Éq. différentielles, Suites & Calcul intégral
Équations différentielles · Suites numériques · Calcul intégral
Équations différentielles
Équations différentielles
Résolution des équations différentielles du premier ordre \(y' + ay = f\) et du second ordre \(y'' + ay' + by = g\), avec conditions initiales et applications physiques (radioactivité, oscillateur harmonique).
📋 Sommaire du Chapitre
VII.1 — Vocabulaire et définitions
Définition
Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue \(y\) définie sur un intervalle \(I\) et ses dérivées successives. L'ordre est le rang de la dérivée la plus élevée qui y figure.
Résoudre une équation différentielle sur \(I\) signifie déterminer toutes les fonctions dérivables sur \(I\) qui satisfont cette relation : ces fonctions sont les solutions.
Une condition initiale (ou de Cauchy) spécifie la valeur de la solution (et éventuellement de ses dérivées) en un point ; elle sélectionne une solution unique parmi la famille générale.
VII.2 — Équation du premier ordre \(y' + ay = 0\)
Théorème — Solution générale
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Les solutions de l'équation \(y' + ay = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont exactement les fonctions de la forme :
Existence et unicité : pour tout \(x_{0} \in \mathbb{R}\) et tout \(y_{0} \in \mathbb{R}\), il existe une unique solution vérifiant \(y(x_{0}) = y_{0}\), obtenue en posant \(C = y_{0}\,e^{ax_{0}}\).
Exemple
Résoudre \(y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 3\).
Solution générale : \(y = Ce^{-2x}\).
Condition : \(C = 3\). Solution particulière : \(\mathbf{y = 3e^{-2x}}\).
\(y = e^{-2x}\) (\(C = 1\))
\(y = -e^{-2x}\) (\(C = -1\))
Application — Radioactivité
Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs vérifie \(N'(t) = -\lambda N(t)\) (\(\lambda > 0\) : constante de désintégration). Solution : \(N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t}\).
La demi-vie \(T_{1/2}\) est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux s'est désintégrée : \(N_{0}e^{-\lambda T_{1/2}} = \dfrac{N_{0}}{2}\), soit \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
VII.3 — Équation du second ordre homogène, \(\Delta \ge 0\)
Équation caractéristique
À l'équation \(y'' + ay' + by = 0\) (\(a, b \in \mathbb{R}\)) on associe l'équation caractéristique \(r^{2} + ar + b = 0\), de discriminant \(\Delta = a^{2} - 4b\).
Théorème — Solutions générales (admis, \(\Delta \ge 0\))
\(A, B \in \mathbb{R}\) sont déterminés par les deux conditions initiales \(y(x_{0}) = y_{0}\) et \(y'(x_{0}) = y'_{0}\). L'existence et l'unicité de la solution à conditions initiales données sont admises.
Exemple 1 — \(\Delta > 0\)
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).
Équation caractéristique : \(r^{2} - 3r + 2 = 0\),
\(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(r_{1} = 1\), \(r_{2} = 2\).
Solution générale : \(y = Ae^{x} + Be^{2x}\).
\(y(0) = 0 \Rightarrow A + B = 0\).
\(y'(0) = 1 \Rightarrow A + 2B = 1\).
On obtient \(B = 1\) et \(A = -1\), soit
\(\mathbf{y = e^{2x} - e^{x}}\).
Exemple 2 — \(\Delta = 0\)
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2} = 0\),
racine double \(r_{0} = -2\).
Solution générale : \(\mathbf{y = (Ax + B)e^{-2x}}\).
VII.4 — Racines complexes : \(y'' + \omega^{2} y = 0\)
Cadre du programme
Pour la série C, le cas de racines complexes conjuguées est limité à l'équation \(y'' + \omega^{2} y = 0\) avec \(\omega > 0\) (pas de terme en \(y'\)). Les autres cas de racines complexes sont hors programme.
Théorème
Les solutions de \(y'' + \omega^{2} y = 0\) (\(\omega > 0\)) sur \(\mathbb{R}\) sont :
Cette solution peut aussi s'écrire sous forme amplitude-phase : \(y(x) = R\cos(\omega x - \varphi)\), avec \(R = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\) et \(\tan\varphi = B/A\).
Exemple
Résoudre \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\).
\(\omega = 3\) ; solution générale : \(y = A\cos 3x + B\sin 3x\).
\(y(0) = A = 1\).
\(y'(0) = 3B = 3 \Rightarrow B = 1\).
Solution : \(y = \cos 3x + \sin 3x\).
Forme amplitude-phase :
\(R = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\) et \(\varphi = \pi/4\), d'où
\(\mathbf{y = \sqrt{2}\cos\!\left(3x - \tfrac{\pi}{4}\right)}\).
Application — Oscillateur harmonique
Un système masse-ressort (ou circuit LC sans résistance) sans frottement obéit à \(\ddot{x} + \omega^{2} x = 0\). Ses solutions sont des oscillations sinusoïdales de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\), appelée période propre. L'amplitude \(R\) et la phase \(\varphi\) sont fixées par les conditions initiales.
VII.5 — Équation avec second membre
Théorème — Structure de l'ensemble des solutions
Soit \((E)\) une équation différentielle d'ordre \(n\) linéaire à coefficients constants avec second membre, et \((H)\) l'équation homogène associée (second membre nul). Si \(y_{p}\) est une solution particulière de \((E)\), alors :
En pratique : chercher \(y_{p}\) sous une forme imposée par l'énoncé, puis additionner la solution générale de \((H)\).
Méthode
- Résoudre l'équation homogène \((H)\) : écrire \(y_{H}\).
- Chercher une solution particulière \(y_{p}\) sous la forme indiquée par l'énoncé (constante, polynôme, exponentielle, etc.) ; substituer dans \((E)\) pour identifier les coefficients.
- Solution générale de \((E)\) : \(y = y_{H} + y_{p}\).
- Appliquer les conditions initiales pour fixer les constantes.
Exemple — \(y' - 2y = e^{x}\)
Homogène \(y' - 2y = 0\) : \(y_{H} = Ce^{2x}\).
Chercher \(y_{p} = ke^{x}\) (même type que le second membre) :
\(y_{p}' - 2y_{p} = ke^{x} - 2ke^{x} = -ke^{x} = e^{x}\),
donc \(k = -1\), \(y_{p} = -e^{x}\).
Solution générale : \(\mathbf{y = Ce^{2x} - e^{x}}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Piège — Résonance
Si la forme naturelle de \(y_{p}\) est déjà solution de \((H)\) (par exemple chercher \(ke^{2x}\) pour \(y' - 2y = e^{2x}\)), la substitution donne \(0 = e^{2x}\), ce qui est impossible. L'énoncé signale ce cas et indique une forme modifiée (souvent \(kx\,e^{2x}\)).
L'essentiel pour le Bac
- \(y' + ay = 0\) : solution générale \(y = Ce^{-ax}\) ; condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\) donne \(C = y_{0}e^{ax_{0}}\).
- \(y'' + ay' + by = 0\) : équation caractéristique \(r^{2}+ar+b=0\) ; \(\Delta > 0\) : \(Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\) ; \(\Delta = 0\) : \((Ax+B)e^{r_{0}x}\).
- \(y'' + \omega^{2}y = 0\) (seul cas \(\Delta < 0\) au programme) : \(A\cos\omega x + B\sin\omega x = R\cos(\omega x - \varphi)\), \(R = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\), période \(T = 2\pi/\omega\).
- Avec second membre : solution générale = solution particulière + solution homogène ; chercher \(y_{p}\) sous la forme indiquée ; attention à la résonance.
- Radioactivité : \(N' = -\lambda N \Rightarrow N = N_{0}e^{-\lambda t}\) ; demi-vie \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Suites numériques
Suites numériques
Raisonnement par récurrence, convergence, suites du type \(u_{n} = f(n)\) et suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_{n})\) avec la méthode du point fixe.
📋 Sommaire du Chapitre
VIII.1 — Généralités et raisonnement par récurrence
Modes de génération
Une suite peut être définie de façon explicite (\(u_{n} = f(n)\)) ou par récurrence (\(u_{0}\) donné et \(u_{n+1} = f(u_{n})\)).
Principe de récurrence
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant de \(n \in \mathbb{N}\). Si :
- Initialisation : \(P(n_{0})\) est vraie ;
- Hérédité : pour tout \(n \ge n_{0}\), \(P(n)\) vraie entraîne \(P(n+1)\) vraie ;
alors \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \ge n_{0}\).
Exemple
Montrer que \(2^{n} \ge n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation : \(2^{0} = 1 \ge 1\). ✓
Hérédité : si \(2^{n} \ge n+1\), alors
\(2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n} \ge 2(n+1) = (n+2) + n \ge n+2\). ✓
Conclusion : la propriété est vraie pour tout \(n\).
Rappels — suites arithmétiques et géométriques
VIII.2 — Monotonie, suites majorées et minorées
Définitions
\((u_{n})\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_{n}\) pour tout \(n\) (décroissante si \(u_{n+1} \le u_{n}\)). Elle est majorée par \(M\) si \(u_{n} \le M\) pour tout \(n\), minorée par \(m\) si \(u_{n} \ge m\), bornée si elle est majorée et minorée.
Méthode — Étudier la monotonie
- Étudier le signe de \(u_{n+1} - u_{n}\) ;
- si \(u_{n} > 0\) : comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}\) à \(1\) ;
- si \(u_{n} = f(n)\) : utiliser les variations de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\) ;
- pour une suite récurrente : raisonnement par récurrence.
VIII.3 — Convergence : théorèmes admis
Définition
\((u_{n})\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_{n}\) à partir d'un certain rang. On note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n} = \ell\). La limite, si elle existe, est unique. Une suite non convergente est dite divergente.
Théorèmes (admis)
- Opérations : les limites de sommes, produits, quotients de suites convergentes suivent les mêmes règles que pour les fonctions.
- Gendarmes : si \(v_{n} \le u_{n} \le w_{n}\) à partir d'un certain rang et \(\lim v_{n} = \lim w_{n} = \ell\), alors \(\lim u_{n} = \ell\).
- Comparaison : si \(u_{n} \ge v_{n}\) et \(v_{n} \to +\infty\), alors \(u_{n} \to +\infty\).
- Limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
Limite de \(q^{n}\)
VIII.4 — Suites du type \(u_{n} = f(n)\)
Théorème
Si \(u_{n} = f(n)\) et si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell\) (fini ou infini), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n} = \ell\). Toutes les techniques de limites de fonctions (chapitres I et III, croissances comparées incluses) s'appliquent.
Exemple
\(u_{n} = \dfrac{2n+1}{n+1} = \dfrac{2 + 1/n}{1 + 1/n} \longrightarrow 2\).
\(v_{n} = \dfrac{\ln n}{n} \longrightarrow 0\) (croissances comparées).
\(w_{n} = n^{2}e^{-n} = \dfrac{n^{2}}{e^{n}} \longrightarrow 0\).
VIII.5 — Suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_{n})\) et point fixe
Théorème du point fixe
Si \((u_{n})\) définie par \(u_{n+1} = f(u_{n})\) converge vers \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors :
La limite éventuelle est donc à chercher parmi les solutions de l'équation \(f(x) = x\) (points fixes de \(f\)).
Méthode — Étude complète
- Trouver un intervalle \(I\) stable (\(f(I) \subset I\)) contenant \(u_{0}\), et montrer par récurrence que \(u_{n} \in I\) pour tout \(n\).
- Étudier la monotonie (récurrence ou signe de \(f(x) - x\) sur \(I\)).
- Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone.
- Identifier \(\ell\) parmi les solutions de \(f(x) = x\) dans \(I\).
Méthode — Convergence par l'inégalité des accroissements finis
Si \(|f'(x)| \le k < 1\) sur un intervalle stable \(I\) contenant le point fixe \(\ell\), alors (chapitre II) :
Exemple complet — \(u_{0} = 0\), \(u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{2} + 2\)
Ici \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\), point fixe : \(\ell = \dfrac{\ell}{2} + 2
\iff \ell = 4\).
Bornes : par récurrence, \(0 \le u_{n} \le 4\)
(si \(u_{n} \le 4\), \(u_{n+1} \le 2 + 2 = 4\)).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{4 - u_{n}}{2} \ge 0\) :
croissante.
Croissante et majorée : \((u_{n})\) converge ; \(f\) continue,
donc \(\ell = 4\).
Variante IAF : \(|f'(x)| = \dfrac{1}{2}\), donc
\(|u_{n} - 4| \le \dfrac{4}{2^{n}} \to 0\) : convergence directe vers \(4\).
\(y = x\)
escalier \(u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots\)
point fixe \(\ell = 4\)
L'essentiel pour le Bac
- Récurrence : initialisation + hérédité, rédaction rigoureuse en deux étapes.
- Croissante majorée (ou décroissante minorée) \(\Rightarrow\) convergente ; gendarmes et comparaison pour les limites.
- \(q^{n} \to 0\) si \(|q| < 1\), \(+\infty\) si \(q > 1\), pas de limite si \(q \le -1\).
- \(u_{n} = f(n)\) : limites de fonctions et croissances comparées s'appliquent.
- \(u_{n+1} = f(u_{n})\) : intervalle stable + monotonie + limite monotone, puis \(\ell\) solution de \(f(x) = x\) (\(f\) continue) ; ou IAF avec \(|f'| \le k < 1\) : \(|u_{n}-\ell| \le k^{n}|u_{0}-\ell|\).
Calcul intégral
Calcul intégral
Intégrale d'une fonction continue, propriétés, valeur moyenne, intégration par parties, calculs d'aires et de volumes de révolution.
📋 Sommaire du Chapitre
IX.1 — Intégrale d'une fonction continue
Définition
Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\), \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\) (elle existe, chapitre II) et \(a, b \in I\). On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) le réel :
Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie (deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine).
Interprétation graphique
Si \(f \ge 0\) sur \([a\,;b]\) (\(a \le b\)), alors \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) est l'aire, en unités d'aire (u.a.), du domaine délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x = a\) et \(x = b\).
Exemple et illustration
\(\displaystyle\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}\) u.a.
aire \(\displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx\)
Remarque — Primitives et fonctions composées
Pour \(a \neq 0\), une primitive de \(x \mapsto f(ax+b)\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{a}F(ax+b)\). Les formes \(u'e^{u}\), \(u'u^{\alpha}\), \(\dfrac{u'}{u}\) (chapitre II) sont les outils principaux du calcul intégral. Exemple : \(\displaystyle\int_{0}^{1} 2x(x^{2}+1)^{3}dx = \left[\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}\).
IX.2 — Propriétés de l'intégrale
Propriétés fondamentales
Intégrale et ordre (pour \(a \le b\))
Piège
Les propriétés de positivité et de croissance exigent \(a \le b\). Si les bornes sont dans l'autre sens, les inégalités se renversent. Et \(\displaystyle\int_{a}^{b} f = 0\) n'implique pas \(f = 0\) : les aires positives et négatives peuvent se compenser.
IX.3 — Valeur moyenne et inégalité de la moyenne
Définition — Valeur moyenne
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) (\(a < b\)) est :
Inégalité de la moyenne
Si \(m \le f(x) \le M\) sur \([a\,;b]\), alors :
Exemple
Valeur moyenne de \(\sin\) sur \([0\,;\pi]\) : \(\mu = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \dfrac{1}{\pi}\Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi} = \dfrac{1}{\pi}(1 + 1) = \dfrac{2}{\pi} \approx 0{,}64\).
IX.4 — Intégration par parties
Théorème
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([a\,;b]\), de dérivées continues, alors :
Méthode — Choisir \(u'\) et \(v\)
Choisir pour \(v\) la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln\)) et pour \(u'\) celle qu'on sait intégrer (\(e^{x}\), \(\cos\), \(\sin\), puissances). Typiquement : \(\displaystyle\int x\,e^{x}\), \(\displaystyle\int x\cos x\), \(\displaystyle\int \ln x\) (avec \(u' = 1\)).
Exemple
\(\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx\) : posons \(u'(x) = e^{x}\), \(v(x) = x\), donc \(u(x) = e^{x}\), \(v'(x) = 1\).
IX.5 — Applications : aires et volumes
Méthode — Aire entre deux courbes
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine compris entre les deux courbes est \(\displaystyle\int_{a}^{b}\big(f(x) - g(x)\big)\,dx\) u.a. Si les courbes se croisent, découper avec Chasles aux points d'intersection.
Exemple — Aire
Aire entre \(y = \sqrt{x}\) et \(y = x^{2}\) sur \([0\,;1]\) (\(\sqrt{x} \ge x^{2}\) sur cet intervalle) :
Volume d'un solide de révolution
Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine sous la courbe de \(f\) (continue, positive) entre \(x = a\) et \(x = b\) a pour volume, en unités de volume :
Exemple — Volume de la sphère
La rotation du demi-cercle \(f(x) = \sqrt{R^{2}-x^{2}}\) sur \([-R\,;R]\) engendre la sphère de rayon \(R\) :
Cadre du programme
L'intégrale de Riemann et le changement de variable sont hors programme : tous les calculs se font par primitives, formes \(u'\cdot(\ldots)\) et intégration par parties.
L'essentiel pour le Bac
- \(\displaystyle\int_{a}^{b} f = F(b) - F(a)\) ; aire sous la courbe si \(f \ge 0\) et \(a \le b\).
- Linéarité, Chasles, positivité et croissance (bornes dans le bon sens), \(\left|\int f\right| \le \int |f|\).
- Valeur moyenne \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f\) ; encadrée par \(m\) et \(M\).
- IPP : \(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\) ; dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
- Aire entre courbes : \(\displaystyle\int (f-g)\) avec \(f \ge g\) ; volume de révolution : \(V = \pi\displaystyle\int f^{2}\).
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