Terminale S2-S4-S5 · Leçon 2
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- Compléments sur les suites arithmétiques, sur les suites géométriques et sur les suites récurrentes.
- Théorèmes sur la convergence des suites monotones bornées (admis).
- Limite d'une suite du type Un+1 = f(Un)
- Des rappels sur les suites seront faits sur des exemples.
- Suites récurrentes: un+1= f(un), où f est continue. On représentera ces suites pour faire apparaître la convergence ou la divergence.
- Si (Un) converge vers L et si f est une fonction continue en L alors (f(Un)) converge vers f(L).
- Soit (Un) une suite définie par la relation Un+1= f(Un). Si Un converge vers L et si f est continue en L alors L est solution de l'équation x = f(x).
- Connaître et utiliser les théorèmes sur la convergence des suites monotones bornées.
- Déterminer le sens de variation, la convergence, et la limite d'une suite de type Un+1= f (Un), avec f continue.
- Représenter graphiquement une suite de type Un+1= f (Un), avec f continue.
Source : Programme de mathématiques, Terminales S2 et S4 (Sénégal)
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si \(u_{n+1}=u_n+r\), soit \(r=u_{n+1}-u_n=\text{constante}\).
\[u_n=u_0+n\cdot r \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p+(n-p)\cdot r\]
Sens : \(r>0\) → croissante · \(r<0\) → décroissante · \(r=0\) → constante
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (\(n+1\) termes) :
\[S_n=(n+1)\times\frac{u_0+u_n}{2}=(n+1)\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\]
\(u_0=3\), \(r=5\) → \(u_n=3+5n\) → \(u_{10}=53\).
Somme des 11 premiers termes : \(S_{10}=11\times\dfrac{3+53}{2}=11\times 28=\mathbf{308}\)
Gauss : \(1+2+\cdots+100=100\times\dfrac{1+100}{2}=\mathbf{5050}\)
Nombre de termes × moyenne des extrêmes. Pour compter les termes entre \(u_p\) et \(u_q\) inclus : \(q-p+1\) termes.
La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) contient \((n+1)\) termes, pas \(n\). Cette erreur de décalage d'indice est systématiquement sanctionnée.
Suites géométriques : terme général et somme
\((u_n)\) est géométrique de raison \(q\neq 0\) si \(u_{n+1}=q\cdot u_n\), soit \(q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\text{constante}\).
\[u_n=u_0\times q^n \qquad\text{ou}\qquad u_n=u_p\times q^{n-p}\]
Somme de \(u_0\) à \(u_n\) (si \(q\neq 1\)) :
\[S_n=u_0\times\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Si \(q=1\) : \(S_n=(n+1)\,u_0\)
\(u_0=2\), \(q=3\) → \(u_n=2\times 3^n\) → \(u_5=486\).
Somme : \(S_5=2\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=2\times\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{728}\)
\(\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) est invalide pour \(q=1\) (division par zéro). Dans ce cas utiliser \(S_n=(n+1)\,u_0\).
- Arithmétique \(\Leftrightarrow\) \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\)
- Géométrique \(\Leftrightarrow\) \(u_n^2=u_{n-1}\times u_{n+1}\)
Figure interactive — Arithmétique vs Géométrique
Comparez la croissance linéaire (arithmétique, bleu) et la croissance exponentielle (géométrique, or). Pour |q|<1 la suite géométrique tend vers 0.
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Théorèmes de convergence : monotone bornée, gendarmes, suites adjacentes
- Toute suite croissante et majorée converge
- Toute suite décroissante et minorée converge
Si \(u_n\leq v_n\leq w_n\) et \(\lim u_n=\lim w_n=\ell\), alors \(\lim v_n=\ell\).
Exemple : \(-\dfrac{1}{n}\leq\dfrac{\sin n}{n}\leq\dfrac{1}{n}\) et les extrêmes → 0, donc \(\displaystyle\lim\frac{\sin n}{n}=0\).
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si : \((u_n)\) croissante, \((v_n)\) décroissante, \(\lim(v_n-u_n)=0\). Elles convergent alors vers la même limite \(\ell\) avec \(u_n\leq\ell\leq v_n\).
Quand une suite récurrente \(u_{n+1}=f(u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell=f(\ell)\) : la limite est le point fixe de la relation.