Transformations, Probabilités & Courbes planes
Isométries & similitudes · Probabilités · Courbes paramétrées & Coniques
Probabilités
Probabilités
Probabilités conditionnelles, indépendance, variables aléatoires, espérance et variance, schéma de Bernoulli et loi binomiale.
📋 Sommaire du Chapitre
X.1 — Rappels : probabilité et équiprobabilité
Probabilité
Sur un univers fini \(\Omega\), une probabilité \(P\) associe à chaque événement \(A\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\) avec \(P(\Omega) = 1\) et, pour \(A\) et \(B\) incompatibles, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Équiprobabilité
Lorsque tous les issues de \(\Omega\) ont la même probabilité :
Rappel de dénombrement : le nombre de façons de choisir \(k\) objets parmi \(n\) (sans ordre) est \(C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
X.2 — Probabilités conditionnelles et indépendance
Définition
Pour \(P(B) \neq 0\), la probabilité de \(A\) sachant \(B\) est :
Méthode — Arbre pondéré et probabilités totales
Sur un arbre : chaque branche porte une probabilité (conditionnelle après le premier niveau) ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent (formule des probabilités totales, appliquée sur exemples).
Exemple — Tirages sans remise
Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire successivement
2 boules sans remise. Notons \(R_{i}\) : « la \(i\)-ième boule est rouge ».
\(P(R_{1} \cap R_{2}) = P(R_{1}) \times P_{R_{1}}(R_{2})
= \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}\).
Probabilités totales :
\(P(R_{2}) = P(R_{1})P_{R_{1}}(R_{2}) + P(\bar{R}_{1})P_{\bar{R}_{1}}(R_{2})
= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{4}
= \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{5}\).
Indépendance
\(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque :
Cadre du programme
Les probabilités conditionnelles sont traitées sur des exemples ; la formule de Bayes est hors programme en série C.
X.3 — Variable aléatoire : loi, espérance, variance
Définitions
Une variable aléatoire \(X\) associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). Sa loi de probabilité est la donnée des \(p_{i} = P(X = x_{i})\) pour chaque valeur \(x_{i}\) prise par \(X\) (avec \(\sum p_{i} = 1\)). Sa fonction de répartition est \(F(x) = P(X \le x)\), fonction en escalier croissante de \(0\) à \(1\).
Espérance, variance, écart-type
Pour \(a, b\) réels : \(E(aX + b) = a\,E(X) + b\) et \(V(aX+b) = a^{2}V(X)\).
Exemple
\(X\) prend les valeurs \(0, 1, 2\) avec les probabilités
\(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\).
\(E(X) = 0 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = 1\).
\(E(X^{2}) = 0 + \dfrac{1}{2} + 4 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}\), donc
\(V(X) = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}\) et
\(\sigma(X) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\).
X.4 — Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : succès (probabilité \(p\)) et échec (probabilité \(q = 1 - p\)). Un schéma de Bernoulli est la répétition de \(n\) épreuves identiques et indépendantes.
Théorème — Loi binomiale \(\mathcal{B}(n\,;p)\)
Si \(X\) compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\), alors pour tout \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) :
Exemple
Un basketteur réussit chaque lancer franc avec la probabilité \(p = 0{,}7\).
Il tire \(n = 3\) fois. \(X\) = nombre de réussites suit \(\mathcal{B}(3\,;0{,}7)\).
\(P(X = 2) = C_{3}^{2}\,(0{,}7)^{2}(0{,}3)^{1} = 3 \times 0{,}49 \times 0{,}3
= 0{,}441\).
\(E(X) = 3 \times 0{,}7 = 2{,}1\) réussites en moyenne.
\(E(X) = np = 2\)
Piège
La loi binomiale exige l'indépendance des épreuves (tirages avec remise ou épreuves séparées). Pour des tirages sans remise, revenir à l'arbre pondéré et aux probabilités conditionnelles.
L'essentiel pour le Bac
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) ; équiprobabilité : cas favorables / cas possibles.
- \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) ; arbre : produit sur un chemin, somme des chemins ; indépendance : \(P(A\cap B) = P(A)P(B)\).
- Loi de \(X\), \(E(X) = \sum x_{i}p_{i}\), \(V(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}\), \(\sigma = \sqrt{V}\) ; \(F(x) = P(X \le x)\).
- Binomiale : \(P(X=k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}\), \(E = np\), \(V = npq\) — vérifier l'indépendance des épreuves.
Transformations et configurations
Transformations et configurations
Isométries du plan, écritures complexes des transformations usuelles et similitudes directes : éléments caractéristiques et détermination pratique.
📋 Sommaire du Chapitre
XI.1 — Isométries du plan
Définition
Une isométrie du plan est une transformation qui conserve les distances : \(f(M)f(N) = MN\) pour tous points \(M, N\). Les isométries conservent l'alignement, les milieux, les angles géométriques, les aires et transforment droites en droites, cercles en cercles de même rayon.
Classification
Les déplacements (conservent les angles orientés) sont les translations et les rotations. Les antidéplacements (changent les angles orientés en leurs opposés) sont les réflexions (symétries axiales) et les symétries glissées.
Composées de réflexions
La composée de deux réflexions d'axes parallèles est une translation (de vecteur perpendiculaire aux axes, de norme double de leur distance). La composée de deux réflexions d'axes sécants en \(O\) est une rotation de centre \(O\), d'angle le double de l'angle entre les axes.
XI.2 — Écritures complexes des transformations usuelles
Formulaire (plan complexe, \(M(z) \mapsto M'(z')\))
Exemple
La rotation de centre \(\Omega(1+i)\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) s'écrit
\(z' = i(z - 1 - i) + 1 + i = iz + (1+i) - i(1+i) = iz + 2\).
Vérification : \(\Omega\) est bien fixe : \(i(1+i) + 2 = i - 1 + 2 = 1 + i\). ✓
XI.3 — Similitudes directes
Définition et écriture complexe
Une similitude directe est une transformation qui multiplie les distances par un réel \(k > 0\) (le rapport) et conserve les angles orientés. Ce sont exactement les transformations d'écriture complexe :
Éléments caractéristiques
Pour \(s : z' = az + b\) :
- Rapport : \(k = |a|\) ; angle : \(\theta = \arg a\).
- Si \(a = 1\) : \(s\) est la translation de vecteur d'affixe \(b\).
-
Si \(a \neq 1\) : \(s\) admet un unique point fixe, le centre
\(\Omega\) d'affixe :\[ \omega = \frac{b}{1 - a}. \]\(s\) est alors la composée (commutative) de la rotation de centre \(\Omega\) d'angle \(\theta\) et de l'homothétie de centre \(\Omega\) de rapport \(k\).
Propriétés
Une similitude directe de rapport \(k\) transforme : une droite en une droite, un cercle de rayon \(r\) en un cercle de rayon \(kr\), un segment de longueur \(\ell\) en un segment de longueur \(k\ell\) ; elle multiplie les aires par \(k^{2}\), conserve les angles orientés, le parallélisme, l'orthogonalité et les barycentres.
Exemple
Caractériser \(s : z' = (1+i)z + 2\).
Rapport : \(k = |1+i| = \sqrt{2}\) ; angle : \(\theta = \arg(1+i) = \dfrac{\pi}{4}\).
Centre : \(\omega = \dfrac{2}{1-(1+i)} = \dfrac{2}{-i} = 2i\).
\(s\) est la similitude directe de centre \(\Omega(2i)\), de rapport \(\sqrt{2}\)
et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\).
image par \(z \mapsto (1+i)z\)
rayons issus de \(O\)
XI.4 — Détermination pratique d'une similitude
Méthode — Similitude définie par deux points et leurs images
Il existe une unique similitude directe envoyant \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\) (\(A \neq B\), \(A' \neq B'\)). Son écriture \(z' = az + b\) se détermine par :
Le rapport est \(k = |a| = \dfrac{A'B'}{AB}\) et l'angle \(\theta = \arg a = \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\right)\).
Méthode — Rédaction type Bac
- Écrire \(z' = az + b\) et identifier \(a\) (deux points ou données de l'énoncé).
- Calculer \(k = |a|\) et \(\theta = \arg a\) (forme trigonométrique, chapitre IV).
- Si \(a \neq 1\), calculer le centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\).
- Conclure : « similitude directe de centre \(\Omega\), de rapport \(k\), d'angle \(\theta\) ».
XI.5 — Vers l'espace
Isométries usuelles de l'espace
Dans l'espace, les isométries usuelles sont : les translations, les rotations autour d'un axe, les réflexions par rapport à un plan et leurs composées. Elles conservent les distances, donc l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les aires et les volumes.
Cadre du programme
Les similitudes indirectes (écriture \(z' = a\bar{z} + b\)) sont hors programme en série C : seules les similitudes directes sont exigibles.
L'essentiel pour le Bac
- Isométries : déplacements (translations, rotations) et antidéplacements (réflexions, symétries glissées).
- Rotation : \(z' - \omega = e^{i\theta}(z-\omega)\) ; homothétie : \(z' - \omega = k(z-\omega)\).
- Similitude directe \(z' = az + b\) : rapport \(|a|\), angle \(\arg a\), centre \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) si \(a \neq 1\).
- Deux points et leurs images : \(a = \dfrac{z_{B'}-z_{A'}}{z_{B}-z_{A}}\), puis \(b = z_{A'} - az_{A}\).
- Une similitude de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(k\) et les aires par \(k^{2}\).
Courbes planes : paramétrées et coniques
Courbes planes : paramétrées et coniques
Courbes paramétrées (vecteur dérivé, tangente, plan d'étude) et coniques définies par foyer, directrice et excentricité : parabole, ellipse, hyperbole.
📋 Sommaire du Chapitre
XII.1 — Courbes paramétrées
Définition
Une courbe paramétrée est l'ensemble des points \(M(t)\big(x(t)\,;y(t)\big)\) lorsque \(t\) décrit un intervalle \(I\), où \(x\) et \(y\) sont des fonctions de \(t\). Le vecteur dérivé en \(t\) est \(\vec{V}(t)\big(x'(t)\,;y'(t)\big)\) : s'il est non nul, il dirige la tangente à la courbe au point \(M(t)\).
Méthode — Plan d'étude
- Domaine d'étude (réduction éventuelle par périodicité ou symétries).
- Variations conjointes de \(x(t)\) et \(y(t)\) (tableau à deux lignes).
- Points remarquables : \(x'(t) = 0\) (tangente verticale), \(y'(t) = 0\) (tangente horizontale).
- Tracé point par point en suivant le sens de parcours.
Exemple
\(x(t) = t^{2}\), \(y(t) = 2t\), \(t \in \mathbb{R}\).
En éliminant \(t = \dfrac{y}{2}\) : \(x = \dfrac{y^{2}}{4}\), soit
\(y^{2} = 4x\) : la courbe est une parabole (voir §3, avec \(p = 2\)).
Vecteur dérivé : \(\vec{V}(t)(2t\,;2)\), jamais nul ;
en \(t = 0\) (sommet \(O\)), \(\vec{V}(0)(0\,;2)\) est vertical : la tangente
au sommet est l'axe \((Oy)\).
XII.2 — Coniques : définition par foyer et directrice
Définition
Soit \(F\) un point (le foyer), \(\mathcal{D}\) une droite ne contenant pas \(F\) (la directrice) et \(e > 0\) (l'excentricité). La conique associée est l'ensemble des points \(M\) tels que :
- \(e = 1\) : parabole ;
- \(0 < e < 1\) : ellipse ;
- \(e > 1\) : hyperbole.
Cadre du programme
La génération bifocale (\(MF + MF' = 2a\) pour l'ellipse, \(|MF - MF'| = 2a\) pour l'hyperbole) peut être mentionnée mais n'est pas exigible au Bac C.
XII.3 — La parabole
Équation réduite
Dans un repère adapté (sommet à l'origine, axe focal \((Ox)\), \(p > 0\)) :
Sommet \(O\), axe de symétrie \((Ox)\), excentricité \(e = 1\). Le réel \(p\) est le paramètre de la parabole.
Exemple
\(y^{2} = 4x\) : ici \(2p = 4\), donc \(p = 2\), foyer \(F(1\,;0)\) et directrice \(x = -1\). C'est la courbe paramétrée du §1.
XII.4 — L'ellipse
Équation réduite (\(a > b > 0\))
Foyers \(F(c\,;0)\) et \(F'(-c\,;0)\) ; directrices \(x = \pm\dfrac{a^{2}}{c}\) ; sommets \((\pm a\,;0)\) et \((0\,;\pm b)\) ; \(a\) demi-grand axe, \(b\) demi-petit axe ; deux axes de symétrie.
Paramétrage de l'ellipse (exigible)
Vérification : \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1\). C'est le seul paramétrage exigible au programme.
Exemple et illustration
\(\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\) : \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = \sqrt{9-4} = \sqrt{5}\), \(e = \dfrac{\sqrt{5}}{3} \approx 0{,}75\), foyers \((\pm\sqrt{5}\,;0)\).
foyers \(F, F'(\pm\sqrt{5}\,;0)\)
XII.5 — L'hyperbole
Équation réduite
Foyers \((\pm c\,;0)\) ; sommets \((\pm a\,;0)\) ; deux branches ; asymptotes :
Exemple
\(\dfrac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1\) : \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = \sqrt{5}\), \(e = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\), asymptotes \(y = \pm\dfrac{x}{2}\), sommets \((\pm 2\,;0)\).
Méthode — Identifier une conique
- Mettre l'équation sous forme réduite (regroupements, mise au même dénominateur).
- Signes des termes : \(+/+\) ellipse (cercle si \(a = b\)), \(+/-\) hyperbole, un seul carré : parabole.
- Calculer \(c\), \(e\), foyers, sommets, asymptotes (hyperbole) ou directrice (parabole).
L'essentiel pour le Bac
- Courbe paramétrée : \(\vec{V}(t)(x'(t)\,;y'(t))\) dirige la tangente ; tableau de variations conjoint.
- Conique : \(MF = e \cdot MH\) ; \(e = 1\) parabole, \(e < 1\) ellipse, \(e > 1\) hyperbole.
- Parabole \(y^{2} = 2px\) : foyer \((p/2\,;0)\), directrice \(x = -p/2\).
- Ellipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\) : \(c^{2} = a^{2}-b^{2}\), \(e = c/a\) ; paramétrage \((a\cos t\,;b\sin t)\).
- Hyperbole \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\) : \(c^{2} = a^{2}+b^{2}\), asymptotes \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\).
🤖 Besoin d'aide sur ce chapitre ?
Le tuteur IA répond à vos questions 24h/24 et explique chaque étape.
· 3 questions gratuites/jour · Illimité en Premium