Complexes & Arithmétique
Nombres complexes · Travaux pratiques · Arithmétique (exclusivité série C)
Nombres complexes : calculs dans ℂ
Nombres complexes : calculs dans \(\mathbb{C}\)
Forme algébrique, conjugué, module, argument et notation exponentielle : tout l'outillage de calcul dans \(\mathbb{C}\), avec les formules de Moivre et d'Euler.
📋 Sommaire du Chapitre
IV.1 — Forme algébrique et opérations
Définition
L'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme \(z = a + ib\), où \(a, b \in \mathbb{R}\) et \(i^{2} = -1\). Cette écriture est la forme algébrique de \(z\) ; \(a = \operatorname{Re}(z)\) est la partie réelle, \(b = \operatorname{Im}(z)\) la partie imaginaire (c'est un réel).
\(z\) est réel \(\iff \operatorname{Im}(z) = 0\) ; \(z\) est imaginaire pur \(\iff \operatorname{Re}(z) = 0\).
Propriétés
Unicité de l'écriture : \(a + ib = a' + ib' \iff a = a' \text{ et } b = b'\). En particulier \(a + ib = 0 \iff a = b = 0\).
Opérations : \(\mathbb{C}\) muni de l'addition et de la multiplication (calculées comme dans \(\mathbb{R}\) en remplaçant \(i^{2}\) par \(-1\)) est un corps commutatif : tout \(z \neq 0\) admet un inverse,
Puissances de \(i\) : \(i^{1} = i\), \(i^{2} = -1\), \(i^{3} = -i\), \(i^{4} = 1\), puis le cycle recommence.
Exemple
\((2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^{2} = 2 + i + 3 = 5 + i\).
Forme algébrique de \(\dfrac{3+i}{1-2i}\) : on multiplie par le conjugué du dénominateur,
IV.2 — Nombre conjugué
Définition
Le conjugué de \(z = a + ib\) est \(\bar{z} = a - ib\).
Propriétés du conjugué
Caractérisations : \(z\) réel \(\iff \bar{z} = z\) ; \(z\) imaginaire pur \(\iff \bar{z} = -z\).
Géométriquement : le point d'affixe \(\bar{z}\) est le symétrique du point d'affixe \(z\) par rapport à l'axe des abscisses.
IV.3 — Représentation géométrique
Définition — Affixe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u},\vec{v})\), appelé plan complexe. À tout complexe \(z = a + ib\) on associe le point \(M(a\,;b)\) : \(M\) est l'image de \(z\) et \(z\) est l'affixe de \(M\). De même, l'affixe du vecteur \(\vec{w}(a\,;b)\) est \(z_{\vec{w}} = a + ib\).
L'axe des abscisses est l'axe des réels, l'axe des ordonnées celui des imaginaires purs.
Propriétés
Pour des points \(A\) et \(B\) d'affixes \(z_{A}\) et \(z_{B}\) :
Translation : pour \(a \in \mathbb{C}\) fixé, l'application \(z \mapsto z + a\) est la translation de vecteur d'affixe \(a\).
IV.4 — Module
Définition
Le module de \(z = a + ib\) est le réel positif \(|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Si \(M\) est l'image de \(z\), alors \(|z| = OM\).
Propriétés
Distance : pour \(A(z_{A})\) et \(B(z_{B})\) : \(AB = |z_{B} - z_{A}|\).
Méthode — Ensembles de points
Pour \(\Omega\) d'affixe \(\omega\), \(A(a)\), \(B(b)\) et \(r > 0\) :
Traduire systématiquement le module en distance avant toute interprétation.
IV.5 — Argument et forme trigonométrique
Définition
Pour \(z \neq 0\) d'image \(M\), un argument de \(z\), noté \(\arg z\), est une mesure de l'angle orienté \(\left(\vec{u}\,,\overrightarrow{OM}\right)\), définie modulo \(2\pi\).
En posant \(r = |z|\) et \(\theta = \arg z\), on obtient la forme trigonométrique :
Propriétés de l'argument (\(z, z' \neq 0\), modulo \(2\pi\))
\(z\) réel non nul \(\iff \arg z \equiv 0\ [\pi]\) ; \(z\) imaginaire pur non nul \(\iff \arg z \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\).
Exemple
\(z = \sqrt{3} + i\) : \(|z| = \sqrt{3+1} = 2\), puis \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) :
De même \(1 - i = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\).
\(\arg z = \dfrac{\pi}{6}\)
parties réelle et imaginaire
Remarque
Pour \(a \neq 0\), l'application \(z \mapsto az\) multiplie les modules par \(|a|\) et ajoute \(\arg a\) aux arguments : c'est la composée d'une rotation de centre \(O\) et d'une homothétie de centre \(O\). Cette interprétation sera systématisée au chapitre XI (similitudes directes).
IV.6 — Notation exponentielle, formules de Moivre et d'Euler
Définition — Notation exponentielle
Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on note \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Tout complexe non nul s'écrit \(z = re^{i\theta}\) avec \(r = |z|\) et \(\theta = \arg z\).
Théorème — Formule de Moivre
Théorème — Formules d'Euler
Exemple — Puissance par la forme exponentielle
\(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\), donc :
La forme exponentielle transforme les puissances en simples multiplications d'angles.
L'essentiel pour le Bac
- Forme algébrique unique : \(a + ib = a' + ib' \iff a = a',\ b = b'\) ; quotient : multiplier par le conjugué du dénominateur.
- \(z\bar{z} = |z|^{2}\), \(z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z)\) ; \(z\) réel \(\iff \bar{z} = z\), imaginaire pur \(\iff \bar{z} = -z\).
- \(z_{\overrightarrow{AB}} = z_{B} - z_{A}\), \(AB = |z_{B} - z_{A}|\) ; cercle \(|z-\omega| = r\), médiatrice \(|z-a| = |z-b|\).
- Modules : produit des modules ; arguments : somme des arguments (modulo \(2\pi\)).
- \(z = re^{i\theta}\) ; Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta\) ; Euler \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\).
Nombres complexes — Travaux pratiques
Nombres complexes — Travaux pratiques
Équations du second degré dans \(\mathbb{C}\), racines carrées d'un complexe, linéarisation, racines \(n\)-ièmes de l'unité et configurations géométriques planes à l'aide des arguments.
📋 Sommaire du Chapitre
V.1 — Équations du second degré à coefficients réels
Théorème
Soit \(az^{2} + bz + c = 0\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\), et \(\Delta = b^{2} - 4ac\).
- Si \(\Delta > 0\) : deux racines réelles distinctes \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
- Si \(\Delta = 0\) : une racine réelle double \(-\dfrac{b}{2a}\).
- Si \(\Delta < 0\) : deux racines complexes conjuguées \(z_{1} = \dfrac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(z_{2} = \bar{z}_{1} = \dfrac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
Dans tous les cas : \(z_{1} + z_{2} = -\dfrac{b}{a}\) et \(z_{1}z_{2} = \dfrac{c}{a}\) ; on a \(az^{2}+bz+c = a(z-z_{1})(z-z_{2})\).
Exemple
Résoudre \(z^{2} - 2z + 5 = 0\).
\(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\), donc \(\sqrt{-\Delta} = 4\) et les racines sont
\(z_{1} = 1 + 2i\), \(z_{2} = 1 - 2i\).
Vérification : \(z_{1}+z_{2} = 2 = -(-2)/1\) ✓ ; \(z_{1}z_{2} = (1+2i)(1-2i) = 1+4 = 5\) ✓.
Factorisation : \(z^{2}-2z+5 = (z-1-2i)(z-1+2i)\).
Remarque
Les racines d'un trinôme à coefficients réels sont soit toutes réelles, soit complexes conjuguées par paires. En particulier, si \(z_{0}\) est racine, \(\bar{z}_{0}\) l'est aussi.
V.2 — Équations se ramenant au second degré
Méthode — Racine évidente pour un polynôme de degré 3
Chercher une racine entière (petits entiers, diviseurs du terme constant). Si \(P(z_{0}) = 0\), factoriser \(P(z) = (z - z_{0}) Q(z)\) par division euclidienne ou identification, puis résoudre \(Q(z) = 0\) (trinôme du second degré).
Exemple — Équation de degré 3
Résoudre \(P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = 0\).
\(P(1) = 1 - 3 + 7 - 5 = 0\) : \(z = 1\) est racine.
Division : \(z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = (z-1)(z^{2}-2z+5)\).
\(z^{2}-2z+5 = 0\) a pour racines \(1 \pm 2i\) (voir §1).
Ensemble solution : \(\mathbb{S} = \{1,\ 1+2i,\ 1-2i\}\).
Méthode — Racines carrées d'un complexe
Chercher \(z = x + iy\) (\(x, y \in \mathbb{R}\)) tel que \(z^{2} = a + ib\). Le système à résoudre est :
On en déduit \(x^{2} = \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}\) et \(y^{2} = \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}\), puis le signe de \(y\) est imposé par \(2xy = b\). Les deux racines carrées sont opposées.
Exemple — Racines carrées de \(3 + 4i\)
\(|3+4i| = \sqrt{9+16} = 5\).
\(x^{2} = \dfrac{5+3}{2} = 4\) donc \(x = \pm 2\).
\(y^{2} = \dfrac{5-3}{2} = 1\) donc \(y = \pm 1\).
\(2xy = 4 > 0\) : \(x\) et \(y\) de même signe, d'où \((x,y) = (2,1)\) ou \((-2,-1)\).
Les racines carrées de \(3+4i\) sont \(\mathbf{\pm(2+i)}\).
V.3 — Linéarisation et produits en sommes
Méthode — Linéarisation (puissances → sommes)
Pour exprimer \(\cos^{n}\theta\) ou \(\sin^{n}\theta\) en somme de cosinus/sinus d'angles multiples, on utilise les formules d'Euler : \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) et \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\), puis on développe par le binôme de Newton.
Exemple — Linéarisation de \(\cos^{3}\theta\)
De même \(\sin^{2}\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}\).
Méthode — Produits en sommes (sens inverse : Moivre)
Pour développer \(\cos(n\theta)\) ou \(\sin(n\theta)\) en puissances de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\), on développe \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^{n}\) par le binôme, puis on identifie parties réelle et imaginaire.
Exemple — Expression de \(\cos 3\theta\)
Partie réelle : \(\cos 3\theta = \cos^{3}\theta - 3\cos\theta\sin^{2}\theta = \cos^{3}\theta - 3\cos\theta(1-\cos^{2}\theta) = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta\).
Formules produit ↔ somme (rappels)
V.4 — Racines \(n\)-ièmes de l'unité
Théorème
L'équation \(z^{n} = 1\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)) admet exactement \(n\) solutions complexes, appelées racines \(n\)-ièmes de l'unité :
Leurs images forment les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle unité, avec \(z_{0} = 1\).
Propriété — Somme nulle
Cas \(n = 3\) : les racines cubiques de l'unité sont \(1\), \(j = -\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(j^{2} = -\tfrac{1}{2} - i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\), avec \(1 + j + j^{2} = 0\) et \(j^{3} = 1\).
Illustration — Racines cinquièmes de l'unité
polygone régulier
cercle unité
Remarque — Racines \(n\)-ièmes d'un complexe quelconque
Pour résoudre \(z^{n} = re^{i\alpha}\) (\(r > 0\)), les \(n\) solutions sont \(z_{k} = r^{1/n} e^{\,i(\alpha + 2k\pi)/n}\), \(k = 0, \ldots, n-1\) : elles forment un polygone régulier à \(n\) côtés centré en \(O\), de rayon \(r^{1/n}\).
V.5 — Configurations planes et arguments
Théorème — Interprétation du quotient
Pour trois points distincts \(A(z_{A})\), \(B(z_{B})\), \(C(z_{C})\) du plan complexe, le nombre \(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\) possède :
- comme module : le rapport \(\dfrac{AC}{AB}\) ;
- comme argument : une mesure de l'angle orienté \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\).
Critères géométriques
Exemple — Nature d'un triangle
\(A(1)\), \(B(2+i)\), \(C(i)\).
\(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}} = \dfrac{i-1}{1+i} = \dfrac{(i-1)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{i-i^{2}-1+i}{2} = \dfrac{2i}{2} = i\).
Module \(= 1\) et argument \(= \dfrac{\pi}{2}\) : le triangle \(ABC\) est
rectangle et isocèle en \(A\), et l'angle \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) = \dfrac{\pi}{2}\) (sens direct).
Méthode — Demi-droite et cercle
L'ensemble des images des complexes \(z\) vérifiant \(\arg(z - a) = \theta\) est la demi-droite d'origine \(A(a)\) (exclu), de direction \(\theta\).
L'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\arg\dfrac{z-b}{z-a} = \dfrac{\pi}{2}\) (\(\text{modulo}\ \pi\)) est le cercle de diamètre \([AB]\) (sans \(A\) et \(B\)).
L'essentiel pour le Bac
- Trinôme réel, \(\Delta < 0\) : racines \(\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\), conjuguées l'une de l'autre.
- Racines carrées de \(a+ib\) : système \(x^{2}-y^{2}=a\), \(2xy=b\), \(x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
- Linéarisation : Euler + binôme de Newton ; sens inverse : Moivre + identification parties réelle/imaginaire.
- Racines \(n\)-ièmes de l'unité : \(z_{k} = e^{2ik\pi/n}\), polygone régulier, somme nulle pour \(n \ge 2\) ; racines cubiques \(1, j, j^{2}\) avec \(1+j+j^{2}=0\).
- Quotient \(\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{B}-z_{A}}\) : module = rapport de longueurs, argument = angle orienté ; alignement \(\iff\) réel, perpendicularité \(\iff\) imaginaire pur, isocèle \(\iff\) module 1.
Arithmétique dans ℤ
Arithmétique dans \(\mathbb{Z}\)
Division euclidienne, congruences, PGCD et algorithme d'Euclide, identité de Bézout, théorème de Gauss et nombres premiers : les outils fondamentaux de l'arithmétique élémentaire.
📋 Sommaire du Chapitre
VI.1 — Divisibilité et division euclidienne
Définition
Soit \(a, b \in \mathbb{Z}\). On dit que \(b\) divise \(a\) (ou que \(a\) est un multiple de \(b\)), noté \(b \mid a\), si \(\exists\, k \in \mathbb{Z},\ a = kb\).
Propriétés
Si \(b \mid a\) et \(b \mid a'\), alors pour tous \(u, v \in \mathbb{Z}\) : \(b \mid (ua + va')\) (combinaison linéaire). En particulier la divisibilité se conserve par addition et soustraction.
\(1\) divise tout entier ; tout entier divise \(0\) ; si \(b \mid a\) et \(a \neq 0\), alors \(|b| \le |a|\).
L'ensemble des multiples de \(b\) dans \(\mathbb{Z}\) se note \(b\mathbb{Z}\).
Théorème — Division euclidienne
Pour tous \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{Z}^{*}\), il existe un unique couple \((q, r) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}\) tel que :
\(q\) est le quotient, \(r\) le reste.
Exemple
Division de \(-37\) par \(5\) : \(-37 = 5 \times (-8) + 3\), car \(5 \times (-8) = -40\) et \(-40 + 3 = -37\), avec \(0 \le 3 < 5\). ✓
Piège
Le reste \(r\) est toujours positif ou nul, quelle que soit le signe de \(a\). Ne jamais écrire \(-37 = 5 \times (-7) + (-2)\) : \(-2 < 0\) viole la condition \(r \ge 0\).
VI.2 — Congruences
Définition
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). On dit que \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(n\), noté \(a \equiv b\ [n]\), si \(n \mid (a - b)\), c'est-à-dire si \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(n\).
Compatibilité avec les opérations
Si \(a \equiv a'\ [n]\) et \(b \equiv b'\ [n]\), alors :
Piège — Pas de division
On ne peut pas diviser une congruence par un entier quelconque. Exemple : \(2 \times 3 \equiv 2 \times 0\ [6]\) (car \(6 \equiv 0\ [6]\)), mais \(3 \not\equiv 0\ [6]\). La simplification par \(2\) est ici fausse. On peut diviser par \(k\) à condition que \(\text{pgcd}(k, n) = 1\).
Méthode — Reste d'une grande puissance
Calculer le reste de \(7^{100}\) dans la division par \(5\).
\(7 \equiv 2\ [5]\), donc \(7^{100} \equiv 2^{100}\ [5]\).
Cycle des restes de \(2^{k}\) modulo \(5\) :
\(2^{1}=2\), \(2^{2}=4\), \(2^{3}=3\), \(2^{4}=1\), puis le cycle recommence
(période \(4\)).
\(100 = 4 \times 25\), donc \(2^{100} = (2^{4})^{25} \equiv 1^{25} = 1\ [5]\).
Réponse : le reste est \(\mathbf{1}\).
Critère de divisibilité par 9
Tout entier \(N = \overline{a_{k}\ldots a_{1}a_{0}}\) vérifie \(N \equiv a_{k} + \cdots + a_{1} + a_{0}\ [9]\), car \(10 \equiv 1\ [9]\) donc \(10^{j} \equiv 1\ [9]\) pour tout \(j \ge 0\). Ainsi \(N\) est divisible par \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.
VI.3 — PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide
Définition
Pour \(a, b \in \mathbb{Z}\) non tous nuls, le plus grand commun diviseur \(\text{pgcd}(a, b)\) est le plus grand entier naturel divisant à la fois \(a\) et \(b\). Le plus petit commun multiple \(\text{ppcm}(a, b)\) est le plus petit entier naturel non nul divisible à la fois par \(a\) et par \(b\).
Théorème — Algorithme d'Euclide
Si \(a = bq + r\) (division euclidienne), alors \(\text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(b, r)\). On répète jusqu'à obtenir un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple — \(\text{pgcd}(252, 198)\)
Dernier reste non nul : \(\text{pgcd}(252, 198) = \mathbf{18}\).
Propriétés
\(\text{pgcd}(ka, kb) = k\,\text{pgcd}(a, b)\) pour \(k > 0\). Si \(d = \text{pgcd}(a,b)\), les entiers \(a/d\) et \(b/d\) sont premiers entre eux.
VI.4 — Identité de Bézout et théorème de Gauss
Théorème — Identité de Bézout
Pour tous \(a, b \in \mathbb{Z}\), il existe \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(au + bv = \text{pgcd}(a, b)\). En particulier :
Méthode — Remontée de l'algorithme d'Euclide
Trouver \(u, v\) tels que \(23u + 17v = 1\) (\(\text{pgcd}(23,17)=1\)).
Remontée :
Donc \(23 \times 3 + 17 \times (-4) = 1\) : \(u = 3\), \(v = -4\).
Théorème de Gauss
Si \(a \mid bc\) et \(\text{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(a \mid c\).
Corollaire : si \(a \mid n\), \(b \mid n\) et \(\text{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(ab \mid n\).
Exemple — Équation diophantienne
Résoudre dans \(\mathbb{Z}^{2}\) : \(5x - 3y = 1\).
\(\text{pgcd}(5, 3) = 1\) : des solutions existent. Particulière : \(5 \times 2 - 3 \times 3 = 1\),
donc \((x_{0}, y_{0}) = (2, 3)\).
Si \((x, y)\) est solution, \(5(x-2) = 3(y-3)\), donc \(3 \mid 5(x-2)\) ;
par Gauss \(3 \mid (x-2)\), d'où \(x = 2 + 3k\).
Alors \(y = 3 + 5k\).
Ensemble solution : \(\mathbb{S} = \{(2+3k,\ 3+5k),\ k \in \mathbb{Z}\}\).
Cadre du programme
Bézout et Gauss sont abordés sur des exemples numériques uniquement ; leurs démonstrations générales ne sont pas exigibles.
VI.5 — Nombres premiers
Définition
Un entier \(p \ge 2\) est premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et \(p\) lui-même.
Critère de primalité
Pour tester si \(n\) est premier, il suffit de vérifier qu'aucun entier \(p \le \sqrt{n}\) ne divise \(n\) (il suffit de tester les entiers premiers \(\le \sqrt{n}\)).
Exemple : \(\sqrt{197} \approx 14{,}03\). Il faut tester les premiers \(2, 3, 5, 7, 11, 13\) : aucun ne divise \(197\), donc \(\mathbf{197}\) est premier.
Théorème — Infinité des nombres premiers
L'ensemble des nombres premiers est infini. Esquisse : si \(p_{1}, \ldots, p_{k}\) étaient tous les premiers, l'entier \(N = p_{1} \cdots p_{k} + 1\) n'est divisible par aucun d'eux, ce qui contredit le fait que tout entier \(\ge 2\) admet un diviseur premier.
Théorème fondamental de l'arithmétique
Tout entier \(n \ge 2\) s'écrit de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers :
Applications
Décomposition : \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\).
Nombre de diviseurs : \((3+1)(2+1)(1+1) = \mathbf{24}\) diviseurs positifs.
Pour deux décompositions \(a = \prod p_{i}^{\alpha_{i}}\) et
\(b = \prod p_{i}^{\beta_{i}}\) :
L'essentiel pour le Bac
- Division euclidienne : \(a = bq + r\), \(0 \le r < |b|\) ; le reste est toujours positif ou nul.
- Congruences : compatibles avec \(+\) et \(\times\) (pas avec la division en général) ; pour les grandes puissances, chercher la période du cycle des restes.
- Algorithme d'Euclide : \(\text{pgcd}(a,b) = \text{pgcd}(b, r)\) ; remontée pour Bézout ; \(\text{pgcd} \times \text{ppcm} = |ab|\).
- \(\text{pgcd}(a,b) = 1 \iff \exists\, u,v,\ au+bv=1\) (Bézout) ; \(a \mid bc\) et \(\text{pgcd}(a,b)=1 \Rightarrow a \mid c\) (Gauss).
- Primalité : tester les diviseurs premiers jusqu'à \(\sqrt{n}\) ; décomposition unique en produit de premiers ; \(\tau(n) = \prod (\alpha_{i}+1)\) diviseurs.
🤖 Besoin d'aide sur ce chapitre ?
Le tuteur IA répond à vos questions 24h/24 et explique chaque étape.
· 3 questions gratuites/jour · Illimité en Premium