Analyse
Continuité · Calcul différentiel · Fonctions usuelles (ln, exp, puissances)
Continuité
I.1 — Continuité en un point et sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) égale à \(f(a)\) :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]Cette définition condense trois exigences simultanées :
- \(f\) est définie en \(a\) — la valeur \(f(a)\) existe.
- La limite de \(f\) en \(a\) existe — limites à gauche et à droite coïncident.
- Cette limite est précisément égale à \(f(a)\).
Si l'une de ces trois conditions est en défaut, \(f\) est discontinue en \(a\).
\(f\) est continue à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)\).
\(f\) est continue à gauche en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)\).
Ces deux notions interviennent surtout aux bornes d'un intervalle fermé, ou pour une fonction définie par morceaux.
\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est à la fois continue à gauche et à droite en \(a\) :
\[ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a). \]\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\). Aux bornes fermées, on demande la continuité unilatérale correspondante.
Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sans jamais lever le crayon. Pas de saut, pas de trou, pas de branche qui s'échappe à l'intérieur. Cette image suffit pour l'intuition, mais ne remplace pas la vérification formelle en exercice.
Les types de discontinuité
- Discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent, mais elles diffèrent. Exemple : la fonction partie entière \(E(x)\) est discontinue en tout entier, avec un saut de hauteur 1.
- Discontinuité par trou (supprimable) : la limite existe mais \(f\) n'est pas définie en \(a\), ou \(f(a)\) ne coïncide pas avec la limite. C'est le cas de \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\) : la limite vaut 2, mais \(f(1)\) n'est pas définie.
- Discontinuité essentielle : la limite n'existe pas (oscillations, ou limite infinie). Exemple : \(\dfrac{1}{x}\) en \(x = 0\).
Beaucoup d'élèves confondent « la fonction n'est pas définie en \(a\) » et « la fonction est discontinue en \(a\) ». La continuité en \(a\) n'a de sens que si \(f\) est définie en \(a\). Si \(f\) ne l'est pas, on ne parle pas de continuité — on se demande si un prolongement par continuité est possible.
Figure interactive — Types de discontinuités
discontinuité essentielle
discontinuité par saut
trou supprimable
Choisir un type de discontinuité via le sélecteur
Explorez les quatre types de comportement au point singulier. Un trou supprimable est la seule discontinuité qu'un prolongement par continuité peut corriger.
I.2 — Continuité des fonctions usuelles et opérations
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition :
- les fonctions polynômes : continues sur \(\mathbb{R}\) ;
- les fonctions rationnelles \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) : continues là où \(Q\) ne s'annule pas ;
- la racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) : continue sur \([0\,;+\infty[\) ;
- les fonctions trigonométriques \(\sin\), \(\cos\) : continues sur \(\mathbb{R}\) ; \(\tan\) continue là où elle est définie ;
- \(\ln\) : continue sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(\exp\) : continue sur \(\mathbb{R}\).
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\) :
- \(f + g\), \(f - g\), \(\lambda f\) et \(f \times g\) sont continues sur \(I\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\) est continue en tout point de \(I\) où \(g\) ne s'annule pas ;
- si \(g(I) \subset J\) et \(f\) est continue sur \(J\), la composée \(f \circ g\) est continue sur \(I\).
- \(f(x) = e^{x^2 - 3x}\) : continue sur \(\mathbb{R}\) (composée de \(\exp\) et d'un polynôme).
- \(g(x) = \ln(\cos x)\) : continue sur tout intervalle où \(\cos x > 0\), par exemple \(]-\pi/2\,;\,\pi/2[\).
- \(h(x) = \dfrac{x^3 - 2}{x^2 - 1}\) : continue sur tout intervalle ne contenant ni \(1\) ni \(-1\).
Au Bac, pour justifier la continuité d'une fonction classique sur un intervalle, une phrase suffit : «\(f\) est [type de fonction] sur \(I\), donc continue sur \(I\)». Réservez l'énergie pour les points de raccord et les prolongements, qui sont les vraies questions.
I.3 — Continuité et dérivabilité
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). En écrivant :
\[ f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a) \;\xrightarrow[x\to a]{}\; f'(a) \cdot 0 = 0, \]on conclut que \(f(x) \to f(a)\).
Une fonction continue en \(a\) n'est pas nécessairement dérivable en \(a\). L'exemple canonique est \(f(x) = |x|\) en \(x = 0\) :
- \(f\) est continue en 0 : \(|x| \to 0 = f(0)\).
- Le taux d'accroissement \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut \(+1\) si \(h>0\) et \(-1\) si \(h<0\). Les limites latérales diffèrent : \(f\) n'est pas dérivable en 0.
- Géométriquement : point anguleux en 0, avec deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\).
Aucune des implications réciproques n'est vraie en général.
- Vérifier d'abord que \(f\) est continue en \(a\). Sans continuité, pas de dérivabilité.
- Calculer la dérivée à gauche \(f'_g(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) et la dérivée à droite \(f'_d(a)\).
- Si \(f'_g(a) = f'_d(a)\) : \(f\) est dérivable en \(a\), la valeur commune est \(f'(a)\). Sinon : point anguleux.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité en 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-} x^2 = 1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(2x-1) = 1\), et \(f(1) = 1\). Continuité assurée.
Dérivabilité en 1 : \(f'_g(1) = 2\times 1 = 2\) et \(f'_d(1) = 2\). Les dérivées latérales coïncident : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1) = 2\).
I.4 — Prolongement par continuité
Soit \(f\) définie sur \(I \setminus \{a\}\). Si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\) est la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \(I\) par :
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a, \\[6pt] \ell & \text{si } x = a. \end{cases} \]La fonction \(\tilde{f}\) est alors continue en \(a\) par construction. On dit qu'on « rebouche le trou ».
Si la limite en \(a\) est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement par continuité n'est possible.
- Repérer la valeur \(a\) interdite (zéro d'un dénominateur, \(\ln(0)\), etc.).
- Lever l'indétermination pour calculer \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) : factorisation, quantité conjuguée, croissances comparées.
- Si la limite est finie et vaut \(\ell\) : poser \(\tilde{f}(a) = \ell\).
- Si la limite est infinie ou n'existe pas : aucun prolongement possible.
Soit \(f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Pour \(x \neq 1\) : \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\).
On pose \(\tilde{f}(1) = 2\). La courbe de \(f\) est la droite \(y = x+1\) privée du point \((1\,;\,2)\) ; le prolongement rebouche ce trou.
Soit \(g(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
On reconnaît le taux d'accroissement de \(e^x\) en 0. Comme \((e^x)'=e^x\) et \(e^0=1\) :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\]On pose \(\tilde{g}(0) = 1\). La fonction prolongée est continue en 0.
Soit \(h(x) = \dfrac{1}{x}\). En \(a = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} h(x) = +\infty\). La limite est infinie. Aucun prolongement par continuité n'existe en 0.
Calculer \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), c'est précisément prolonger par continuité le taux d'accroissement en \(h=0\). La dérivabilité est un prolongement par continuité. Ce lien montre que la continuité est la notion fondatrice de tout l'édifice de l'analyse.
Figure interactive — Prolongement par continuité de \((x^2-1)/(x-1)\)
trou de \(f\) en \(x=1\)
valeur ajoutée \(\tilde f(1)=2\)
Cochez/décochez les éléments via les cases
Le trou est la discontinuité supprimable de \(f\). Le point vert représente la valeur qu'on ajoute pour obtenir la fonction prolongée \(\tilde f\), continue sur \(\mathbb{R}\).
I.5 — Recollement par continuité
Une fonction est définie par morceaux lorsqu'elle s'exprime par des formules différentes sur des sous-intervalles disjoints. En un point \(a\) séparant deux morceaux, la continuité n'est pas automatique :
\[ f \text{ continue en } a \;\Longleftrightarrow\; \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a). \]- Calculer la limite à gauche en \(a\) avec l'expression valable pour \(x < a\).
- Calculer la limite à droite en \(a\) avec l'expression valable pour \(x > a\).
- Identifier \(f(a)\) d'après la définition (quel morceau s'applique en \(a\) ?).
- Écrire que les trois quantités sont égales et en déduire le paramètre.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x + m & \text{si } x \le 2, \\ 3x - 4 & \text{si } x > 2, \end{cases}\) avec \(m \in \mathbb{R}\).
- Limite à gauche et valeur : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} (x+m) = 2+m = f(2)\).
- Limite à droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} (3x-4) = 2\).
Continuité en 2 : \(2+m = 2\), d'où \(\boxed{m = 0}\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 0, \\ \cos x & \text{si } 0 \le x \le \pi, \\ cx & \text{si } x > \pi. \end{cases}\)
En \(x = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(ax+b) = b\) et \(g(0) = 1\). Donc \(b = 1\).
En \(x = \pi\) : \(g(\pi) = -1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi^+} cx = c\pi\). Donc \(c = -\dfrac{1}{\pi}\).
Le paramètre \(a\) reste libre : la continuité en 0 ne le contraint pas.
Lisez attentivement l'énoncé : une inégalité \(x \le a\) versus \(x < a\) change quel morceau définit \(f(a)\). Cette erreur de lecture est très fréquente.
Figure interactive — Recollement par continuité
morceau droit (\(x > 2\))
saut de discontinuité
Déplacer le curseur pour faire varier le paramètre \(m\)
Lorsque \(m = 0\), la limite à gauche en \(x=2\) vaut 2 et coïncide avec la limite à droite : la fonction est continue. Toute autre valeur de \(m\) crée un saut visible.
I.6 — Image d'un intervalle : TVI et théorème de la bijection
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que \(f(c) = k\).
En d'autres termes : une fonction continue sur un segment ne peut pas sauter par-dessus une valeur.
Le cas \(k = 0\) revient le plus souvent :
\[ f \text{ continue sur } [a\,;b],\quad f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in\, ]a\,;b[\; \text{ tel que } f(c) = 0. \]La condition \(f(a) \cdot f(b) < 0\) signifie que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes strictement opposés. C'est l'outil standard pour montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. La continuité préserve la connexité : on ne peut pas obtenir un ensemble disjoint en appliquant une fonction continue à un intervalle.
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
Le TVI garantit l'existence ; la stricte monotonie garantit l'unicité.
- Vérifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\).
- Vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) : signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est strictement entre eux.
- Conclure par le théorème de la bijection.
Le TVI affirme l'existence d'au moins un \(c\), mais pas son unicité. Sans hypothèse de monotonie, il peut y en avoir plusieurs. De plus, le TVI ne donne pas la valeur de \(c\). Pour l'approcher, on recourt à la dichotomie.
Montrons que \(x^{3} + x - 1 = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\).
- Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
- Monotonie : \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante.
- Valeurs aux bornes : \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).
Par le théorème de la bijection, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in\, ]0\,;\,1[\).
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y = k\)
solution \(\alpha\)
Déplacer le curseur pour faire varier la valeur de \(k\)
Lorsque \(k \in [f(0)\,;\,f(1)] = [-1\,;\,1]\), le TVI garantit l'existence d'au moins un point d'intersection. La stricte croissance de \(f\) assure l'unicité.
I.7 — Localisation et encadrement des solutions
On cherche \(\alpha \in [a\,;b]\) tel que \(f(\alpha) = 0\), avec \(f\) continue et strictement monotone.
- Tester la valeur médiane \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
- Si \(f(m) = 0\) : trouvé. Sinon, si \(f(a)\) et \(f(m)\) sont de signes opposés, la solution est dans \([a\,;m]\) ; sinon dans \([m\,;b]\).
- Recommencer avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit.
- Arrêter quand l'intervalle atteint la précision souhaitée.
Après \(n\) étapes, la précision est \(\dfrac{b-a}{2^n}\).
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0\,;1]\). On cherche \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
| Étape | Intervalle | Milieu \(m\) | \(f(m)\) | Nouveau sous-intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [0 ; 1] | 0,5 | \(-0{,}375 < 0\) | [0,5 ; 1] |
| 2 | [0,5 ; 1] | 0,75 | \(0{,}172 > 0\) | [0,5 ; 0,75] |
| 3 | [0,5 ; 0,75] | 0,625 | \(-0{,}119 < 0\) | [0,625 ; 0,75] |
| 4 | [0,625 ; 0,75] | 0,6875 | \(0{,}022 > 0\) | [0,625 ; 0,6875] |
| 5 | [0,625 ; 0,6875] | 0,656 | \(-0{,}049 < 0\) | [0,656 ; 0,6875] |
| 6 | [0,656 ; 0,6875] | 0,672 | \(-0{,}014 < 0\) | [0,672 ; 0,6875] |
| 7 | [0,672 ; 0,6875] | 0,680 | \(0{,}004 > 0\) | [0,672 ; 0,680] |
Après 7 étapes, l'intervalle a une longueur \(\approx 0{,}008 < 0{,}01\). On conclut :
\[0{,}672 \le \alpha \le 0{,}680,\]soit \(\alpha \approx 0{,}68\) à \(10^{-2}\) près.
Pour atteindre une précision de \(10^{-p}\) sur un intervalle de longueur \(L\), il faut \(n\) étapes telles que \(L / 2^n \le 10^{-p}\). Sur \([0\,;1]\), il faut environ \(3{,}32\, p\) étapes pour \(p\) décimales de précision.
I.8 — Énoncés admis sur les limites
- Compatibilité avec l'ordre : si \(f(x) \le g(x)\) au voisinage de \(a\) et si les deux limites existent, alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)\).
- Théorème des gendarmes : si \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell\).
- Limite d'une composée : si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b\) et si \(f\) est continue en \(b\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f\!\left(g(x)\right) = f(b)\).
- Fonction croissante majorée : une fonction croissante et majorée sur \([a\,;+\infty[\) admet une limite finie en \(+\infty\).
Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
Pour \(x > 0\) : \(-1 \le \sin x \le 1\), donc \(-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\sin x}{x} \le \dfrac{1}{x}\).
Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\pm\dfrac{1}{x}\right) = 0\). Par les gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \ln\!\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)\).
On sait que \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\) (limite remarquable). La fonction \(\ln\) est continue en 1. Par la limite d'une composée :
\[\lim_{x\to 0} \ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \ln(1) = 0.\]Au Bac, écrire « par le théorème des gendarmes » ou « par continuité de \(\ln\) en 1 » est suffisant. S'engager dans une démonstration formelle est une perte de temps et peut être pénalisé si elle n'est pas demandée.
I.9 — Exemple complet — Type Bac
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\[10pt] k & \text{si } x = 2. \end{cases} \]1. Simplifier l'expression de \(f(x)\) pour \(x \neq 2\).
2. Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(f\) soit continue en \(x = 2\).
3. La fonction \(f\) ainsi définie est-elle dérivable en \(x = 2\) ?
4. Montrer que \(f(x) = 3{,}5\) admet une unique solution sur \([1\,;4]\) et l'encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Simplification. Pour \(x \neq 2\) : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc
\[f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.\]Partie 2 — Valeur de \(k\) pour la continuité.
\[\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.\]On doit avoir \(k = 4\). Avec ce choix, \(f(x) = x+2\) sur tout \(\mathbb{R}\).
Partie 3 — Dérivabilité en \(x = 2\). Pour \(k = 4\), \(f(x) = x+2\) est une fonction affine, dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f'(x) = 1\). En particulier \(f'(2) = 1\).
Partie 4 — Solution de \(f(x) = 3{,}5\) sur \([1\,;4]\).
- \(f\) est continue sur \([1\,;4]\) (fonction affine).
- \(f\) est strictement croissante (\(f' = 1 > 0\)).
- \(f(1) = 3 < 3{,}5\) et \(f(4) = 6 > 3{,}5\).
Par le théorème de la bijection, l'équation admet une unique solution \(\alpha \in\, ]1\,;\,4[\). Ici \(f(x) = x+2 = 3{,}5 \Leftrightarrow x = 1{,}5\), donc \(1{,}4 \le \alpha \le 1{,}6\).
Figure interactive — Bilan de l'exercice type Bac
trou original (\(k\) non fixé)
solution de \(f(x)=3{,}5\)
Faire varier \(k\) pour observer la discontinuité
Quand \(k = 4\), le point rouge rejoint la droite et la fonction devient continue. Pour toute autre valeur, un saut subsiste en \(x = 2\).
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) — trois conditions simultanées : \(f(a)\) défini, limite existante, égalité.
La réciproque est fausse. Contre-exemple : \(|x|\) en 0, point anguleux, continu mais non dérivable.
Possible ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = \ell\) est finie. On pose \(\tilde f(a)=\ell\). Technique : lever l'indétermination.
Égaler lim. gauche, lim. droite et \(f(a)\). Vérifier quel morceau définit \(f(a)\). Un paramètre → une équation.
\(f\) continue sur \([a;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → \(\exists\, c\) avec \(f(c)=k\). Signes opposés → solution de \(f(x)=0\). Ne donne ni unicité ni valeur.
Monotonie stricte → unicité. Dichotomie : précision \(L/2^n\) après \(n\) étapes. Citer les trois conditions au Bac.
- Confondre « non défini en \(a\) » et « discontinu en \(a\) » — la continuité n'a de sens que si \(f(a)\) existe.
- Oublier de vérifier les trois conditions de la continuité : \(f(a)\) défini, limite existante, égalité.
- Conclure à l'unicité avec le TVI seul — il faut la monotonie stricte.
- Mal lire le morceau qui définit \(f(a)\) : \(x \le a\) vs \(x < a\) change tout.
- Oublier la condition \(f(a) \cdot f(b) < 0\) (signes strictement opposés) pour appliquer le TVI avec \(k=0\).
- Pour les fonctions usuelles, la continuité est acquise sans démonstration : citez-la brièvement.
- Pour un prolongement ou un recollement, montrez toujours le calcul de la limite.
- Pour le TVI, les trois étapes (continuité, valeurs aux bornes, signes) doivent être explicitement écrites.
- Pour la dichotomie, un tableau clair est préférable aux phrases — il est plus lisible et moins sujet à erreur.
- L'unicité exige un argument supplémentaire par rapport au TVI : la stricte monotonie ou l'injectivité.
Continuité
I.1 — Continuité en un point et sur un intervalle
La continuité formalise une idée intuitive : une fonction dont la courbe se trace « sans lever le crayon ». C'est la notion fondatrice sur laquelle reposent la dérivabilité (chapitre II) et les fonctions usuelles (chapitre III) : toute fonction dérivable est continue, et toute primitive suppose la continuité de la fonction primitivée.
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]Trois conditions sont donc requises : \(f(a)\) existe, \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) existe et est finie, et ces deux valeurs coïncident. Si l'une manque, \(f\) est discontinue en \(a\).
\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\). Graphiquement, la courbe de \(f\) ne présente alors aucune interruption sur \(I\).
Sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition : les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée, les fonctions \(\sin\) et \(\cos\), la fonction exponentielle et — dès qu'elle est introduite (chapitre III) — la fonction \(\ln\). Plus généralement, toute fonction dérivable sur \(I\) y est continue (réciproque fausse, voir chapitre II).
Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Comme \(f\) est polynomiale, elle est continue en tout point, en particulier en \(a=2\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) = 4 - 6 + 1 = -1 = f(2)\).
Soit \(g(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x \neq 1\), et \(g(1) = 5\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x) = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2 \neq 5 = g(1)\). La fonction \(g\) est discontinue en 1, bien que la limite existe : c'est la valeur imposée qui ne correspond pas.
Soit \(h(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x \le 2, \\ 2x-2 & \text{si } x > 2. \end{cases}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} h(x) = 3 = h(2)\) mais \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} h(x) = 2 \neq 3\). La limite globale en 2 n'existe pas (limites à gauche et à droite différentes) : \(h\) présente un saut en \(x=2\), discontinue en ce point.
Une fonction peut être continue en \(a\) sans y être dérivable — c'est le cas de \(f(x)=|x|\) en \(0\) (point anguleux, voir chapitre II). L'implication est à sens unique : dérivable \(\Rightarrow\) continue, mais continue \(\not\Rightarrow\) dérivable.
I.2 — Opérations sur les fonctions continues
Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\) (ou sur \(I\)), alors le sont aussi, sur leur ensemble de définition commun :
- \(f + g\), \(f - g\), \(k f\) (\(k \in \mathbb{R}\)) et \(f \times g\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\), pourvu que \(g\) ne s'annule pas ;
- la composée \(g \circ f\), si \(f\) est continue en \(a\) et \(g\) continue en \(f(a)\).
Ces règles permettent de justifier la continuité d'une expression complexe sans revenir à la définition par les limites : il suffit de la décomposer en opérations élémentaires sur des fonctions déjà connues comme continues.
- Calculer \(f(a)\) (valeur imposée par la définition de \(f\) en \(a\)).
- Calculer la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)\) avec l'expression du morceau gauche.
- Calculer la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)\) avec l'expression du morceau droit.
- Comparer les trois valeurs : si elles coïncident, \(f\) est continue en \(a\) ; sinon, discontinue (préciser le type : saut ou valeur manquante).
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + m & \text{si } x \le 1, \\ 3x & \text{si } x > 1. \end{cases}\) Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
\(\displaystyle\lim_{1^-} f = 1 + m\), \(\displaystyle\lim_{1^+} f = 3\), \(f(1) = 1+m\). Il faut \(1+m = 3\), soit \(\boxed{m=2}\).
Soit \(k(x) = \sqrt{x^2+1}\). La fonction \(u : x \mapsto x^2+1\) est polynomiale donc continue sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([1\,;+\infty[\) où la racine carrée est continue. Par composition, \(k\) est continue sur \(\mathbb{R}\) tout entier — sans qu'il soit nécessaire d'étudier une limite en chaque point individuellement.
Pour justifier la continuité d'une fonction sur son ensemble de définition, il suffit en général d'une phrase invoquant les opérations autorisées : « \(f\) est continue sur \(I\) comme somme (ou composée, quotient...) de fonctions continues sur \(I\). » Il est rarement exigé de revenir à la définition par les limites, sauf en un point de raccord ou de rupture de formule.
I.3 — Théorème des valeurs intermédiaires
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que :
\[ f(c) = k. \]Autrement dit, \(f\) prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f(a)\) et \(f(b)\) — sans « saut » possible, puisque la courbe est ininterrompue.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés (\(f(a)\cdot f(b) < 0\)), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\). C'est le TVI appliqué à \(k = 0\).
Soit \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f\) est polynomiale donc continue.
\(f(1) = 1-1-1 = -1 < 0\) et \(f(2) = 8-2-1 = 5 > 0\). Ces valeurs sont de signes opposés : par le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(c \in [1\,;2]\).
Soit \(g(x) = e^x - x\) sur \([0\,;2]\), continue. \(g(0) = 1\) et \(g(2) = e^2 - 2 \approx 5{,}39\). Pour \(k=3\), compris entre \(g(0)=1\) et \(g(2)\approx 5{,}39\) : par le TVI, il existe \(c \in [0\,;2]\) tel que \(g(c) = 3\), c'est-à-dire \(e^c - c = 3\).
Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, jamais son unicité ni sa valeur explicite. Sans hypothèse supplémentaire de monotonie (§I.4), rien n'exclut plusieurs solutions dans l'intervalle. Ne jamais écrire « donc \(c\) est la seule solution » sans avoir justifié la stricte monotonie.
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y=k\)
solution(s) \(c\)
Déplacer le curseur pour changer \(k\)
La courbe \(f(x)=x^3-x-1\) sur \([1\,;2]\) coupe la droite horizontale \(y=k\) en au moins un point dès que \(k\) est compris entre \(f(1)=-1\) et \(f(2)=5\).
I.4 — Corollaire (théorème de la bijection) et résolution approchée
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\).
La stricte monotonie ajoute l'unicité à l'existence déjà garantie par le TVI : la courbe ne peut recroiser la droite \(y=k\), puisqu'elle ne cesse jamais de croître (ou de décroître).
- Justifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (opérations sur fonctions continues, ou dérivable donc continue).
- Justifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) — le plus souvent via le signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est bien compris entre les deux (ou que \(f(a)\cdot f(b) < 0\) si \(k=0\)).
- Conclure : « \(f\) est continue et strictement [croissante/décroissante] sur \([a\,;b]\) ; d'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\). »
Reprenons \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f'(x) = 3x^2 - 1\), or pour \(x \ge 1\) : \(f'(x) \ge 2 > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\), continue (polynomiale), avec \(f(1)=-1 < 0 < 5=f(2)\).
D'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(c \in [1\,;2]\) — précisant ainsi le résultat d'existence obtenu au §I.3.
Une fois l'existence et l'unicité établies, on encadre \(c\) en évaluant \(f\) en des points intermédiaires, en resserrant l'intervalle à chaque étape (on garde le sous-intervalle où \(f\) change de signe) :
- Évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle courant.
- Comparer son signe à celui de \(f(a)\) : si identique, remplacer \(a\) par ce milieu ; sinon, remplacer \(b\).
- Répéter jusqu'à obtenir la précision demandée (l'amplitude de l'intervalle est divisée par 2 à chaque étape).
Pour \(f(x)=x^3-x-1\) : \(f(1{,}3) \approx -0{,}103 < 0\) et \(f(1{,}4) \approx 0{,}144 > 0\). Donc \(c \in ]1{,}3\,;1{,}4[\).
En affinant : \(f(1{,}32)\approx -0{,}02\) et \(f(1{,}33)\approx 0{,}0089\), donc \(c \in ]1{,}32\,;1{,}33[\) — encadrement à \(10^{-2}\) près de l'unique solution.
Avant toute dichotomie, un rapide tableau de valeurs (ou de variations) permet de repérer l'intervalle \([a\,;b]\) le plus petit possible où \(f\) change de signe : moins l'intervalle de départ est large, moins il faut d'étapes pour atteindre la précision demandée.
Figure interactive — Encadrement par dichotomie
intervalle courant
Chaque clic évalue \(f\) au milieu de l'intervalle courant et conserve le sous-intervalle où \(f\) change de signe, resserrant l'encadrement de la solution.
I.5 — Exemple complet — Type Bac
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;3]\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).
1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;3]\).
2. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2\,;3]\).
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-1}\).
4. Étudier la continuité en \(x=2\) de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=f(x)\) sur \([0\,;2]\) et \(g(x) = 2x\) sur \(]2\,;3]\).
Partie 1 — Variations.
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\). Sur \([0\,;3]\) : \(f'(x) < 0\) sur \(]0\,;2[\), \(f'(x) > 0\) sur \(]2\,;3[\), et \(f'(0)=f'(2)=0\).
\(f\) est donc décroissante sur \([0\,;2]\) puis croissante sur \([2\,;3]\), avec \(f(0)=4\), \(f(2)=8-12+4=0\), \(f(3)=27-27+4=4\).
Partie 2 — Existence et unicité sur \([2\,;3]\).
D'après la partie 1, \(f\) est continue (polynomiale) et strictement croissante sur \([2\,;3]\) (car \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;3[\)). On a \(f(2)=0\) et \(f(3)=4\).
Or on cherche \(f(x)=0\) : comme \(f(2)=0\) exactement, \(\alpha = 2\) est déjà une solution évidente sur \([2\,;3]\). Par stricte croissance sur cet intervalle, c'est l'unique solution : \(\boxed{\alpha = 2}\).
Partie 3 — Encadrement.
Puisque \(\alpha = 2\) exactement, l'encadrement à \(10^{-1}\) près est immédiat : \(\alpha \in [1{,}9\,;2{,}1]\) (tout encadrement centré en 2 de largeur \(0{,}2\) convient).
Partie 4 — Continuité de \(g\) en \(x=2\).
\(g(2) = f(2) = 0\) (morceau gauche, \(x \le 2\)).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} g(x) = f(2) = 0\) (continuité de \(f\), polynomiale).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} g(x) = 2\times 2 = 4\).
Comme \(4 \neq 0\), les limites à gauche et à droite diffèrent : \(g\) est discontinue en \(x=2\) (discontinuité de saut).
\(f\) continue en \(a\) ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\). Fonctions usuelles (polynômes, \(\sqrt{\ }\), \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\)) continues sur leur domaine. Dérivable \(\Rightarrow\) continue (pas la réciproque).
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues. Justifie la continuité sans revenir aux limites.
\(f\) continue sur \([a\,;b]\) : toute valeur \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte. Cas \(k=0\) : \(f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow\) au moins une racine.
\(f\) continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\) : \(f(x)=k\) a une unique solution. La monotonie ajoute l'unicité à l'existence du TVI.
Dichotomie / balayage : évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle, garder le sous-intervalle où \(f\) change de signe. L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape.
- Conclure à l'unicité d'une solution avec le seul TVI, sans avoir justifié la stricte monotonie.
- Oublier de vérifier que \(f\) est bien continue avant d'appliquer le TVI ou son corollaire — condition indispensable.
- Confondre « \(f(a)\) et \(f(b)\) de signes opposés » (cas particulier pour \(k=0\)) avec la formulation générale du TVI pour \(k\) quelconque.
- En un point de raccord, oublier de comparer les trois valeurs (limite à gauche, limite à droite, valeur imposée) et se contenter de deux.
- Pour justifier une continuité : invoquer directement les opérations autorisées plutôt que revenir à la définition par les limites.
- Pour une existence de solution : commencer par un tableau de signes de \(f(a)\), \(f(b)\) avant d'invoquer le TVI.
- Pour l'unicité : toujours établir la stricte monotonie via le signe de \(f'\) avant de conclure.
- Rédiger le corollaire de la bijection comme une phrase-type en quatre points (continuité, monotonie, valeurs aux bornes, conclusion) — c'est un attendu explicite du barème au Bac.
Calcul différentiel
II.1 — Dérivabilité : dérivée à droite, dérivée à gauche
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie en \(a\) :
\[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]Géométriquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\). Cette tangente a pour équation :
\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]Si la limite est \(\pm\infty\), la courbe admet une tangente verticale en \(a\), mais \(f\) n'y est pas dérivable.
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]On définit de même la dérivée à gauche :
\[ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) existent, sont finies, et sont égales. Leur valeur commune est \(f'(a)\).
Si elles sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux en \(a\) : deux demi-tangentes distinctes, de pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\).
En pratique, les dérivées latérales servent surtout pour les fonctions définies par morceaux : chaque morceau est dérivable sur son intervalle, et la question se pose uniquement au point de raccord. Si les deux dérivées latérales coïncident, la courbe est « lisse » ; sinon, elle « plie » — c'est le point anguleux.
Points anguleux et demi-tangentes
Soit \(f(x) = |x|\).
- À gauche : \(f'_g(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1\).
- À droite : \(f'_d(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = +1\).
Les deux limites sont finies mais \(-1 \neq +1\) : \(f\) n'est pas dérivable en 0. Point anguleux avec demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\). Rappel : \(f\) est bien continue en 0.
Sur \(]-1\,;1[\) : \(f(x) = 1 - x^2\), donc \(f'_g(1) = -2\times 1 = -2\).
Sur \(]1\,;+\infty[\) : \(f(x) = x^2 - 1\), donc \(f'_d(1) = 2\times 1 = 2\).
Comme \(-2 \neq 2\) : point anguleux en \(x=1\). Les demi-tangentes ont des pentes opposées — forme en « V ».
Soit \(f(x) = \sqrt[3]{x}\). En \(a = 0\) :
\[\lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-2/3} = +\infty.\]La limite est infinie : \(f\) n'est pas dérivable en 0, mais la courbe admet une tangente verticale (l'axe des ordonnées). Ce cas est distinct du point anguleux.
- Point anguleux : dérivées latérales finies et inégales. La courbe « plie » brusquement.
- Tangente verticale : une dérivée latérale (ou les deux) est infinie. La courbe « monte à pic ».
Dans les deux cas, \(f\) est continue mais non dérivable.
Figure interactive — Point anguleux et demi-tangentes
demi-tangente gauche
demi-tangente droite
Choisir un exemple via le sélecteur
Les demi-tangentes matérialisent les pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). Quand elles diffèrent, la courbe présente un pli visible au point de raccord.
Méthode systématique pour les fonctions par morceaux
- Vérifier la continuité en \(a\) — condition préalable nécessaire.
- Calculer \(f'_g(a)\) en dérivant l'expression du morceau gauche, évaluée en \(a\).
- Calculer \(f'_d(a)\) de même avec le morceau droit.
- Comparer : égales → dérivable, valeur commune \(= f'(a)\) ; inégales → point anguleux.
Si \(f\) est discontinue en \(a\), inutile de calculer les dérivées latérales — la dérivabilité est déjà exclue.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \le 1, \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-}(x^2+1)=2\), \(\lim_{1^+}(3x-1)=2\), \(f(1)=2\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(f'_g(1) = 2\) et \(f'_d(1) = 3\). Comme \(2 \neq 3\) : point anguleux en \(x=1\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-} x^2 = 1 = \lim_{1^+}(2x-1)\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(g'_g(1) = 2\) et \(g'_d(1) = 2\). Égales : \(g\) est dérivable en 1 et \(g'(1) = 2\). Courbe lisse au raccord.
II.2 — Dérivées successives
Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si \(f'\) est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde la fonction \(f'' = (f')'\), notée aussi \(f^{(2)}\). On définit par récurrence les dérivées successives :
\[ f^{(0)} = f, \qquad f^{(1)} = f', \qquad f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'. \]On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si elle est \(n\) fois dérivable et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
Interprétation de la dérivée seconde
- \(f''(x) > 0\) sur \(I\) : \(f'\) croissante, courbe convexe (forme en U).
- \(f''(x) < 0\) sur \(I\) : \(f'\) décroissante, courbe concave (forme en ∩).
- \(f''\) change de signe en \(a\) avec \(f''(a) = 0\) : point d'inflexion — la tangente traverse la courbe.
Les dérivées de \(\sin\) se répètent avec une période de 4. Pour \(f^{(n)}\), calculer \(n \bmod 4\). Par exemple, \(f^{(17)} = f^{(1)} = \cos\).
En particulier, \(f^{(n)}(x) = n!\) et \(f^{(n+1)} \equiv 0\). Tout polynôme de degré \(n\) a sa dérivée \((n+1)\)-ième identiquement nulle.
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Alors \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) et \(f''(x) = 6(x-1)\).
- \(f''(x) < 0\) pour \(x < 1\) : courbe concave.
- \(f''(x) > 0\) pour \(x > 1\) : courbe convexe.
- \(f''(1) = 0\) avec changement de signe : point d'inflexion en \((1\,;\,0)\).
La dérivée seconde permet deux choses concrètes : confirmer la nature d'un extremum (si \(f'(a)=0\) et \(f''(a) > 0\) → minimum local ; si \(f''(a) < 0\) → maximum local), et localiser les points d'inflexion. Ce critère est souvent plus rapide que l'étude du signe de \(f'\) de part et d'autre.
Figure interactive — Dérivée seconde et concavité
\(f''(x) = 6x - 6\)
point d'inflexion
Cochez les éléments via les cases
La dérivée seconde (verte) change de signe en \(x=1\) : là où elle passe de négatif à positif, la courbe passe de concave à convexe — c'est le point d'inflexion.
II.3 — Dérivation des fonctions composées
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
Exemples progressifs
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.
II.4 — Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Seule l'inégalité des accroissements finis est exigible en série C. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis au sens strict (« égalité », \(f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)\)) sont hors programme.
Applications
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
II.5 — Primitives d'une fonction continue
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). Primitiver \(f\), c'est « remonter » d'une dérivée vers la fonction d'origine.
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(x_0 \in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(F\) vérifiant \(F(x_0) = y_0\). La condition initiale détermine entièrement \(C\).
Primitives usuelles
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Validité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z},\; n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou sans 0 |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | Intervalles \(\big]{-\frac{\pi}{2}+k\pi}\,;\frac{\pi}{2}+k\pi\big[\) |
Lecture inverse des dérivées composées
| Forme de \(f\) | Primitive |
|---|---|
| \(u'\,u^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'\,e^u\) | \(e^u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
\(f(x) = 2x\,e^{x^2}\). Poser \(u = x^2\), \(u' = 2x\) — c'est exactement \(u'e^u\) :
\[F(x) = e^{x^2} + C.\]Vérification : \(F'(x) = 2x\,e^{x^2} = f(x)\).
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\). Poser \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\) :
\[G(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C.\]Primitive vérifiant \(G(0) = 1\) : \(G(0) = 0 + C = 1\), donc \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + 1\).
\(h(x) = x(x^2+3)^4\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\), donc \(x = \dfrac{u'}{2}\) :
\[H(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+3)^5}{5} + C = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C.\]\(k(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\) sur un intervalle où \(\sin x > 0\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[K(x) = 2\sqrt{\sin x} + C.\]La primitive trouvée par reconnaissance de forme doit toujours être vérifiée en dérivant. Une erreur sur la constante multiplicative passe inaperçue à la lecture, mais trahit immédiatement à la dérivation.
Des intégrales comme \(\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx\) ou \(\displaystyle\int e^x \cos x\,dx\) nécessitent substitution trigonométrique ou intégration par parties — vues dans le chapitre suivant. Pour le Bac série C, les exercices restent dans le cadre de la reconnaissance de formes.
II.6 — Exemple complet — Type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0, \\ e^{-x} - 1 & \text{si } x > 0. \end{cases} \]1. Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 0\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x = 0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
4. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(F(0) = 2\).
5. Montrer que \(|f(x)| \le 2|x|\) pour tout \(x \in [-1\,;0]\) par l'inégalité des accroissements finis.
Partie 1 — Continuité en 0.
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(x^2+2x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(e^{-x}-1) = 0\).
Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 0.
Partie 2 — Dérivabilité en 0.
\(f'_g(0) = (2x+2)\big|_{x=0} = 2\) et \(f'_d(0) = (-e^{-x})\big|_{x=0} = -1\).
Comme \(2 \neq -1\) : \(f\) est non dérivable en 0. Point anguleux, demi-tangentes de pentes \(2\) et \(-1\).
Partie 3 — Dérivée sur chaque intervalle.
Sur \(]-\infty\,;0[\) : \(f'(x) = 2x + 2\). Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f'(x) = -e^{-x}\).
En \(x=0\), la dérivée n'est pas définie.
Partie 4 — Primitive sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(f(x) = e^{-x} - 1\). Primitivons terme à terme :
- \(e^{-x}\) : forme \(u'e^u\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) → primitive \(-e^{-x}\).
- \(-1\) → primitive \(-x\).
Condition \(F(0) = 2\) : \(-1 + C = 2\), donc \(C = 3\).
\[F(x) = -e^{-x} - x + 3.\]Vérification : \(F'(x) = e^{-x} - 1 = f(x)\).
Partie 5 — Inégalité des accroissements finis.
Sur \([-1\,;0]\) : \(f'(x) = 2x+2\). Pour \(x \in [-1\,;0]\) : \(0 \le f'(x) \le 2\), donc \(|f'(x)| \le 2\).
La forme majoration avec \(a=0\), \(b=x \in [-1\,;0]\) donne :
\[|f(x) - f(0)| \le 2|x - 0|, \quad \text{soit} \quad |f(x)| \le 2|x|,\]puisque \(f(0) = 0\).
Dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a) = f'_d(a)\). Finies et inégales → point anguleux. Infinie → tangente verticale.
\(f'' > 0\) : convexe (U). \(f'' < 0\) : concave (∩). \(f''\) change de signe → inflexion.
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Ne jamais oublier \(u'\). Identifier \(u\) et \(u'\) au brouillon avant d'appliquer.
\(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\). Forme encadrement : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
Toute fonction continue admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante. Condition initiale → primitive unique.
Reconnaître \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), \(u'/\sqrt{u}\). Ajuster la constante multiplicative. Toujours vérifier en dérivant.
- Tester la dérivabilité sans avoir vérifié la continuité au préalable.
- Oublier \(u'\) dans la dérivée d'une composée.
- Confondre les couches dans \((f(u))'\) : la fonction extérieure reste appliquée à \(u\), elle n'est pas remplacée.
- Ne pas vérifier la primitive obtenue par dérivation avant d'appliquer la condition initiale.
- Pour l'inégalité des accroissements finis, oublier de préciser l'encadrement de \(f'\) — c'est la clé de la démonstration.
- Pour les fonctions par morceaux : continuité d'abord, dérivabilité ensuite — toujours dans cet ordre.
- Pour les composées : écrire \(u =\) et \(u' =\) au brouillon avant toute application de formule.
- Pour l'inégalité des accroissements finis : les trois éléments à faire figurer dans la réponse sont \(f\), \([a\,;b]\), et l'encadrement de \(f'\).
- Pour les primitives : dériver systématiquement le résultat avant d'appliquer la condition initiale.
- La dérivée seconde et les points d'inflexion sont souvent demandés dans les études complètes — anticiper leur calcul.
Fonctions usuelles : ln, exponentielle, puissances
III.1 — La fonction logarithme népérien
La fonction \(\ln\) naît d'un besoin précis : trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (chapitre II) ; on choisit celle qui s'annule en 1 — ce choix de normalisation est la définition.
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(\ln 1 = 0\).
Par construction : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante.
Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b.\]Idée : les deux membres ont la même dérivée en \(b\) (en fixant \(a\)) et la même valeur en \(b = 1\). Par unicité de la primitive avec condition initiale, ils sont égaux.
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[\ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2\).
- \(\ln\dfrac{e^2}{3} = \ln(e^2) - \ln 3 = 2 - \ln 3\).
- \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}\).
- \(\ln\dfrac{1}{x^3} = -3\ln x\) pour \(x > 0\).
Le nombre e, les limites et le signe
Comme \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle prend toutes les valeurs réelles. Il existe donc un unique réel strictement positif dont le logarithme vaut 1 :
\[\ln e = 1, \qquad e \approx 2{,}718\,28\ldots\]Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
- Déterminer l'ensemble de validité : arguments de \(\ln\) strictement positifs.
- Utiliser la stricte croissance : \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a \le \ln b \Leftrightarrow a \le b\).
- Conclure en précisant l'ensemble de définition.
Résoudre \(\ln(2x-1) = \ln(x+3)\).
Validité : \(2x-1 > 0\) et \(x+3 > 0\), donc \(x > \dfrac{1}{2}\).
Par stricte croissance : \(2x-1 = x+3\), soit \(x = 4\). On vérifie \(4 > \dfrac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 4}\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) \ge \ln(2x)\).
Validité : \(x^2-3 > 0\) et \(2x > 0\), donc \(x > \sqrt{3}\).
Par stricte croissance : \(x^2-3 \ge 2x\), soit \((x-3)(x+1) \ge 0\). Sur \(]\sqrt{3}\,;+\infty[\), cela donne \(x \ge 3\). Solution : \(\boxed{x \ge 3}\).
L'égalité \(\ln(x^2) = 2\ln x\) n'est valable que pour \(x > 0\). Pour \(x < 0\), \(\ln(x^2) = 2\ln(-x) \neq 2\ln x\). L'ensemble de validité s'impose avant toute manipulation algébrique.
Figure interactive — La fonction logarithme népérien
tangente en \(x = a\)
propriétés algébriques
Déplacer le curseur pour faire varier le point \(a\)
La pente de la tangente en \(x=a\) vaut \(f'(a) = 1/a\) : grande pour \(a\) proche de 0, elle tend vers 0 quand \(a\) grandit. Le point \((e\,;\,1)\) et le point \((1\,;\,0)\) sont les deux repères fondamentaux de la courbe.
III.2 — La fonction exponentielle
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes — elle réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est bien définie.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0).\]Les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre :
\[e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R}).\]De plus : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((e^x)' = e^x\). Comme \(e^x > 0\), elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.\]Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le point \((a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(\ln\) si et seulement si \((b\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\).
- \(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\).
- \(e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k\) (avec \(k > 0\) ; impossible si \(k \le 0\)).
- \(e^x \ge k \Leftrightarrow x \ge \ln k\) si \(k > 0\).
Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Poser \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X-1)(X-2) = 0\).
- \(X = 1 \Rightarrow x = 0\).
- \(X = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
Résoudre \(\ln(e^x + 1) = 2\).
\[e^x + 1 = e^2 \Rightarrow e^x = e^2 - 1 \Rightarrow x = \ln(e^2 - 1) \approx 1{,}87.\]On vérifie \(e^2 - 1 > 0\).
- \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\).
- \((e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}\).
- \(\left(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'équation \(e^x = 0\) n'a aucune solution. Si un raisonnement aboutit à \(e^x \le 0\), une erreur a été commise en amont. Ne pas écrire non plus \(e^a \times e^b = e^{ab}\) : la règle est \(e^a \times e^b = e^{a+b}\).
Figure interactive — Symétrie de \(\ln\) et \(\exp\) par rapport à \(y = x\)
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
point et symétrique
Déplacer le curseur pour choisir un point sur la courbe de ln
Le point \(A = (a\,;\,\ln a)\) est sur la courbe de \(\ln\). Son symétrique \(A' = (\ln a\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\). Le segment \(AA'\) est perpendiculaire à la droite \(y=x\) et coupé en son milieu par elle.
III.3 — Puissances réelles et racines nièmes
Les puissances entières sont familières. La nouveauté est d'étendre la notion à un exposant réel quelconque — ce qui permet d'écrire \(2^{\sqrt{3}}\) ou \(x^{1/3}\) de façon cohérente.
Pour \(a > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
\[a^\alpha = e^{\alpha \ln a}.\]Cette définition est cohérente avec les puissances entières et impose \(a > 0\).
Et : \(\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(a > 0\).
La fonction \(x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}.\]Si \(\alpha > 0\) : strictement croissante, \(\lim_{+\infty} x^\alpha = +\infty\), \(\lim_{0^+} x^\alpha = 0\). Si \(\alpha < 0\) : décroissante, limites échangées.
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x > 0\) :
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}.\]C'est l'unique réel strictement positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\).
- \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\).
- \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\).
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} = 9^{1/2} = 3\).
- Dérivée de \(f(x) = x^{5/3}\) : \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\).
- \(x^\alpha\) vs \(a^x\) : dans \(x^\alpha\), l'exposant est fixe, la base varie — dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\). Dans \(a^x = e^{x\ln a}\), la base est fixe, l'exposant varie — dérivée \(\ln(a) \cdot a^x\). Ce sont deux natures très différentes.
- Domaine : \(x^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) n'est définie (au sens réel) que pour \(x > 0\).
Figure interactive — Familles de fonctions puissances \(x^\alpha\)
tangente en \(x=1\)
Déplacer le curseur pour faire varier l'exposant \(\alpha\)
Toutes les courbes \(x^\alpha\) passent par \((1\,;\,1)\). La pente de la tangente en ce point vaut \(\alpha\). Quand \(\alpha > 0\) la fonction est croissante ; quand \(\alpha < 0\) elle est décroissante. Le cas \(\alpha = 1\) donne la droite \(y = x\).
III.4 — Croissances comparées
La question « quelle fonction l'emporte à l'infini ? » est fondamentale pour calculer des limites. La réponse est une hiérarchie stricte entre les trois grandes familles.
| Limite | Condition | Résultat |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(+\infty\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x\) | \(n \in \mathbb{N}\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}\) | — | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) | — | \(1\) |
Même \(x^{1000}\) est négligeable devant \(e^x\) à l'infini. Et même si \(\ln x \to +\infty\), c'est infiniment plus lentement que \(x^{0{,}001}\).
- Identifier la forme indéterminée (\(\tfrac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\), etc.).
- Factoriser par le terme dominant selon la hiérarchie (exp \(\succ\) puissances \(\succ\) ln).
- Faire apparaître l'une des limites de référence et conclure.
Conséquence : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x = \lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} = e^0 = 1\), car \(x\ln x \to 0\) et \(\exp\) est continue.
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1\) est simplement la dérivée de \(\exp\) en 0 :
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x - e^0}{x - 0} = (e^x)'\big|_{x=0} = e^0 = 1.\]De même, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = (\ln x)'\big|_{x=1} = 1\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (\ln(x+1) - \ln x)\).
\[\ln(x+1) - \ln x = \ln\!\left(1 + \frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x\to+\infty]{} \ln(1) = 0.\]Face à une forme indéterminée mêlant \(e^x\), \(x^\alpha\) et \(\ln x\) : toujours factoriser par le terme dominant, puis appliquer les limites de référence. Ne pas essayer de simplifier une forme \(\infty/\infty\) sans cette étape.
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln x\), \(x^\alpha\), \(e^x\)
\(x^\alpha\)
\(e^x\)
Déplacer les curseurs pour changer \(\alpha\) et l'échelle
Augmentez le zoom pour voir l'exponentielle (rouge) dépasser irrémédiablement toute puissance (vert), quelle que soit la valeur de \(\alpha\). Même avec \(\alpha = 3\), \(x^3\) reste négligeable devant \(e^x\) pour \(x\) assez grand.
III.5 — Étude complète d'une fonction — Type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).
1. Étudier les limites aux bornes. 2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations. 3. Montrer que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\). 4. L'équation \(f(x) = 2\) admet-elle des solutions ? Combien ? Les encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Limites aux bornes.
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\), car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) (croissance comparée, \(\alpha=1\)).
Partie 2 — Variations.
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\) :
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f(1) = 1 - 0 = 1\) : minimum global.
Partie 3 — Inégalité \(\ln x < x\).
D'après le tableau, \(f(x) \ge f(1) = 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\).
Partie 4 — Solutions de \(f(x) = 2\).
Comme \(f(1) = 1 < 2\) et \(f \to +\infty\) aux deux extrémités, la droite \(y=2\) coupe la courbe en deux points — un sur chaque branche monotone. L'équation a exactement deux solutions.
| \(x\) | \(f(x) = x - \ln x\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 0,1 | \(\approx 2{,}403\) | \(> 2\) |
| 0,2 | \(\approx 1{,}809\) | \(< 2\) |
| 0,15 | \(\approx 2{,}047\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_1 \in\, ]0{,}15\,;\,0{,}20[\).
| \(x\) | \(f(x)\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 3,1 | \(\approx 1{,}969\) | \(< 2\) |
| 3,2 | \(\approx 2{,}037\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_2 \in\, ]3{,}1\,;\,3{,}2[\).
Figure interactive — Étude complète de \(f(x) = x - \ln x\)
minimum \((1;1)\)
droite \(y=k\) et solutions
Déplacer le curseur pour faire varier la valeur de \(k\)
Quand \(k > 1\), la droite \(y=k\) coupe la courbe en deux points \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\). Quand \(k = 1\), elle est tangente au minimum. Quand \(k < 1\), aucune intersection.
Primitive de \(1/x\) sur \(]0;+\infty[\), nulle en 1. Dérivée \(1/x\), strictement croissante. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\). \((e^x)' = e^x > 0\), strictement croissante. \(e^{a+b}=e^ae^b\). Jamais nulle.
\(a^\alpha = e^{\alpha\ln a}\) pour \(a>0\). \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\). \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
\(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) à \(+\infty\). \(x^\alpha\ln x \to 0\) en \(0^+\) (\(\alpha>0\)). \((e^x-1)/x \to 1\) en 0.
Vérifier l'ensemble de validité avant tout. \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b\). \(e^a = e^b \Leftrightarrow a=b\).
Limites aux bornes → branches infinies. Signe de \(f'\) → variations, min/max. TVI + monotonie → solutions et balayage.
- Oublier l'ensemble de validité avant de résoudre une équation avec \(\ln\).
- Écrire \(e^a \times e^b = e^{ab}\) au lieu de \(e^{a+b}\).
- Confondre \(x^\alpha\) (base variable) et \(a^x\) (exposant variable) — les dérivées sont différentes.
- Oublier que \(e^x = 0\) est impossible — si on y aboutit, c'est une erreur en amont.
- Pour les croissances comparées : vouloir « simplifier » \(\infty/\infty\) sans factoriser par le terme dominant.
- Pour les équations avec \(\ln\) : écrire l'ensemble de validité en premier, avant tout calcul.
- Pour les limites en \(+\infty\) : identifier le terme dominant (exp \(\succ\) puissances \(\succ\) ln) et factoriser.
- Pour montrer une inégalité du type \(\ln x \le x-1\) : passer par le minimum d'une fonction auxiliaire.
- La dérivée de \(x - \ln x\) est \((x-1)/x\) — un classique du programme, à connaître immédiatement.
- Toujours vérifier que \(e^x = k\) n'a de solution que si \(k > 0\).