📐 Partie 5 sur 5 · Vecteurs & Statistiques

Calcul vectoriel, Stats à 2 variables & Matrices

Barycentre · Produit vectoriel · Ajustement affine · Matrices (non exigibles au Bac)

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XIII

Calcul vectoriel et configurations

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📐 Terminale C · Mathématiques · Chapitre XIII

Calcul vectoriel et configurations

Barycentre, produit scalaire et projection, lignes de niveau, produit vectoriel et cocyclicité : la boîte à outils géométrique du Bac C.

Barycentre Produit vectoriel Cocyclicité

📋 Sommaire du Chapitre

  1. Barycentre
  2. Produit scalaire et projection orthogonale
  3. Lignes de niveau
  4. Produit vectoriel
  5. Cocyclicité

XIII.1 — Barycentre

Définition

Soient \((A_{1}, a_{1}), \ldots, (A_{n}, a_{n})\) des points pondérés avec \(a_{1} + \cdots + a_{n} \neq 0\). Le barycentre \(G\) du système est l'unique point vérifiant :

\[ a_{1}\overrightarrow{GA_{1}} + \cdots + a_{n}\overrightarrow{GA_{n}} = \vec{0}. \]

Si tous les coefficients sont égaux, \(G\) est l'isobarycentre (milieu pour deux points, centre de gravité pour un triangle).

Propriétés

\[ \text{Réduction : pour tout point } M,\quad \sum_{i} a_{i}\overrightarrow{MA_{i}} = \Big(\sum_{i} a_{i}\Big)\overrightarrow{MG} \] \[ \text{Coordonnées : } x_{G} = \frac{\sum a_{i}x_{A_{i}}}{\sum a_{i}}, \qquad y_{G} = \frac{\sum a_{i}y_{A_{i}}}{\sum a_{i}}. \]
  • Homogénéité : multiplier tous les coefficients par \(k \neq 0\) ne change pas \(G\).
  • Associativité : on peut remplacer un sous-système par son barycentre partiel affecté de la somme de ses coefficients.

Exemple

\(G\) barycentre de \((A, 2)\), \((B, 1)\) : \(2\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}\), donc \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est au tiers de \([AB]\) à partir de \(A\).

XIII.2 — Produit scalaire et projection orthogonale

Expressions du produit scalaire

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right) = xx' + yy' \ (+\,zz' \text{ dans l'espace}) = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} - \|\vec{u}\|^{2} - \|\vec{v}\|^{2}\right). \]

Projection orthogonale

Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\), alors :

\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} = \pm\,AB \times AH. \]

(signe \(+\) si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont de même sens). La projection est l'outil de calcul le plus efficace quand un angle droit apparaît dans la figure.

XIII.3 — Lignes de niveau

Théorème de la médiane et applications

Pour \(A, B\) fixés et \(I\) milieu de \([AB]\) :

\[ MA^{2} + MB^{2} = 2MI^{2} + \frac{AB^{2}}{2} \qquad\qquad \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^{2} - \frac{AB^{2}}{4}. \]

Méthode — Ensembles de points

  • \(MA^{2} + MB^{2} = k\) : équivaut à \(MI^{2} = \dfrac{k}{2} - \dfrac{AB^{2}}{4}\) : cercle de centre \(I\) (si le second membre est > 0), le point \(I\) (si nul), l'ensemble vide (si < 0).
  • \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) : \(MI = \dfrac{AB}{2}\) : cercle de diamètre \([AB]\).
  • \(a\,MA^{2} + b\,MB^{2} = k\) (\(a + b \neq 0\)) : introduire le barycentre \(G\) de \((A, a), (B, b)\) et réduire avec \(\sum a_{i}\overrightarrow{MA_{i}} = (\sum a_{i})\overrightarrow{MG}\).

Illustration

cercle de diamètre \([AB]\)
\(M\) : \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\)
\(I\) milieu de \([AB]\)

XIII.4 — Produit vectoriel

Définition (espace orienté)

Le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est le vecteur : nul si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires ; sinon, orthogonal à \(\vec{u}\) et à \(\vec{v}\), tel que la base \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{u}\wedge\vec{v})\) soit directe, de norme :

\[ \|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\big|\sin\left(\vec{u},\vec{v}\right)\big|. \]

Propriétés et coordonnées

Antisymétrie : \(\vec{v}\wedge\vec{u} = -\,\vec{u}\wedge\vec{v}\) ; bilinéarité. Dans une base orthonormée directe, pour \(\vec{u}(x\,;y\,;z)\) et \(\vec{v}(x'\,;y'\,;z')\) :

\[ \vec{u}\wedge\vec{v} = \big(yz' - zy'\ ;\ zx' - xz'\ ;\ xy' - yx'\big). \]

Applications : \(\vec{u}\wedge\vec{v} = \vec{0} \iff\) colinéarité ; aire du triangle \(ABC = \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\) ; \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est un vecteur normal au plan \((ABC)\).

Exemple

\(A(1\,;0\,;0)\), \(B(0\,;1\,;0)\), \(C(0\,;0\,;1)\) : \(\overrightarrow{AB}(-1\,;1\,;0)\), \(\overrightarrow{AC}(-1\,;0\,;1)\).
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \big(1\times1 - 0\times0\ ;\ 0\times(-1) - (-1)\times1\ ;\ (-1)\times0 - 1\times(-1)\big) = (1\,;1\,;1)\).
Aire de \(ABC\) : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{1+1+1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; le plan \((ABC)\) admet \(\vec{n}(1\,;1\,;1)\) pour vecteur normal.

XIII.5 — Cocyclicité

Théorème de l'angle inscrit

Dans un cercle, l'angle au centre vaut le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Deux angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

Critère de cocyclicité

Quatre points distincts \(A, B, C, D\) sont cocycliques ou alignés si et seulement si :

\[ \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right) \ [\pi]. \]

Lien avec les complexes

En termes d'affixes, ce critère se traduit par : \(\dfrac{z_{A}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}} \div \dfrac{z_{A}-z_{D}}{z_{B}-z_{D}} \in \mathbb{R}^{*}\) (chapitre V : les arguments des deux quotients sont égaux modulo \(\pi\)).

Exemple — Cas particulier du cercle de diamètre

Si \(\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\) pour tout point \(M\) d'un ensemble, ces points sont sur le cercle de diamètre \([AB]\) : c'est la ligne de niveau \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) du §3, vue sous l'angle des angles inscrits (l'angle droit est inscrit dans le demi-cercle).

L'essentiel pour le Bac

  • Barycentre : \(\sum a_{i}\overrightarrow{GA_{i}} = \vec{0}\) ; réduction \(\sum a_{i}\overrightarrow{MA_{i}} = (\sum a_{i})\overrightarrow{MG}\) ; homogénéité et associativité.
  • Théorème de la médiane : \(MA^{2}+MB^{2} = 2MI^{2} + \dfrac{AB^{2}}{2}\) ; \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = MI^{2} - \dfrac{AB^{2}}{4}\).
  • \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\) : cercle de diamètre \([AB]\).
  • Produit vectoriel : \(\|\vec{u}\wedge\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\||\sin|\) ; aire du triangle \(= \dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|\) ; vecteur normal au plan.
  • Cocyclicité : \(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) \equiv \left(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB}\right)\ [\pi]\).
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XIV

Statistiques à deux variables

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📐 Terminale C · Mathématiques · Chapitre XIV

Statistiques à deux variables

Série statistique double, nuage de points, ajustement affine par la méthode de Mayer et par les moindres carrés, coefficient de corrélation linéaire.

Nuage de points Moindres carrés Corrélation

📋 Sommaire du Chapitre

  1. Série double, nuage et point moyen
  2. Ajustement affine : méthode de Mayer
  3. Ajustement par les moindres carrés
  4. Coefficient de corrélation linéaire
  5. Exemple complet

XIV.1 — Série double, nuage et point moyen

Définition

Une série statistique double est une liste de \(n\) couples \((x_{i}\,;y_{i})\) : à chaque individu on associe deux caractères quantitatifs \(x\) et \(y\). Le nuage de points est l'ensemble des points \(M_{i}(x_{i}\,;y_{i})\) dans un repère.

Point moyen

Le point moyen du nuage est le point \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\) où :

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i} \qquad\qquad \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}. \]

Toute droite d'ajustement obtenue par les méthodes ci-dessous passe par \(G\).

XIV.2 — Ajustement affine : méthode de Mayer

Méthode — Droite de Mayer

  1. Ranger les points par abscisses croissantes et partager le nuage en deux sous-nuages de même effectif (ou presque) : le « bas » et le « haut ».
  2. Calculer les points moyens \(G_{1}(\bar{x}_{1}\,;\bar{y}_{1})\) et \(G_{2}(\bar{x}_{2}\,;\bar{y}_{2})\) de chaque sous-nuage.
  3. La droite de Mayer est la droite \((G_{1}G_{2})\). Elle passe par le point moyen global \(G\).
\[ \text{pente : } a = \frac{\bar{y}_{2} - \bar{y}_{1}}{\bar{x}_{2} - \bar{x}_{1}} \qquad \text{ordonnée à l'origine : } b = \bar{y} - a\bar{x}. \]

Remarque

La méthode de Mayer est rapide et se fait à la main, mais elle dépend du découpage choisi. La méthode des moindres carrés (§3) donne, elle, une droite unique et optimale.

XIV.3 — Ajustement par les moindres carrés

Covariance et variances

\[ \operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} - \bar{x}\,\bar{y} \] \[ V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} - \bar{x}^{2} \qquad V(y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2} - \bar{y}^{2}. \]

Droite de régression de \(y\) en \(x\)

La droite des moindres carrés de \(y\) en \(x\) minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Son équation est \(y = ax + b\) avec :

\[ a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\bar{x}. \]

Cette droite passe par le point moyen \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\).

Remarque — Droite de \(x\) en \(y\)

Il existe symétriquement une droite de régression de \(x\) en \(y\), d'équation \(x = a'y + b'\) avec \(a' = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(y)}\). Les deux droites se coupent en \(G\) ; elles coïncident lorsque l'ajustement est parfait.

XIV.4 — Coefficient de corrélation linéaire

Définition

\[ r = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_{x}\,\sigma_{y}} = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)\,V(y)}}. \]

Interprétation

  • \(-1 \le r \le 1\) toujours.
  • \(r > 0\) : corrélation positive (nuage croissant) ; \(r < 0\) : négative.
  • Plus \(|r|\) est proche de \(1\), meilleur est l'ajustement affine ; on considère généralement l'ajustement acceptable si \(|r| \ge 0{,}87\) (soit \(r^{2} \ge 0{,}75\)).
  • \(|r| = 1\) : les points sont exactement alignés.

XIV.5 — Exemple complet

Données

\(x_{i}\) : \(1, 2, 3, 4, 5\) ; \(y_{i}\) : \(2, 3, 5, 6, 9\) (\(n = 5\)).
\(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3\) ; \(\bar{y} = \dfrac{2+3+5+6+9}{5} = 5\).

Moindres carrés

\(\sum x_{i}y_{i} = 2 + 6 + 15 + 24 + 45 = 92\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = \dfrac{92}{5} - 3 \times 5 = 18{,}4 - 15 = 3{,}4\).
\(\sum x_{i}^{2} = 1+4+9+16+25 = 55\), donc \(V(x) = \dfrac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2\).
\(a = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)} = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7\) ; \(b = \bar{y} - a\bar{x} = 5 - 1{,}7 \times 3 = -0{,}1\).
Droite de régression : \(y = 1{,}7\,x - 0{,}1\).

Corrélation

\(\sum y_{i}^{2} = 4+9+25+36+81 = 155\), donc \(V(y) = \dfrac{155}{5} - 25 = 31 - 25 = 6\).
\(r = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{2 \times 6}} = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{12}} \approx 0{,}98\).
\(|r| \approx 0{,}98\) très proche de \(1\) : l'ajustement affine est excellent.

nuage \((x_{i}\,;y_{i})\)
droite \(y = 1{,}7x - 0{,}1\)
point moyen \(G(3\,;5)\)

Comparaison — droite de Mayer

Sous-nuage bas \(\{(1;2),(2;3)\}\) : \(G_{1}(1{,}5\,;2{,}5)\).
Sous-nuage haut \(\{(4;6),(5;9)\}\) : \(G_{2}(4{,}5\,;7{,}5)\) (le point médian \((3;5)\) est écarté, effectifs égaux).
Pente \(a = \dfrac{7{,}5 - 2{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\), proche du \(1{,}7\) des moindres carrés. La droite \((G_{1}G_{2})\) passe bien par \(G(3\,;5)\).

L'essentiel pour le Bac

  • Point moyen \(G(\bar{x}\,;\bar{y})\) ; toute droite d'ajustement passe par \(G\).
  • Mayer : deux sous-nuages, \(G_{1}\) et \(G_{2}\), droite \((G_{1}G_{2})\).
  • \(\operatorname{cov}(x,y) = \dfrac{1}{n}\sum x_{i}y_{i} - \bar{x}\bar{y}\) ; \(V(x) = \dfrac{1}{n}\sum x_{i}^{2} - \bar{x}^{2}\).
  • Moindres carrés (\(y\) en \(x\)) : \(a = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\bar{x}\).
  • \(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)V(y)}}\), \(-1 \le r \le 1\) ; ajustement d'autant meilleur que \(|r|\) proche de \(1\).
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XV

Matrices

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📐 Terminale C · Mathématiques · Chapitre XV

Matrices

Définitions, opérations, produit matriciel, déterminant et inverse d'une matrice carrée d'ordre 2, résolution matricielle d'un système linéaire.

Produit matriciel Déterminant Systèmes linéaires

À lire avant de commencer

Les matrices figurent au programme officiel de Terminale C, mais elles sont non exigibles à l'épreuve du Baccalauréat. Ce chapitre est donc un approfondissement : il consolide le calcul et prépare aux études supérieures, sans être évalué au Bac.

📋 Sommaire du Chapitre

  1. Définitions
  2. Opérations sur les matrices
  3. Déterminant et inverse (ordre 2)
  4. Résolution d'un système linéaire

XV.1 — Définitions

Définition

Une matrice de dimension \(m \times n\) est un tableau de \(m\) lignes et \(n\) colonnes de nombres réels. La matrice est carrée d'ordre \(n\) si \(m = n\). On note \(a_{ij}\) le coefficient situé à la ligne \(i\), colonne \(j\).

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \qquad (\text{matrice carrée d'ordre } 2). \]

Matrice identité

La matrice identité d'ordre 2 est \(I_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Elle vérifie \(A I_{2} = I_{2} A = A\) pour toute matrice carrée \(A\) d'ordre 2 : elle joue le rôle du nombre \(1\) pour le produit matriciel.

XV.2 — Opérations sur les matrices

Somme et produit par un réel

La somme se fait terme à terme (matrices de même dimension) ; le produit par un réel \(\lambda\) multiplie chaque coefficient :

\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix} \qquad \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}. \]

Produit matriciel (ordre 2)

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix}. \]

Chaque coefficient du produit est la somme des produits « ligne de gauche par colonne de droite ».

Piège — Non-commutativité

En général \(AB \neq BA\) : l'ordre des facteurs compte. Par exemple, avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), on trouve \(AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) mais \(BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

XV.3 — Déterminant et inverse (ordre 2)

Déterminant

Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 est le réel :

\[ \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. \]

Inverse

\(A\) est inversible si et seulement si \(\det A \neq 0\). Son inverse est alors :

\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \qquad\text{et } A A^{-1} = A^{-1} A = I_{2}. \]

Exemple

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) : \(\det A = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0\), donc \(A\) est inversible et

\[ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]

Vérification : \(A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_{2}\). ✓

XV.4 — Résolution d'un système linéaire

Méthode — Écriture matricielle

Un système linéaire de deux équations à deux inconnues se met sous la forme :

\[ \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \iff A X = B, \quad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}. \]

Si \(\det A \neq 0\), le système admet une solution unique : \(X = A^{-1} B\).

Exemple

Résoudre \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\).
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(\det A = 1\), \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) (voir §3).

\[ X = A^{-1} B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ -5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Solution : \((x\,;y) = (2\,;1)\). Vérification : \(2(2)+1 = 5\) ✓ et \(2+1 = 3\) ✓.

L'essentiel (approfondissement, non exigible au Bac)

  • Matrice carrée d'ordre 2, identité \(I_{2}\) neutre pour le produit.
  • Somme terme à terme ; produit matriciel « ligne par colonne » ; \(AB \neq BA\) en général.
  • \(\det A = ad - bc\) ; \(A\) inversible \(\iff \det A \neq 0\).
  • \(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
  • Système \(AX = B\) avec \(\det A \neq 0\) : solution unique \(X = A^{-1}B\).
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