Terminale S2-S4-S5 · Leçon 6
Probabilités
Exercices corrigés
Probabilités classiques — événements et diagramme de Venn
Exercice 3 — Probabilités et événements
On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes.
Soit $A$ = "obtenir un as" et $B$ = "obtenir un cœur".
1. $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$. 2. $P(A\cup B)$ par la formule d'inclusion-exclusion. 3. $P(\bar{A})$, $P(\bar{B})$. 4. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Voir le corrigé
- $P(A)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$ · $P(B)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$ · $P(A\cap B)=\dfrac{1}{52}$ (as de cœur).
- $P(A\cup B)=\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{52}=\dfrac{4+13-1}{52}=\boxed{\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}}$
- $P(\bar{A})=\dfrac{48}{52}=\dfrac{12}{13}$ · $P(\bar{B})=\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$
- $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{13}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{52}=P(A\cap B)$ → $A$ et $B$ sont indépendants. ✓
Probabilités conditionnelles — formule de Bayes
Exercice 4 — Test médical et formule de Bayes
Une maladie touche 1% de la population ($P(M)=0{,}01$). Un test détecte la maladie avec :
$P(+|M)=0{,}99$ (sensibilité) · $P(-|\bar{M})=0{,}95$ (spécificité), donc $P(+|\bar{M})=0{,}05$.
1. Compléter l'arbre des probabilités.
2. $P(+)$ par la loi des probabilités totales.
3. $P(M|+)$ par la formule de Bayes — commenter.
Voir le corrigé
- Arbre : $M$ (0,01) → $+$ (0,99) : proba $0{,}0099$ · $M$ → $-$ (0,01) : proba $0{,}0001$
$\bar{M}$ (0,99) → $+$ (0,05) : proba $0{,}0495$ · $\bar{M}$ → $-$ (0,95) : proba $0{,}9405$ - $P(+)=P(+|M)\cdot P(M)+P(+|\bar{M})\cdot P(\bar{M})=0{,}0099+0{,}0495=\boxed{0{,}0594}$
- $P(M|+)=\dfrac{P(+|M)\cdot P(M)}{P(+)}=\dfrac{0{,}0099}{0{,}0594}\approx\boxed{16{,}7\%}$
Remarque : même avec un test très fiable, si la maladie est rare, un résultat positif ne signifie la maladie que dans ~17% des cas (paradoxe de Bayes).
Variable aléatoire discrète — espérance et variance
Exercice 5 — Jeu de dés
On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ = valeur absolue de la différence des faces.
1. Dresser le tableau de la loi de $X$ (valeurs de 0 à 5).
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.
3. Le jeu est-il équitable si on gagne $X$ FCFA par lancé et qu'on paye 2 FCFA pour jouer ?
Voir le corrigé
- $|\Omega|=36$. Nombre de façons d'obtenir chaque différence :
$X=0$ : 6 cas · $X=1$ : 10 cas · $X=2$ : 8 cas · $X=3$ : 6 cas · $X=4$ : 4 cas · $X=5$ : 2 cas.
$$P(X=k)=\frac{2(6-k)}{36}=\frac{6-k}{18}\text{ pour }k=0,\ldots,5$$ - $E(X)=0\cdot\frac{6}{36}+1\cdot\frac{10}{36}+2\cdot\frac{8}{36}+3\cdot\frac{6}{36}+4\cdot\frac{4}{36}+5\cdot\frac{2}{36}=\frac{70}{36}\approx\boxed{1{,}94}$
$E(X^2)=\frac{0+10+32+54+64+50}{36}=\frac{210}{36}\approx5{,}83$ · $V(X)\approx5{,}83-1{,}94^2\approx\boxed{2{,}07}$ - Gain net $= X-2$. $E(\text{gain})=E(X)-2\approx1{,}94-2=-0{,}06<0$ → le jeu est défavorable au joueur.
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ — calculs et graphique
Exercice 6 — Loi binomiale
$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$
Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.
1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses. 2. $P(X=3)$. 3. $P(X\geq6)$. 4. $E(X)$ et $V(X)$. 5. Tracer la loi.
Loi des grands nombres — fréquences et convergence
Exercice 7 — Loi des grands nombres
On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.
1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?
2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.
3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?
Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ — théorème central limite
Exercice 8 — Loi normale et intervalle de confiance
Les notes au Bac d'une grande ville suivent une loi normale $\mathcal{N}(11,2{,}5^2)$.
1. Courbe de densité. Interprétation de $\mu=11$ et $\sigma=2{,}5$.
2. Calculer $P(8{,}5\leq X\leq13{,}5)$ (règle des 68%). Interpréter.
3. Quelle fraction d'élèves a une note entre 6 et 16 (règle des 95%) ?
4. Théorème central limite : si on prend un échantillon de $n=100$ élèves, quelle est la loi approchée de $\bar{X}$ ?
5. Intervalle de confiance à 95% pour $\mu$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.