Terminale S2-S4-S5 · Leçon 7
Nombres complexes
Ce que dit le programme officiel (21 points)
- Définition ; forme algébrique.
- Somme, produit, quotient de deux nombres complexes.
- Conjugué d'un nombre complexe : définition, propriétés.
- module et argument ;
- définition et propriétés.
- Un nombre complexe z est un nombre qui peut s'écrire sous la forme z = a + i b où a et b sont des réels et i un nombre tel que i² = -1
- Notation eiθ = cosθ + i sinθ
- Connaître les différentes formes d'un nombre complexe et leurs notations.
- Connaître et utiliser les propriétés du conjugué.
- Connaître et utiliser les propriétés du module et d'un argument d'un nombre complexe.
- Interprétation géométrique : affixe d'un point, d'un vecteur.
- Applications à l'étude des similitudes planes directes ; éléments caractéristiques.
- Formule de Moivre, racines nièmes d’un réel positif, d’un complexe.
- Résolution d'équations du second degré à coefficients complexes, exemples de factorisation de polynômes.
- Compléments de trigonométrie : exemples d'utilisation des nombres complexes pour établir des formules et pour linéariser des expressions trigonométriques.
- démontrer l'alignement de 3 points.
- comparer des longueurs.
- déterminer la nature d'une configuration géométrique ou d'une transformation géométrique.
- Il s'agit d'étudier des applications du type : M(z) = a M'(a z + b) avec a ≠ 0
- Les formules ainsi obtenues n'ont pas à être mémorisées.
- L’élève doit savoir interpréter le module et l’argument d’un quotient.
Source : Programme de mathématiques, Terminales S2 et S4 (Sénégal)
Nombres complexes : forme algébrique, opérations, puissances de i
Dans \(\mathbb{R}\), \(x^2+1=0\) n’a pas de solution. On définit \(i\) tel que \(i^2=-1\) :
a) \(i^{23}=-i\) b) \(i^{100}=1\) c) \(i^{-1}=-i\)
- \(a=\text{Re}(z)\) : partie réelle \(b=\text{Im}(z)\) : partie imaginaire (réel !)
- Si \(b=0\) : réel pur. Si \(a=0,\,b\neq 0\) : imaginaire pur.
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) — pas \(5i\).
- \(\sqrt{-4}=2i\). En général : \(\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\) pour \(a>0\).
- Toujours remplacer \(i^2=-1\) dans tout calcul.
Avec \(z_1=3+2i\) et \(z_2=1-4i\) : \(z_1+z_2=4-2i\) ; \(z_1 z_2=11-10i\)
Conjugué d'un nombre complexe
Symétrique de \(z\) par rapport à l’axe réel.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Double conjugaison | \(\overline{\bar{z}}=z\) |
| Somme | \(\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}\) |
| Produit | \(\overline{z\cdot z'}=\bar{z}\cdot\bar{z'}\) |
| \(z\cdot\bar{z}\) | \(a^2+b^2=|z|^2\geq 0\) |
Module d'un nombre complexe
Argument et forme trigonométrique
\(|z|=2\), \(\cos\theta=-\frac{1}{2}\), \(\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\theta=\frac{2\pi}{3}\)
\(\cos\theta=-\frac{1}{2}\) seul ne suffit pas. Le signe du sin est indispensable.
Opérations +, −, égalité
Lecture géométrique
Puissances, ×, ÷
- Calculer \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
- Résoudre simultanément \(\cos\theta=a/r\) ET \(\sin\theta=b/r\)
- Écrire \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
1. \(z=1+i\) : \(r=\sqrt{2}\), \(\theta=\pi/4\)
2. \(z=-1+i\sqrt{3}\) : \(r=2\), \(\theta=2\pi/3\)
3. \(z=-\sqrt{3}-i\) : \(r=2\), \(\theta=-5\pi/6\)
4. \(z=2-2i\) : \(r=2\sqrt{2}\), \(\theta=-\pi/4\)
Modules : se multiplient. Arguments : s’additionnent.
Si \(\cos\theta=-1/2\) seul, deux valeurs sont possibles. Le signe de \(\sin\theta\) est obligatoire.
Forme exponentielle et formule d'Euler
Relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).
\(2+2i\sqrt{3}=4e^{i\pi/3}\) \(-i=e^{-i\pi/2}\) \(-2=2e^{i\pi}\)
Plan complexe : affixe, image, distances
À \(z=a+bi\) on associe \(M(a\,;\,b)\). \(M\) est l’image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(M\).
| Objet | Formule |
|---|---|
| Affixe de \(\overrightarrow{AB}\) | \(z_B-z_A\) |
| Distance \(AB\) | \(|z_B-z_A|\) |
| Milieu \(I\) | \(\dfrac{z_A+z_B}{2}\) |
| Centre de gravité \(G\) | \(\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\) |
Écriture complexe des transformations du plan
1. Rotation O, \(\pi/2\), image de \(M(2+i)\) : \(z'=i(2+i)=-1+2i\)
2. Rotation \(\Omega(1+i)\), \(\pi/2\), image de \(M(3)\) : \(z'=i(2-i)+(1+i)=2+3i\)
3. \(z'=(1+i)z+2\) : rapport \(k=\sqrt{2}\), angle \(\pi/4\), centre \(\Omega(2i)\).
Ne pas oublier de soustraire \(\omega\) avant de multiplier par \(e^{i\alpha}\).
Formule de Moivre et linéarisation
1. \((1+i)^6=(\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4}=8e^{i3\pi/2}=-8i\)
2. \((\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{i10\pi/6}=512-512\sqrt{3}\,i\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) \(\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)
Racines n-ièmes de l'unité et d'un complexe
| Cas | Racines |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | Deux réelles \(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) |
| \(\Delta=0\) | Racine double \(-\dfrac{b}{2a}\) |
| \(\Delta<0\) | Deux complexes conjuguées \(\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) |
\(\Delta=-16\) → \(z_1=1+2i\), \(z_2=1-2i\)
Propriété : \(1+j+j^2=0\).
- \(\text{Im}(3+5i)=5\) et non \(5i\)
- Oublier de remplacer \(i^2=-1\) dans un produit
- Déterminer l’argument avec cos seul
- Écrire \(\sqrt{-\Delta}\) au lieu de \(i\sqrt{-\Delta}\)
- Oublier que les racines n-ièmes sont espacées de \(2\pi/n\)
Polynômes à coefficients complexes, factorisation
Un polynôme à coefficients complexes est une expression de la forme \(P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), où les \(a_k \in \mathbb{C}\) et \(a_n \neq 0\). L'entier \(n \geq 0\) est le degré de \(P\), noté \(\deg P\).
Un complexe \(z_0\) est une racine de \(P\) si \(P(z_0) = 0\). Par le théorème de la division euclidienne des polynômes — qui reste valable sur \(\mathbb{C}\) — \(z_0\) est racine de \(P\) si et seulement si \((z - z_0)\) divise \(P(z)\), c'est-à-dire \(P(z) = (z - z_0)\,Q(z)\) pour un certain polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).
Tout polynôme de degré \(n \geq 1\) à coefficients complexes admet exactement \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\), comptées avec leur multiplicité. En particulier, il se factorise complètement :
\[ P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n), \quad z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}. \]Ce résultat est fondamental : il signifie que \(\mathbb{C}\) est algébriquement clos, contrairement à \(\mathbb{R}\) où des polynômes comme \(z^2 + 1\) n'ont aucune racine réelle.
Si \(P\) est un polynôme à coefficients réels et si \(z_0 \in \mathbb{C}\) est une racine de \(P\), alors \(\bar{z}_0\) est aussi une racine de \(P\), avec la même multiplicité.
\[ P(z_0) = 0 \implies P(\bar{z}_0) = 0 \quad \text{(si tous les } a_k \in \mathbb{R}\text{).} \]Conséquence immédiate : un polynôme de degré impair à coefficients réels a toujours au moins une racine réelle. Les racines non réelles viennent donc toujours par paires conjuguées.
On dit que \(z_0\) est racine de multiplicité \(p\) de \(P\) si \((z-z_0)^p\) divise \(P\) mais pas \((z-z_0)^{p+1}\). Pour \(p = 1\) on parle de racine simple, pour \(p = 2\) de racine double. La somme des multiplicités vaut toujours \(n = \deg P\).
Exemple 1. Factorisons \(P(z) = z^3 - 1\). On voit que \(z_0 = 1\) est une racine évidente. La division euclidienne donne \(P(z) = (z-1)(z^2+z+1)\). Le trinôme \(z^2+z+1\) a pour discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\) dans \(\mathbb{R}\), donc ses racines complexes sont \(j = e^{2i\pi/3}\) et \(\bar{j} = e^{-2i\pi/3}\). On obtient ainsi la factorisation complète dans \(\mathbb{C}\) :
\[ z^3 - 1 = (z-1)(z - e^{2i\pi/3})(z - e^{-2i\pi/3}). \]Exemple 2. Soit \(P(z) = z^4 - 4z^2 + 4 = (z^2 - 2)^2\). Les racines de \(z^2 - 2 = 0\) sont \(\sqrt{2}\) et \(-\sqrt{2}\), chacune de multiplicité 2. Ici les racines sont réelles : \(\mathbb{C}\) n'apporte pas de nouvelle racine pour ce polynôme, mais garantit qu'il n'en existe pas d'autres.
Exemple 3 — racines conjuguées. Le polynôme réel \(P(z) = z^3 - 3z + 2\). On vérifie que \(z = 1\) est racine double et \(z = -2\) est racine simple : \(P(z) = (z-1)^2(z+2)\). Toutes les racines sont réelles, ce qui est cohérent.
La stratégie standard en Terminale se déroule en deux temps. D'abord, on cherche une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant (pour un polynôme à coefficients entiers). Ensuite, on effectue la division euclidienne pour abaisser le degré, et on résout le polynôme restant.
Pour un polynôme de degré 4 à coefficients réels, si on connaît une racine complexe \(z_0 = a + ib\) (avec \(b \neq 0\)), on sait que \(\bar{z}_0 = a - ib\) est aussi racine, donc \((z - z_0)(z - \bar{z}_0) = z^2 - 2az + (a^2 + b^2)\) — un facteur réel du second degré — divise le polynôme.
Le théorème d'Alembert-Gauss garantit l'existence des racines dans \(\mathbb{C}\), mais ne les donne pas explicitement. Il ne faut pas confondre « \(P\) a \(n\) racines » (existence) avec « je sais les calculer » (calcul effectif). Pour un polynôme de degré \(\geq 5\) quelconque, il n'existe pas de formule générale : seule l'analyse du problème particulier permet d'avancer.
Pour résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, le calcul des racines carrées d'un complexe quelconque devient indispensable. Pour les degrés supérieurs, la stratégie consiste à réduire progressivement l'équation par factorisation.
On cherche \(z = x + iy\) (\(x, y \in \mathbb{R}\)) tel que \(z^2 = a + ib\). Développer donne le système :
\[ \begin{cases} x^{2} - y^{2} = a \\ 2xy = b \end{cases} \quad \text{complété par} \quad x^{2} + y^{2} = |z^{2}| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}. \]En additionnant et soustrayant les équations extrêmes, on obtient :
\[ x^{2} = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+a}{2}, \qquad y^{2} = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a}{2}. \]Le signe de \(y\) est ensuite imposé par la relation \(2xy = b\) : \(x\) et \(y\) sont de même signe si \(b > 0\), de signes contraires si \(b < 0\). Les deux racines carrées sont toujours opposées : si \(z_0\) est l'une, l'autre est \(-z_0\).
\(|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5\).
\(x^2 = \dfrac{5+3}{2} = 4\) donc \(x = \pm 2\).
\(y^2 = \dfrac{5-3}{2} = 1\) donc \(y = \pm 1\).
Puisque \(2xy = 4 > 0\), \(x\) et \(y\) ont le même signe :
\((x,y) = (2,1)\) ou \((-2,-1)\).
Les deux racines carrées de \(3 + 4i\) sont \(\boldsymbol{\pm(2 + i)}\).
Vérification : \((2+i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i\).
\(|-5+12i| = \sqrt{25+144} = 13\).
\(x^2 = \dfrac{13-5}{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).
\(y^2 = \dfrac{13+5}{2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\).
\(2xy = 12 > 0\) : même signe. Racines : \(\boldsymbol{\pm(2+3i)}\).
Vérification : \((2+3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i\).
Pour un polynôme \(P(z)\) à coefficients entiers, on commence par tester les petits entiers et les diviseurs du terme constant comme racines candidates. Si \(P(z_0) = 0\), on effectue la division euclidienne \(P(z) = (z - z_0)Q(z)\) — ou par identification des coefficients — et l'on résout ensuite le trinôme \(Q(z) = 0\).
Résoudre \(P(z) = z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = 0\).
Test des entiers : \(P(1) = 1 - 3 + 7 - 5 = 0\), donc \(z = 1\) est racine.
Division : \(z^{3} - 3z^{2} + 7z - 5 = (z-1)(z^{2}-2z+5)\) (vérifiable en développant).
Le trinôme \(z^2 - 2z + 5\) a \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) ; ses racines sont \(1 \pm 2i\) (exemple de V.1).
Ensemble solution : \(\mathcal{S} = \{1,\ 1+2i,\ 1-2i\}\).
Résoudre \(z^4 - 3z^2 - 4 = 0\) dans \(\mathbb{C}\).
Substitution \(u = z^2\) : \(u^2 - 3u - 4 = 0\), \(\Delta = 9 + 16 = 25\).
\(u_1 = 4\) et \(u_2 = -1\).
\(z^2 = 4 \Rightarrow z = \pm 2\) (réels).
\(z^2 = -1 \Rightarrow z = \pm i\) (imaginaires purs).
Ensemble solution : \(\mathcal{S} = \{2, -2, i, -i\}\).
Après avoir factorisé \(P(z) = (z - z_0)Q(z)\), il est souvent plus rapide de retrouver \(Q\) par identification des coefficients que par l'algorithme de division. Pour \(z^3 - 3z^2 + 7z - 5\), on pose \((z-1)(z^2 + \alpha z + \beta)\) et on identifie : terme en \(z^2\) donne \(\alpha - 1 = -3\), donc \(\alpha = -2\) ; terme constant donne \(-\beta = -5\), donc \(\beta = 5\). Résultat immédiat.
Racines carrées d'un complexe \(w = a + ib\) dans le plan de Gauss
\(\pm z_0\) (racines)
Linéarisation de cos² et sin², angles multiples
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Voir les offresComplexes et géométrie : configurations, alignement, orthogonalité
| Condition géométrique | Condition complexe |
|---|---|
| A, B, C alignés | \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\) |
| \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\) | quotient imaginaire pur |
| ABC isocèle rect. en A | quotient \(=\pm i\) |
| ABC équilatéral | module 1, arg \(=\pm\pi/3\) |
| ABCD parallélogramme | \(z_A+z_C=z_B+z_D\) |
| Angle \(\widehat{BAC}\) | \(\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)\) |
Résumé
\(z=a+bi\), \(i^2=-1\)
Cycle période 4 : \(i^{4k}=1\)
\(\bar{z}=a-bi\)
\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(|zz'|=|z||z'|\)
\(\cos\theta=a/|z|\), \(\sin\theta=b/|z|\)
Défini modulo \(2\pi\)
Distance : \(|z_B-z_A|\)
Milieu : \(\frac{z_A+z_B}{2}\)
\(\Delta<0\) : racines conjuguées
Racines n-ièmes : espacées de \(2\pi/n\)
\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
Modules ×, arguments +
\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
\((re^{i\theta})^n=r^n e^{in\theta}\)
Linéarisation via formules Euler
Aligné : quotient \(\in\mathbb{R}\)
Perp. : quotient im. pur
Rot. O : \(z'=e^{i\alpha}z\)
Rot. \(\Omega\) : \(z'-\omega=e^{i\alpha}(z-\omega)\)
Algébrique · Trigo. · Expo.
Tout polynôme de degré \(n\) à coefficients complexes a exactement \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\) (comptées avec multiplicité). Si les coefficients sont réels, les racines complexes viennent par paires conjuguées.
On extrait la racine carrée de \(\Delta = b^2 - 4ac \in \mathbb{C}\) en posant \(w = x + iy\) et en identifiant. Les formules \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm w}{2a}\) et les relations de Viète restent valables.
Les \(n\) solutions de \(z^n = 1\) sont \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) (\(k = 0,\ldots,n-1\)) ; leur somme vaut \(0\) pour \(n \geq 2\). Elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
Les solutions de \(z^n = a\) sont \(z_k = r^{1/n} e^{i(\varphi + 2k\pi)/n}\). Même module \(r^{1/n}\) pour toutes, même espacement angulaire \(\dfrac{2\pi}{n}\), premier argument \(\dfrac{\varphi}{n}\).
Sujet type Bac
Données : \(A(z_A=1+i)\), \(B(z_B=3+2i)\), \(C(z_C=2+4i)\). Soit \(r\) la rotation de centre \(A\), angle \(\pi/2\).
\(z^2-2(1+i)z+(1+2i)=0\) — \(\Delta=-4\), \(\sqrt{\Delta}=2i\)
Soit le polynôme \(P(z) = z^4 + z^2 + 1\).
Question 1. Montrer que les racines cubiques de l'unité autres que \(1\) sont racines de \(P\).
On sait que \(j = e^{2i\pi/3}\) vérifie \(j^3 = 1\) et \(1 + j + j^2 = 0\). Calculons \(P(j)\) :
\[ P(j) = j^4 + j^2 + 1 = j^3 \cdot j + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0. \]Donc \(j\) est racine de \(P\). Par la propriété des racines conjuguées (ou par le même calcul avec \(j^2\)), \(\bar{j} = j^2\) est également racine. C'est cohérent car \(P\) est à coefficients réels.
Question 2. Factoriser \(P(z)\) dans \(\mathbb{C}[z]\) puis dans \(\mathbb{R}[z]\).
On connaît les racines \(j\) et \(\bar{j} = j^2\). Comme \(P\) est de degré 4, il a 4 racines. Notons que \(P(z) = z^4 + z^2 + 1\) peut s'écrire en posant \(u = z^2\) : \(P(z) = u^2 + u + 1\). C'est un trinôme en \(u\) de discriminant \(\Delta = 1 - 4 = -3\), de racines \(u = j\) et \(u = j^2\) (les racines cubiques de l'unité sauf 1 !).
Donc \(P(z) = (z^2 - j)(z^2 - j^2)\) dans \(\mathbb{C}[z]\). Chaque facteur donne deux racines carrées :
\[ z^2 = j = e^{2i\pi/3} \Rightarrow z = \pm e^{i\pi/3} \qquad z^2 = j^2 = e^{-2i\pi/3} \Rightarrow z = \pm e^{-i\pi/3}. \]Factorisation dans \(\mathbb{C}\) :
\[ P(z) = (z - e^{i\pi/3})(z + e^{i\pi/3})(z - e^{-i\pi/3})(z + e^{-i\pi/3}). \]Pour factoriser dans \(\mathbb{R}\), on regroupe les facteurs conjugués. \((z - e^{i\pi/3})(z - e^{-i\pi/3}) = z^2 - 2\cos(\pi/3)z + 1 = z^2 - z + 1\). De même \((z + e^{i\pi/3})(z + e^{-i\pi/3}) = z^2 + z + 1\). Donc :
\[ \boxed{P(z) = (z^2 - z + 1)(z^2 + z + 1).} \]On peut vérifier : \((z^2-z+1)(z^2+z+1) = ((z^2+1)-z)((z^2+1)+z) = (z^2+1)^2 - z^2 = z^4+2z^2+1-z^2 = z^4+z^2+1\).
Question 3. En déduire les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^4 + z^2 + 1 = 0\), et les exprimer sous forme exponentielle et sous forme algébrique.
D'après la question 2, les quatre racines de \(P\) sont
\[ e^{i\pi/3} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad e^{-i\pi/3} = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -e^{i\pi/3} = e^{i4\pi/3} = -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -e^{-i\pi/3} = e^{-i4\pi/3} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i. \]Ce sont exactement les racines 6-ièmes de l'unité d'indices impairs, i.e. \(e^{ik\pi/3}\) pour \(k \in \{1, 2, 4, 5\}\). Les racines 6-ièmes « manquantes » (\(k = 0\) et \(k = 3\), soit \(1\) et \(-1\)) sont précisément celles qui satisferaient \(z^2 - 1 = 0\), non pas \(P(z) = 0\).
Question 4. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((z-1)^4 + (z-1)^2 + 1 = 0\).
On pose \(u = z - 1\) : l'équation devient \(u^4 + u^2 + 1 = 0\), c'est-à-dire \(P(u) = 0\). Les solutions en \(u\) sont les quatre racines de \(P\) trouvées à la question 3. En revenant à \(z = u + 1\) :
\[ z \in \left\{1 + e^{i\pi/3},\; 1 + e^{-i\pi/3},\; 1 - e^{i\pi/3},\; 1 - e^{-i\pi/3}\right\} \] \[ = \left\{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\; \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}. \]La translation de vecteur \(1\) « décale » le polygone des racines sans en changer la structure : on retrouve un carré, non plus centré en \(O\) mais en \(1\).
Question 5. Interprétation géométrique : décrire le lieu des images des quatre racines de \(P\) dans le plan complexe. Calculer la somme et le produit de ces racines.
Les quatre racines de \(P\) ont toutes pour module \(1\) (elles sont sur le cercle unité) et leurs arguments sont \(\pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3\). Elles forment les sommets d'un quadrilatère inscrit dans le cercle unité dont les diagonales sont deux diamètres du cercle. La distance entre \(e^{i\pi/3}\) et \(e^{i2\pi/3}\)... en réalité les 4 points sont les sommets d'un rectangle dont les côtés valent \(2\sin(\pi/6) = 1\) et \(\sqrt{3}\), donc ce n'est pas un carré.
Par les relations de Viète pour \(P(z) = z^4 + 0 \cdot z^3 + z^2 + 0 \cdot z + 1\) :
\[ \text{somme des racines} = 0 \qquad \text{produit des racines} = 1. \]La somme nulle se lit aussi géométriquement : les quatre images sont symétriques deux à deux par rapport à l'axe réel, leurs parties réelles se compensent deux à deux, et leurs parties imaginaires également.
On considère le polynôme \(P(z) = z^4 - 4z^3 + 14z^2 - 20z + 25\).
Partie A — Recherche des racines
1. Vérifier que \(z_1 = 1 + 2i\) est racine de \(P\) et en déduire une autre racine sans calcul.
Calculons \(P(1+2i)\). On pose \(z_1 = 1+2i\).
\(z_1^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i\).
\(z_1^3 = z_1^2 \cdot z_1 = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11 - 2i\).
\(z_1^4 = z_1^2 \cdot z_1^2 = (-3+4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i\).
\(P(z_1) = (-7-24i) - 4(-11-2i) + 14(-3+4i) - 20(1+2i) + 25\)
\(\phantom{P(z_1)} = -7-24i + 44+8i - 42+56i - 20-40i + 25\)
Parties réelles : \(-7+44-42-20+25 = 0\). Parties imaginaires : \(-24+8+56-40 = 0\).
Donc \(P(z_1) = 0\). Comme \(P\) a ses coefficients dans \(\mathbb{R}\),
\(z_2 = \overline{z_1} = 1 - 2i\) est aussi racine.
2. Factoriser \(P(z)\) par le trinôme réel ayant \(z_1\) et \(z_2\) comme racines, puis factoriser complètement \(P\) dans \(\mathbb{C}\).
Le trinôme associé à \(z_1 = 1+2i\) et \(z_2 = 1-2i\) est :
\(T(z) = z^2 - (z_1+z_2)z + z_1 z_2 = z^2 - 2z + (1+4) = z^2 - 2z + 5\).
On effectue la division euclidienne de \(P\) par \(T\) par identification :
\(P(z) = (z^2 - 2z + 5)(z^2 + az + b)\).
Terme en \(z^3\) : \(a - 2 = -4\), donc \(a = -2\).
Terme constant : \(5b = 25\), donc \(b = 5\).
Vérification du terme en \(z^2\) : \(b - 2a + 5 = 5 + 4 + 5 = 14\). Cohérent.
Donc \(P(z) = (z^2-2z+5)^2\).
Le trinôme \(z^2-2z+5\) a pour racines \(1\pm 2i\), donc :
\(P(z) = (z-1-2i)^2(z-1+2i)^2\).
\(z_1 = 1+2i\) et \(z_2 = 1-2i\) sont chacune racine double de \(P\).
3. Dresser l'ensemble des solutions de \(P(z) = 0\) et préciser les multiplicités.
\(\mathcal{S} = \{1+2i\ (\text{mult. 2}),\ 1-2i\ (\text{mult. 2})\}\). Le polynôme \(P\) de degré 4 possède donc exactement 2 racines distinctes, chacune d'ordre 2 — ce qui est cohérent avec la structure \((z^2-2z+5)^2\).
Partie B — Configurations géométriques
Dans le plan complexe, on considère les points \(A(0)\), \(B(4)\), \(C(z)\) où \(z\) est un complexe variable.
4. Déterminer l'ensemble des points \(C\) tels que le triangle \(ABC\) soit rectangle en \(A\) avec \(AC = AB\).
Le quotient à étudier est \(q = \dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{z - 0}{4 - 0} = \dfrac{z}{4}\).
Rectangle en \(A\) : \(\arg(q) = \pm\dfrac{\pi}{2}\), donc \(q\) est imaginaire pur.
Isocèle en \(A\) avec \(AC = AB\) : \(|q| = 1\).
Ces deux conditions donnent \(q = i\) ou \(q = -i\).
\(q = i \Rightarrow z = 4i\) ; \(\quad q = -i \Rightarrow z = -4i\).
Les deux points sont \(C_1(4i)\) et \(C_2(-4i)\). Géométriquement,
ce sont les deux points à distance 4 de \(A\) situés sur la droite
perpendiculaire à \([AB]\) passant par \(A\).
5. Déterminer l'ensemble \(\mathcal{E}\) des complexes \(z\) tels que \(\arg\!\left(\dfrac{z - 4}{z}\right) = \dfrac{\pi}{3}\). Décrire géométriquement \(\mathcal{E}\) et préciser si \(z = 1+2i\) en est un élément.
Le quotient \(\dfrac{z_B - z_C}{z_A - z_C} = \dfrac{4 - z}{0 - z} = \dfrac{z-4}{z}\)
représente l'angle orienté \((\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})\)
vu du point \(C(z)\).
\(\arg\!\left(\dfrac{z-4}{z}\right) = \dfrac{\pi}{3}\) signifie que l'angle
\((\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})\) vaut \(\dfrac{\pi}{3}\) modulo \(2\pi\).
Par le théorème de l'arc capable, \(\mathcal{E}\) est un arc de cercle
passant par \(A(0)\) et \(B(4)\) sur lequel l'angle inscrit vaut
\(\dfrac{\pi}{3}\) (arc sur lequel on voit \([AB]\) sous un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\)).
Vérifions si \(z = 1+2i \in \mathcal{E}\) :
\(\dfrac{z-4}{z} = \dfrac{-3+2i}{1+2i} = \dfrac{(-3+2i)(1-2i)}{5} = \dfrac{-3+6i+2i+4}{5} = \dfrac{1+8i}{5}\).
\(\arg\!\left(\dfrac{1+8i}{5}\right) = \arg(1+8i) = \arctan(8) \approx 1{,}45\ \text{rad} \neq \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}047\ \text{rad}\).
Donc \(z = 1+2i \notin \mathcal{E}\).