfrac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2\).
\(a = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7\) ; \(b = 5 - 1{,}7 \times 3 = -0{,}1\).
Droite des moindres carrés : \(y = 1{,}7\,x - 0{,}1\).
Avec la droite \(y = 1{,}7\,x - 0{,}1\), on peut extrapoler : pour \(x = 7\), on obtient \(y = 1{,}7 \times 7 - 0{,}1 = 11{,}8\).
Attention : extrapoler au-delà des données observées suppose que la tendance affine se maintient, ce qui doit toujours être justifié par le contexte.
On peut aussi régresser \(x\) sur \(y\) : la droite \(x = a'y + b'\) minimise les carrés des écarts horizontaux, avec \(a' = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(y)}\) et \(b' = \bar{x} - a'\bar{y}\). Les deux droites de régression sont distinctes en général ; elles coïncident uniquement si tous les points sont exactement alignés (\(|r| = 1\)).
Pour prévoir \(y\) à partir de \(x\), on utilise la droite de régression de \(y\) en \(x\) (pas l'autre). Inverser les rôles conduit à une droite différente et à des prédictions faussées. La droite à utiliser se choisit selon quelle variable joue le rôle de la variable expliquée.
Moindres carrés : visualiser les écarts
Droite actuelle
Résidus au carré
Somme des carrés : (min = )
XIV.4 — Coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire \(r\) mesure l'intensité et le sens de la liaison linéaire entre \(x\) et \(y\).
On a toujours \(-1 \le r \le 1\), et l'interprétation se lit ainsi :
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation |
|---|---|
| \(|r| = 1\) | Alignement parfait (liaison affine exacte) |
| \(|r| \ge 0{,}87\) | Liaison forte, ajustement affine acceptable (\(r^2 \ge 0{,}75\)) |
| \(0{,}5 \le |r| < 0{,}87\) | Liaison modérée, ajustement à interpréter avec prudence |
| \(|r| < 0{,}5\) | Liaison faible ou inexistante (ajustement non pertinent) |
Le signe de \(r\) indique le sens : \(r > 0\) signifie une liaison positive (quand \(x\) augmente, \(y\) tend à augmenter aussi) ; \(r < 0\), une liaison négative.
Suite de l'exemple de la section 3 : \(\operatorname{cov}(x,y) = 3{,}4\), \(V(x) = 2\), \(V(y) = \dfrac{155}{5} - 25 = 31 - 25 = 6\).
\(r = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{2 \times 6}} = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{12}} \approx \dfrac{3{,}4}{3{,}464} \approx 0{,}982\).
Comme \(r \approx 0{,}98 > 0{,}87\), l'ajustement affine est excellent. La liaison est positive et très forte.
Données : températures \(x\) (°C) et ventes de chocolat chaud \(y\) (centaines d'unités) : \((5;9), (10;7), (15;5), (20;3), (25;1)\).
\(\bar{x} = 15\), \(\bar{y} = 5\). \(\sum x_i y_i = 45 + 70 + 75 + 60 + 25 = 275\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = \dfrac{275}{5} - 15 \times 5 = 55 - 75 = -20\).
\(V(x) = \dfrac{5^2+10^2+\cdots+25^2}{5} - 225 = \dfrac{1375}{5}-225 = 275-225 = 50\). \(V(y) = \dfrac{81+49+25+9+1}{5} - 25 = 33 - 25 = 8\).
\(r = \dfrac{-20}{\sqrt{50 \times 8}} = \dfrac{-20}{\sqrt{400}} = \dfrac{-20}{20} = -1\).
\(r = -1\) : les cinq points sont parfaitement alignés selon une droite décroissante. La liaison est parfaitement linéaire négative.
Un coefficient \(r\) proche de 0 ne signifie pas l'absence de toute liaison : il peut exister une liaison non linéaire (parabolique, exponentielle…) que \(r\) ne détecte pas. Toujours tracer le nuage avant de conclure à une absence de liaison.
On peut montrer que \(r^2 = a \times a'\) où \(a\) est la pente de la droite de régression de \(y\) en \(x\) et \(a'\) celle de \(x\) en \(y\). C'est une façon de vérifier le calcul de \(r\) sans recalculer les variances.
Influence de \(r\) sur la forme du nuage
XIV.5 — Exercice type Bac
Une entreprise enregistre, pour huit années consécutives, la production annuelle \(x_i\) (en milliers de tonnes) et la masse salariale \(y_i\) (en millions de francs CFA). Les données sont :
| Année \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| \(y_i\) | 32 | 37 | 42 | 49 | 56 | 61 | 70 | 73 |
Question 1. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), et donner les coordonnées du point moyen \(G\).
\(\displaystyle\bar{x} = \frac{10+12+14+16+18+20+22+24}{8} = \frac{136}{8} = 17\).
\(\displaystyle\bar{y} = \frac{32+37+42+49+56+61+70+73}{8} = \frac{420}{8} = 52{,}5\).
Le point moyen est \(\boxed{G(17\,;\,52{,}5)}\).
Question 2. À l'aide de la méthode de Mayer, déterminer une équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\). On partagera le nuage en deux sous-nuages de quatre points.
Sous-nuage bas (\(x = 10, 12, 14, 16\)) : \(\bar{x}_1 = 13\), \(\bar{y}_1 = \dfrac{32+37+42+49}{4} = \dfrac{160}{4} = 40\). Donc \(G_1(13\,;\,40)\).
Sous-nuage haut (\(x = 18, 20, 22, 24\)) : \(\bar{x}_2 = 21\), \(\bar{y}_2 = \dfrac{56+61+70+73}{4} = \dfrac{260}{4} = 65\). Donc \(G_2(21\,;\,65)\).
Pente : \(a = \dfrac{65 - 40}{21 - 13} = \dfrac{25}{8} = 3{,}125\).
Ordonnée à l'origine : \(b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 52{,}5 - 3{,}125 \times 17 = 52{,}5 - 53{,}125 = -0{,}625\).
Vérification : \(G(17\,;\,52{,}5)\) appartient à la droite : \(3{,}125 \times 17 - 0{,}625 = 53{,}125 - 0{,}625 = 52{,}5\). Correct.
Droite de Mayer : \(\boxed{y = 3{,}125\,x - 0{,}625}\).
Question 3. Calculer la covariance \(\operatorname{cov}(x,y)\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), puis déterminer la droite de régression des moindres carrés de \(y\) en \(x\).
On dresse le tableau de calcul :
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 32 | 100 | 1024 | 320 |
| 12 | 37 | 144 | 1369 | 444 |
| 14 | 42 | 196 | 1764 | 588 |
| 16 | 49 | 256 | 2401 | 784 |
| 18 | 56 | 324 | 3136 | 1008 |
| 20 | 61 | 400 | 3721 | 1220 |
| 22 | 70 | 484 | 4900 | 1540 |
| 24 | 73 | 576 | 5329 | 1752 |
| 136 | 420 | 2480 | 23644 | 7656 |
\(\overline{xy} = \dfrac{7656}{8} = 957\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = 957 - 17 \times 52{,}5 = 957 - 892{,}5 = 64{,}5\).
\(V(x) = \dfrac{2480}{8} - 17^2 = 310 - 289 = 21\).
\(V(y) = \dfrac{23644}{8} - 52{,}5^2 = 2955{,}5 - 2756{,}25 = 199{,}25\).
\(a = \dfrac{64{,}5}{21} \approx 3{,}071\) ; \(b = 52{,}5 - 3{,}071 \times 17 \approx 52{,}5 - 52{,}21 \approx 0{,}29\).
Droite des moindres carrés : \(\boxed{y \approx 3{,}07\,x + 0{,}29}\).
Question 4. Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et commenter la qualité de l'ajustement.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x) \cdot V(y)}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{21 \times 199{,}25}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{4184{,}25}} \approx \dfrac{64{,}5}{64{,}69} \approx 0{,}997\).
Le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) est très proche de 1. Comme \(|r| > 0{,}87\), la liaison affine entre production et masse salariale est très forte et positive. L'ajustement par une droite est donc excellent et les prévisions réalisées à partir de la droite des moindres carrés seront fiables dans la plage des données observées.
Question 5. En utilisant la droite des moindres carrés, estimer la masse salariale prévue pour une production de \(x = 28\) milliers de tonnes. Cette extrapolation vous semble-t-elle raisonnable ? Justifier.
Pour \(x = 28\) : \(y \approx 3{,}07 \times 28 + 0{,}29 = 85{,}96 + 0{,}29 \approx 86{,}25\).
La masse salariale estimée serait d'environ 86,25 millions de francs CFA.
Cette extrapolation reste raisonnable : \(x = 28\) est légèrement au-delà des données observées (\(x\) allait jusqu'à 24), mais le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) confirme une tendance très régulière. On peut supposer que la tendance se maintient sur une courte extrapolation. En revanche, extrapoler jusqu'à \(x = 100\) ou plus serait imprudent sans nouvelle information.
\(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) avec \(\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i\). Toute droite d'ajustement passe par \(G\).
Partager en deux sous-nuages, calculer \(G_1\) et \(G_2\), puis écrire l'équation de \((G_1 G_2)\). Vérifier le passage par \(G\).
\(\operatorname{cov}(x,y) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}\). Dresser un tableau avec \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_i y_i\).
\(a = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\,\bar{x}\). Droite unique, optimale.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)\,V(y)}}\), \(-1 \le r \le 1\). Ajustement acceptable si \(|r| \ge 0{,}87\).
Utiliser la droite de \(y\) en \(x\) pour prédire \(y\). L'extrapolation doit rester proche des données observées.
Matrices
Les matrices figurent au programme officiel de Terminale C, mais elles sont non exigibles à l'épreuve du Baccalauréat. Ce chapitre est donc un approfondissement : il consolide la maîtrise du calcul algébrique et prépare sérieusement aux études supérieures — classes préparatoires, licences scientifiques, économie mathématique — sans être évalué au Bac.
L'idée centrale est simple : une matrice est un tableau de nombres sur lequel on définit des opérations. Ce qui est remarquable — et parfois déroutant — c'est que ces opérations ressemblent à l'algèbre habituelle, mais pas tout à fait : le produit matriciel, notamment, n'est pas commutatif.
XV.1 — Définitions et vocabulaire
En algèbre, il arrive fréquemment qu'on veuille manipuler plusieurs nombres en même temps : les coefficients d'un système d'équations, les coordonnées d'une transformation géométrique, les données d'un tableau statistique. L'outil matriciel répond exactement à ce besoin.
Une matrice de dimension \(m \times n\) est un tableau rectangulaire de \(m\) lignes et \(n\) colonnes de réels, noté \(A = (a_{ij})\) où \(a_{ij}\) désigne le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}). \]La matrice est dite carrée d'ordre \(n\) lorsque \(m = n\) : autant de lignes que de colonnes. Les coefficients \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) forment la diagonale principale.
Deux cas particuliers sont à connaître par cœur. La matrice nulle \(O\) a tous ses coefficients nuls ; elle joue le rôle du \(0\) pour l'addition. La matrice identité \(I_n\) a des \(1\) sur la diagonale et des \(0\) partout ailleurs.
\[ O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Une matrice de dimension \(n \times 1\) est appelée matrice colonne (ou vecteur colonne). C'est la forme standard pour représenter les inconnues d'un système linéaire.
\[ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}). \]Exemple 1 (basique). Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & -4 \end{pmatrix}\). \(A\) est de dimension \(2 \times 3\) (2 lignes, 3 colonnes). On lit : \(a_{12} = -1\), \(a_{23} = -4\), \(a_{21} = 2\).
Exemple 2 (carrée). \(B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\) est carrée d'ordre 2. Sa diagonale principale est \((4, 2)\). On note \(b_{12} = 7\), \(b_{21} = -3\).
Exemple 3 (colonne). \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) est une matrice colonne de dimension \(3 \times 1\). Elle représente, par exemple, les coordonnées d'un vecteur dans \(\mathbb{R}^3\).
L'indice \(a_{ij}\) se lit « ligne \(i\), colonne \(j\) » — pensez à « Ligne avant Colonne », comme les coordonnées \((y, x)\) d'une grille de tableau. On fait attention : \(a_{12}\) est à la première ligne, deuxième colonne, pas l'inverse.
XV.2 — Opérations sur les matrices
On peut doter l'ensemble des matrices de plusieurs lois de calcul. Certaines sont très proches de ce qu'on connaît avec les réels ; d'autres réservent des surprises.
La somme de deux matrices de même dimension se calcule terme à terme. Le produit par un réel \(\lambda\) multiplie chaque coefficient.
\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}, \qquad \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}. \]Ces deux opérations sont commutatives et vérifient les mêmes propriétés que pour les réels (associativité, distributivité). La matrice nulle \(O\) est le neutre de l'addition.
Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ 3A - 2B = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -6 & -8 \end{pmatrix}. \]Le produit \(AB\) est défini si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Pour des matrices carrées d'ordre 2 :
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{pmatrix}. \]La règle à mémoriser : le coefficient à la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\). On multiplie terme à terme puis on additionne.
La matrice identité \(I_2\) est neutre pour ce produit : \(A I_2 = I_2 A = A\) pour toute matrice carrée \(A\) d'ordre 2.
Pour calculer \(AB\), on procède position par position. Pour le coefficient \((AB)_{ij}\), on prend la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\), on multiplie les termes deux à deux et on les additionne.
Concrètement avec \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\), le calcul complet :
- Position (1,1) : \(a \cdot a' + b \cdot c'\)
- Position (1,2) : \(a \cdot b' + b \cdot d'\)
- Position (2,1) : \(c \cdot a' + d \cdot c'\)
- Position (2,2) : \(c \cdot b' + d \cdot d'\)
Exemple 1. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}. \]Exemple 2 — Produit avec matrice colonne. Si \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors :
\[ AX = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + y \end{pmatrix}. \]On retrouve exactement les membres gauches d'un système : \(\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+y=3 \end{cases}\) s'écrit \(AX = B\) avec \(B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\).
En général, \(AB \neq BA\). Il faut à chaque fois préciser si l'on multiplie à gauche ou à droite. Par exemple, avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{mais} \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]Les deux résultats sont différents. Dans les calculs matriciels, on ne peut donc pas factoriser ou développer comme avec des réels sans précaution.
Calculateur de produit matriciel — matrices \(2 \times 2\)
Entrez les coefficients des matrices \(A\) et \(B\), puis observez \(AB\), \(BA\) et la différence \(AB - BA\).
Matrice A
Matrice B
AB =
BA =
AB − BA =
Modifiez les coefficients — les produits \(AB\) et \(BA\) se recalculent instantanément. Essayez de trouver une paire \((A,B)\) pour laquelle \(AB = BA\) (commutatif) !
XV.3 — Déterminant et matrice inverse
Parmi les matrices carrées d'ordre 2, certaines admettent un inverse pour le produit — à la façon dont tout réel non nul admet un inverse pour la multiplication. Le déterminant est le critère qui permet de trancher.
Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 est le réel :
\[ \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. \]On le calcule en faisant le produit des coefficients de la diagonale principale (\(ad\)) moins le produit de la diagonale secondaire (\(bc\)).
Une matrice carrée \(A\) d'ordre 2 est inversible si et seulement si \(\det A \neq 0\). Dans ce cas, son unique inverse est :
\[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]La règle est simple à mémoriser : on échange \(a\) et \(d\), on change les signes de \(b\) et \(c\), puis on divise par le déterminant. On a bien \(A A^{-1} = A^{-1} A = I_2\).
- Calculer \(\det A = ad - bc\).
- Vérifier que \(\det A \neq 0\) (sinon l'inverse n'existe pas).
- Construire la comatrice : \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) (échanges \(a \leftrightarrow d\), signes de \(b, c\) changés).
- Diviser chaque coefficient par \(\det A\).
- Vérifier en calculant \(A A^{-1}\) : on doit obtenir \(I_2\).
Exemple 1 — Matrice inversible. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).
\[ \det A = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0 \implies A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]Vérification : \(AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2.\)
Exemple 2 — Matrice non inversible. \(B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
\[ \det B = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 0. \]Le déterminant est nul : \(B\) n'est pas inversible. On remarque que la deuxième ligne est la moitié de la première — les lignes sont colinéaires, ce qui correspond géométriquement à un système sans solution unique.
Exemple 3. \(C = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\).
\[ \det C = 3 \times 4 - (-2) \times 5 = 12 + 10 = 22 \neq 0 \implies C^{-1} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}. \]Lorsqu'on calcule \(A^{-1}\), on divise par \(\det A\), pas par \(ad\) ni par \(bc\) séparément. Une erreur très fréquente est d'oublier de diviser tous les coefficients par le déterminant — ou pire, de diviser seulement la diagonale. La vérification \(AA^{-1} = I_2\) permet de détecter tout oubli.
Déterminant et inverse — matrice \(2 \times 2\)
Entrez les coefficients de \(A\). Le déterminant et l'inverse (si possible) sont calculés en temps réel.
Matrice A
det(A) =
Essayez \(a=2, b=4, c=1, d=2\) pour voir un déterminant nul et l'absence d'inverse.
XV.4 — Résolution matricielle d'un système linéaire
Le langage matriciel permet de condenser un système de deux équations à deux inconnues en une seule égalité \(AX = B\) — et de le résoudre en une seule opération dès lors que \(A\) est inversible.
Le système \(\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}\) se réécrit sous la forme compacte \(AX = B\) où :
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}. \]Si \(\det A \neq 0\), le système admet une solution unique donnée par :
\[ X = A^{-1} B. \]On calcule d'abord \(A^{-1}\), puis on effectue le produit matriciel \(A^{-1} B\).
Si \(AX = B\), on multiplie à gauche par \(A^{-1}\) :
\[ A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies I_2 X = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B. \]L'associativité du produit matriciel est cruciale ici. On note qu'on multiplie à gauche par \(A^{-1}\) — la commutativité n'est pas assurée.
Exemple 1. Résoudre \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\).
La matrice du système est \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(\det A = 1\), \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) (calculé en §3). La matrice second membre est \(B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\).
\[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]Solution : \((x\,;y) = (2\,;1)\). Vérification : \(2(2)+1 = 5\) et \(2+1 = 3\).
Exemple 2. Résoudre \(\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}\).
\(A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\), \(\det A = 12 + 10 = 22\), \(A^{-1} = \dfrac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\).
\[ X = A^{-1}B = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 28+2 \\ -35+3 \end{pmatrix} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 30 \\ -32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/11 \\ -16/11 \end{pmatrix}. \]Solution : \(x = \dfrac{15}{11}\), \(y = -\dfrac{16}{11}\).
Si \(\det A = 0\), la méthode matricielle est inapplicable. Le système peut alors être incompatible (aucune solution) ou indéterminé (infinité de solutions). Dans ce cas, on revient aux méthodes élémentaires : substitution ou combinaison linéaire.
Résolveur matriciel — système \(2\times 2\)
Entrez les coefficients \(a, b, c, d\) et les seconds membres \(e, f\) du système \(\begin{cases}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{cases}\).
Matrice A
Second membre B
det(A) =
Modifiez les coefficients — la solution \((x\,;y)\) se met à jour instantanément. Essayez un système sans solution : posez \(a=2, b=4, c=1, d=2\).
XV.Bac — Application complète
On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\).
- Calculer \(\det A\).
- Montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
- Vérifier que \(A A^{-1} = I_2\).
- Résoudre le système \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases}\) en utilisant la méthode matricielle.
- Que se passe-t-il si le second membre est remplacé par \(B' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ? Interpréter.
1. Calcul du déterminant.
Le déterminant vaut \(1\). C'est une valeur particulièrement agréable : l'inverse sera à coefficients entiers.
2. Inversibilité et calcul de \(A^{-1}\).
Comme \(\det A = 1 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible. On applique la formule :
\[ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}. \](Rappel de la règle : on échange \(a_{11}\) et \(a_{22}\), on change les signes de \(a_{12}\) et \(a_{21}\), puis on divise par le déterminant.)
3. Vérification \(AA^{-1} = I_2\).
4. Résolution matricielle du système.
Le système \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases}\) s'écrit \(AX = B\) avec \(B = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}\).
Comme \(\det A \neq 0\), la solution est unique et vaut \(X = A^{-1}B\) :
\[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 5 \\ -14 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]Solution : \((x\,;y) = (2\,;1)\).
Vérification dans le système original : \(3(2)+1 = 7\), \(2(2)+1 = 5\).
5. Second membre nul — \(B' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Le système devient \(\begin{cases} 3x + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}\). On applique la même méthode :
\[ X = A^{-1}B' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]La seule solution est \((x\,;y) = (0\,;0)\). C'est toujours le cas lorsque la matrice est inversible et que le second membre est nul : un système homogène \(AX = 0\) avec \(\det A \neq 0\) n'admet que la solution triviale \(X = 0\). Cela s'interprète géométriquement comme deux droites concourantes en l'origine.
Matrice \(m\times n\) : tableau de \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Matrice carrée d'ordre \(n\) : \(m=n\). Coefficients notés \(a_{ij}\) (ligne \(i\), colonne \(j\)).
Somme terme à terme. Produit \(AB\) : coefficient \((i,j)\) = ligne \(i\) de \(A\) · colonne \(j\) de \(B\). Non-commutatif : \(AB \neq BA\) en général.
\(\det A = ad - bc\) pour \(A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Diagonale principale moins diagonale secondaire.
\(A\) inversible \(\Leftrightarrow \det A \neq 0\). Formule : \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). On vérifie toujours : \(AA^{-1}=I_2\).
\(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) s'écrit \(AX=B\). Si \(\det A\neq 0\) : solution unique \(X = A^{-1}B\).