Exercices — Vecteurs, Stats & Matrices
Calcul vectoriel · Statistiques 2 variables · Matrices
Partie 5 sur 5 · Terminale C
🔵 Chapitre XIII — Calcul vectoriel et configurations
Réduction vectorielle simple
FacileExercice 1 — Réduction vectorielle
Soit $A$ et $B$ deux points, $G$ le barycentre de $(A,3)$ et $(B,1)$. Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
$3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0$.
$\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}$, donc $3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=\vec0$, soit $4\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AG} = \dfrac14\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un barycentre
FacileExercice 2 — Coordonnées d'un barycentre
Soit $A(1\,;2)$, $B(5\,;-2)$, $C(-2\,;4)$ affectés des coefficients $1$, $2$, $1$. Calculer les coordonnées du barycentre $G$.
$$x_G = \frac{1\times1+2\times5+1\times(-2)}{1+2+1} = \frac{9}{4}.$$
$$y_G = \frac{1\times2+2\times(-2)+1\times4}{4} = \frac{2}{4} = \frac12.$$
$G\!\left(\dfrac94\,;\dfrac12\right)$.
Ligne de niveau : théorème de la médiane
MoyenExercice 3 — Théorème de la médiane
Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=6$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2+MB^2=50$.
Avec $I$ milieu de $[AB]$ : $$MA^2+MB^2 = 2MI^2+\frac{AB^2}{2}.$$
$\dfrac{AB^2}{2}=\dfrac{36}{2}=18$, donc $2MI^2+18=50 \Rightarrow MI^2=16 \Rightarrow MI=4$.
L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$), de rayon $4$.
Ligne de niveau pondérée
DifficileExercice 4 — Ligne de niveau pondérée
Soit $A$, $B$ deux points avec $AB=4$. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $2MA^2+MB^2=24$, en utilisant le barycentre $G$ de $(A,2)$ et $(B,1)$.
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Comme $2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec0$, on montre que $$2MA^2+MB^2 = 3MG^2+2GA^2+GB^2.$$
$G=\dfrac{2A+B}{3}$ donne $AG=\dfrac13AB=\dfrac43$ et $GB=AB-AG=\dfrac83$.
$$2GA^2+GB^2 = 2\times\frac{16}{9}+\frac{64}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}.$$
$3MG^2+\dfrac{32}{3}=24 \Rightarrow MG^2=\dfrac{40}{9} \Rightarrow MG=\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$. L'ensemble est le cercle de centre $G$, de rayon $\dfrac{2\sqrt{10}}{3}$.
Produit vectoriel et aire d'un triangle
DifficileExercice 5 — Produit vectoriel et aire
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, soit $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$, $C(0\,;0\,;3)$. Calculer $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}$, en déduire l'aire du triangle $ABC$ et un vecteur normal au plan $(ABC)$.
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$\overrightarrow{AB}(-1\,;2\,;0)$, $\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;3)$.
$$\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \big(2\times3-0\times0\ ;\ 0\times(-1)-(-1)\times3\ ;\ (-1)\times0-2\times(-1)\big) = (6\,;3\,;2).$$
$\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$, donc l'aire vaut $\dfrac{7}{2}=3{,}5$.
$\vec n(6\,;3\,;2)$ est normal au plan $(ABC)$.
Cocyclicité d'un rectangle
DifficileExercice 6 — Cocyclicité d'un rectangle
Soit $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(4\,;3)$, $D(0\,;3)$. Montrer que ces quatre points sont cocycliques et déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit.
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$ABCD$ est un rectangle : ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ sont de même longueur et se coupent en leur milieu commun $\Omega$.
$\Omega$ = milieu de $[AC]$ = $\left(\dfrac{0+4}{2}\,;\dfrac{0+3}{2}\right) = (2\,;1{,}5)$.
$AC = \sqrt{4^2+3^2} = 5$, donc $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D = \dfrac{AC}{2} = 2{,}5$.
Les quatre sommets sont équidistants de $\Omega$ : ils sont cocycliques sur le cercle de centre $\Omega(2\,;1{,}5)$ et de rayon $2{,}5$.
🔵 Chapitre XIV — Statistiques à deux variables
Point moyen d'un nuage
FacileExercice 1 — Point moyen
Soit la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$. Calculer $\bar x$ et $\bar y$.
$\bar x = \dfrac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5$.
$\bar y = \dfrac{3+5+7+9}{4} = 6$.
Sommes préparatoires
FacileExercice 2 — Sommes préparatoires
Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\sum x_iy_i$ et $\sum x_i^2$.
$1\times3+2\times5+3\times7+4\times9 = 3+10+21+36 = 70$.
$1+4+9+16 = 30$.
Droite de régression complète
MoyenExercice 3 — Droite de régression
Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\text{cov}(x,y)$ et $V(x)$, puis en déduire les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression $y=ax+b$.
$$\text{cov}(x,y) = \frac{70}{4}-2{,}5\times6 = 17{,}5-15 = 2{,}5.$$
$$V(x) = \frac{30}{4}-2{,}5^2 = 7{,}5-6{,}25 = 1{,}25.$$
$a=\dfrac{2{,}5}{1{,}25}=2$ ; $b=6-2\times2{,}5=1$.
Droite : $y=2x+1$ (ajustement parfait ici, les points sont exactement alignés).
Coefficient de corrélation
DifficileExercice 4 — Coefficient de corrélation
Pour la série $(2\,;1)$, $(4\,;3)$, $(6\,;4)$, $(8\,;7)$, $(10\,;8)$, calculer $\bar x$, $\bar y$, $\text{cov}(x,y)$, $V(x)$, $V(y)$ et le coefficient de corrélation $r$. Conclure sur la qualité de l'ajustement affine.
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$\bar x = \dfrac{30}{5}=6$ ; $\bar y = \dfrac{23}{5}=4{,}6$.
$\sum x_iy_i = 2+12+24+56+80=174$, donc $$\text{cov}(x,y)=\frac{174}{5}-6\times4{,}6 = 34{,}8-27{,}6 = 7{,}2.$$
$\sum x_i^2=220 \Rightarrow V(x)=44-36=8$. $\sum y_i^2=139 \Rightarrow V(y)=27{,}8-21{,}16=6{,}64$.
$$r = \frac{7{,}2}{\sqrt{8\times6{,}64}} = \frac{7{,}2}{\sqrt{53{,}12}} \approx 0{,}988.$$ $|r|$ très proche de $1$ : l'ajustement affine est excellent.
Régression et extrapolation
DifficileExercice 5 — Régression et extrapolation
En utilisant $\bar x=6$, $\bar y=4{,}6$, $\text{cov}(x,y)=7{,}2$ et $V(x)=8$ (résultats de l'exercice précédent), déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, puis estimer $y$ pour $x=12$.
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$a = \dfrac{\text{cov}(x,y)}{V(x)} = \dfrac{7{,}2}{8} = 0{,}9$.
$b = \bar y-a\bar x = 4{,}6-0{,}9\times6 = 4{,}6-5{,}4 = -0{,}8$.
$y = 0{,}9x-0{,}8$.
$y = 0{,}9\times12-0{,}8 = 10{,}8-0{,}8 = 10$.
Méthode de Mayer
DifficileExercice 6 — Méthode de Mayer
Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.
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$G_1\!\left(2\,;\dfrac{10}{3}\right)$ et $G_2\!\left(7\,;\dfrac{35}{3}\right)$.
$$a = \frac{\frac{35}{3}-\frac{10}{3}}{7-2} = \frac{25/3}{5} = \frac53.$$
$b = \dfrac{10}{3}-\dfrac53\times2 = \dfrac{10}{3}-\dfrac{10}{3}=0$. Droite de Mayer : $y=\dfrac53x$.
$\bar x = \dfrac{27}{6}=4{,}5$, $\bar y = \dfrac{45}{6}=7{,}5$. En $x=4{,}5$ : $y=\dfrac53\times4{,}5=7{,}5=\bar y$ : la droite passe bien par $G(4{,}5\,;7{,}5)$.
🔵 Chapitre XV — Matrices
⚠️ Chapitre au programme mais non exigible au Baccalauréat — exercices d'approfondissement.
Produit matriciel
FacileExercice 1 — Produit matriciel
Calculer $\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$.
Coefficient $(1,1)$ : $2\times1+1\times2=4$. Coefficient $(1,2)$ : $2\times(-1)+1\times0=-2$.
Coefficient $(2,1)$ : $0\times1+3\times2=6$. Coefficient $(2,2)$ : $0\times(-1)+3\times0=0$.
$$\begin{pmatrix}4&-2\\6&0\end{pmatrix}.$$
Déterminant et inversibilité
FacileExercice 2 — Déterminant et inversibilité
Calculer le déterminant de $A=\begin{pmatrix}5&2\\3&4\end{pmatrix}$ et dire si $A$ est inversible.
$\det A = 5\times4-2\times3 = 20-6 = 14$.
$\det A = 14 \neq 0$ : $A$ est inversible.
Calcul d'une matrice inverse
MoyenExercice 3 — Matrice inverse
Déterminer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times2-1\times5 = 6-5 = 1$.
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}.$$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}.$$
Résolution d'un système par la matrice inverse
DifficileExercice 4 — Résolution d'un système
Résoudre le système $\begin{cases}3x+y=7\\5x+2y=11\end{cases}$ en utilisant la matrice inverse déterminée à l'exercice 3.
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$A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}7\\11\end{pmatrix}$, avec $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$ (exercice 3).
$$X = \begin{pmatrix}2\times7+(-1)\times11\\-5\times7+3\times11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14-11\\-35+33\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}.$$
$x=3$, $y=-2$. Vérification : $3(3)+(-2)=7$ ✓ et $5(3)+2(-2)=11$ ✓.
Non-commutativité du produit matriciel
DifficileExercice 5 — Non-commutativité
Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Montrer que $AB \neq BA$.
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$$AB = \begin{pmatrix}1\times0+2\times1&1\times1+2\times0\\3\times0+4\times1&3\times1+4\times0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}.$$
$$BA = \begin{pmatrix}0\times1+1\times3&0\times2+1\times4\\1\times1+0\times3&1\times2+0\times4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}.$$
$AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}=BA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.
Inverse et vérification
DifficileExercice 6 — Inverse et vérification
Soit $A=\begin{pmatrix}4&3\\2&2\end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$, puis vérifier que $AA^{-1}=I_2$.
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$\det A = 4\times2-3\times2 = 8-6 = 2$.
$$A^{-1} = \frac12\begin{pmatrix}2&-3\\-2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-1{,}5\\-1&2\end{pmatrix}.$$
Coefficient $(1,1)$ : $4\times1+3\times(-1)=1$. Coefficient $(1,2)$ : $4\times(-1{,}5)+3\times2=0$. Coefficient $(2,1)$ : $2\times1+2\times(-1)=0$. Coefficient $(2,2)$ : $2\times(-1{,}5)+2\times2=1$.
$$AA^{-1} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2. \checkmark$$