Terminale S2-S4-S5 · Leçon 3
Calcul intégral
Ce que dit le programme officiel (10 points)
- définition, notation.
- Relation de Chasles.
- si f est positive sur [a, b], alors ∫_ab f(x)dx est positive.
- si f ≤ g sur [a, b] , alors ∫_ab f(x)dx ≤ ∫_ab g(x)dx
- si pour tout x de [a, b], m ≤ f(x) ≤ M, alors m(b-a) ≤ ∫_ab f(x)dx ≤ M(b-a).
- Si F est une primitive de f sur [a,b], alors ∫_ab f(x)dx = F(b) - F(a)
- Interprétation graphique.
- Intégration par parties.
- Calcul d'aires et de volumes.
- V = ∫_ab f(x)dx où f(x) est la fonction à intégrer.
Source : Programme de mathématiques, Terminales S2 et S4 (Sénégal)
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) :
\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)\]
La constante \(C\) s'annule toujours dans une intégrale définie.
\[\int_{1}^{3}2x\,dx=\bigl[x^2\bigr]_1^3=9-1=\boxed{8}\]
\[\int_{0}^{1}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-1\approx\boxed{1{,}718}\]
\[\int_{a}^{b}\bigl[kf(x)+\lambda g(x)\bigr]\,dx=k\int_{a}^{b}f\,dx+\lambda\int_{a}^{b}g\,dx\]
\[\int_{a}^{b}f=\int_{a}^{c}f+\int_{c}^{b}f\qquad\int_{a}^{b}f=-\int_{b}^{a}f\qquad\int_{a}^{a}f=0\]
La constante de primitive s'annule systématiquement lors de l'évaluation \(F(b)-F(a)\).
Figure interactive — Intégrale comme aire algébrique
Déplacez a et b pour choisir l'intervalle d'intégration. La zone verte correspond aux parties positives (intégrale positive) et la zone brune aux parties négatives.
Primitives : définition, primitives usuelles
Dériver, c'est passer d'une fonction à sa vitesse de variation ; chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse : retrouver une fonction dont on connaît la dérivée. Il n'y a pas de formule automatique, mais une habitude : lire chaque fonction comme le résultat d'une dérivation, en reconnaissant la dérivée d'une fonction composée.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\) (résultat admis). Si \(F\) est l'une d'elles :
- les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(x\mapsto F(x)+C\), où \(C\) est un réel ;
- pour tout \(x_0\in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0)=y_0\) : c'est \(G(x)=F(x)-F(x_0)+y_0\).
Démonstration du premier point. Si \(G\) est une autre primitive, \((G-F)'=f-f=0\) sur l'intervalle \(I\), donc \(G-F\) est constante sur \(I\). Réciproquement, \((F+C)'=F'=f\). Pour le second point, la condition \(F(x_0)+C=y_0\) donne une seule valeur, \(C=y_0-F(x_0)\).
Le mot intervalle compte : sur \(]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[\), une fonction de dérivée nulle peut prendre une constante sur chaque morceau.
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Dans ce tableau, \(u\) et \(v\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) ; chaque ligne se vérifie en dérivant la colonne de droite.
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) | |
| \(u'u^m\) | \(\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) | \(m\) rationnel, \(m\neq -1\) ; \(u\gt 0\) si \(m\) n'est pas entier |
| \(\dfrac{u'}{u^r}\) | \(\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) | \(r\) rationnel, \(r\neq 1\) ; \(u\gt 0\) si \(r\) n'est pas entier, \(u\neq 0\) sinon |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(u\gt 0\) |
| \(v'\times(u'\circ v)\) | \(u\circ v\) | |
| \(f'(ax+b)\) | \(\dfrac1a f(ax+b)\) | \(a\neq 0\) |
Avec la linéarité : si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\) et \(g\), alors \(F+G\) est une primitive de \(f+g\) et \(\lambda F\) une primitive de \(\lambda f\). Il n'existe aucune règle de ce type pour un produit ou un quotient.
1. Découper la fonction en une somme de termes, et sortir les constantes multiplicatives (linéarité).
2. Reconnaître une forme pour chaque terme : repérer la fonction \(u\) « à l'intérieur » (sous la racine, dans le cosinus, en exposant, au dénominateur), calculer \(u'\), et regarder si \(u'\) apparaît en facteur.
3. Ajuster la constante. Si l'on a \(k\,u'\) au lieu de \(u'\), on écrit la fonction sous la forme \(\dfrac1k\times(k\,u'\ldots)\). Seul un facteur constant peut s'ajuster ainsi.
4. Vérifier en dérivant le résultat : on doit retrouver exactement la fonction de départ.
5. Condition imposée. Si l'on demande la primitive qui prend la valeur \(y_0\) en \(x_0\), on écrit \(F(x)+C\), puis on calcule \(C\) avec \(F(x_0)+C=y_0\).
Énoncé. Déterminer la primitive \(F\) sur \(]0\,;+\infty[\) de \(f(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2\) telle que \(F(1)=0\).
Solution : terme par terme : \(3x^2\) a pour primitive \(x^3\) ; \(\dfrac1{x^2}\) a pour primitive \(-\dfrac1x\), donc \(-\dfrac4{x^2}\) a pour primitive \(\dfrac4x\) ; \(2\) a pour primitive \(2x\). Les primitives de \(f\) sont \(x\mapsto x^3+\dfrac4x+2x+C\).
Condition : \(F(1)=1+4+2+C=7+C=0\), donc \(C=-7\) et \(F(x)=x^3+\dfrac4x+2x-7\). Vérification : \(F'(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2=f(x)\).
Énoncé. Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}\), puis celle dont la courbe passe par le point \(A(2\,;1)\).
Solution : on pose \(u(x)=x^2+5\), strictement positive, avec \(u'(x)=2x\). Alors \(f(x)=\dfrac12\times\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\), et \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) a pour primitive \(2\sqrt u\) (forme \(\dfrac{u'}{u^r}\) avec \(r=\dfrac12\)). Les primitives de \(f\) sont donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+5}+C\).
La courbe passe par \(A\) si \(\sqrt{9}+C=1\), soit \(C=-2\) : \(F(x)=\sqrt{x^2+5}-2\). Vérification : \(F'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=f(x)\).
Figure — Les primitives de l'exemple 2
En gris, plusieurs primitives de la fonction f de l'exemple 2 : ce sont les courbes d'équation y = racine de (x² + 5) + C pour C = −3, −1, 0 et 1. Elles se déduisent les unes des autres par une translation verticale. En bleu marine, la seule qui passe par le point A(2 ; 1), obtenue pour C = −2.
Énoncé. Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de a) \(g(x)=x\cos(x^2)\) ; b) \(h(x)=\sin x\cos^2x\), puis la primitive \(H\) de \(h\) telle que \(H(0)=0\).
Solution : a) avec \(u(x)=x^2\), \(u'(x)=2x\) : \(g(x)=\dfrac12\,u'(x)\cos u(x)\). Une primitive est \(G(x)=\dfrac12\sin(x^2)\). Vérification : \(G'(x)=\dfrac12\times 2x\cos(x^2)=g(x)\).
b) avec \(u(x)=\cos x\), \(u'(x)=-\sin x\) : \(h(x)=-u'(x)\,u(x)^2\). Une primitive de \(u'u^2\) est \(\dfrac{u^3}3\), donc une primitive de \(h\) est \(-\dfrac{\cos^3x}3\). La primitive cherchée s'écrit \(H(x)=-\dfrac{\cos^3x}3+C\) avec \(H(0)=-\dfrac13+C=0\), d'où \(H(x)=\dfrac13-\dfrac{\cos^3x}3\).
Énoncé. Déterminer une primitive de a) \(k(x)=\sqrt{2x+1}\) sur \(\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[\) ; b) \(\ell(x)=\dfrac1{(x-1)^2}\) sur \(]1\,;+\infty[\) ; c) \(m(x)=\cos(3x+1)\) sur \(\mathbb R\).
Solution : a) \(k(x)=(2x+1)^{\frac12}=\dfrac12\,u'(x)\,u(x)^{\frac12}\) avec \(u(x)=2x+1\). Une primitive est \(\dfrac12\times\dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac13(2x+1)^{\frac32}=\dfrac13(2x+1)\sqrt{2x+1}\).
b) avec \(u(x)=x-1\), \(u'=1\), \(\ell=\dfrac{u'}{u^2}\) : une primitive est \(\dfrac{u^{-1}}{-1}=-\dfrac1{x-1}\). c) Une primitive de \(\cos\) est \(\sin\), donc une primitive de \(m\) est \(\dfrac13\sin(3x+1)\) : on divise par 3, on ne multiplie pas.
Énoncé. Montrer que \(F(x)=(x-1)e^x\) est une primitive sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=xe^x\).
Solution : on dérive \(F\) comme un produit : \(F'(x)=1\times e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)\). Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\). Justifier, c'est dériver : il est inutile de « chercher » la primitive quand elle est donnée.
On remarque que la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives : \(\dfrac{x^2}2e^x\) aurait pour dérivée \(xe^x+\dfrac{x^2}2e^x\), qui n'est pas \(f(x)\).
Multiplier au lieu de diviser. Une primitive de \(\cos(3x)\) est \(\dfrac13\sin(3x)\), et non \(3\sin(3x)\) : la dérivée de \(\sin(3x)\) fait apparaître le facteur 3.
Ajuster autre chose qu'une constante. Pour \(\cos(x^2)\) seul, le facteur \(2x\) manque et ne peut pas être ajouté : cette fonction n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On ajuste seulement un facteur constant.
Confondre \(\dfrac{u'}{u^2}\) et \(\dfrac{u'}{u}\). Une primitive de \(\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\) est \(-\dfrac1{x^2+1}\), pas \(\ln\big((x^2+1)^2\big)\) : le logarithme ne sert que pour \(\dfrac{u'}{u}\).
Oublier la constante ou l'intervalle. « La » primitive n'a de sens qu'avec une condition ; sinon on écrit \(F(x)+C\), sur un intervalle précisé.
Intégrale et aire, aire entre deux courbes
Si \(f\) est continue et positive sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\quad\text{(en unités d'aire, u.a.)}\]
| Cas | Condition | Formule de l'aire |
|---|---|---|
| Cas 1 | \(f\geq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f\,dx\) |
| Cas 2 | \(f\leq 0\) sur \([a;b]\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^b f\,dx\right|\) |
| Cas 3 | \(f\) change de signe en \(c\) | \(\mathcal{A}=\left|\displaystyle\int_a^c f\right|+\left|\displaystyle\int_c^b f\right|\) |
L'intégrale peut être négative. L'aire géométrique est toujours positive. Oublier la valeur absolue quand \(f<0\) est l'erreur numéro 1 dans les calculs d'aire au Bac.
\[\mathcal{A}_1=\left|\int_{-1}^{0}x\,dx\right|=\frac{1}{2}\qquad\mathcal{A}_2=\int_{0}^{2}x\,dx=2\qquad\mathcal{A}=\frac{1}{2}+2=\boxed{\frac{5}{2}\text{ u.a.}}\]
Si \(f(x)\geq g(x)\) sur \([a\,;\,b]\) :
\[\mathcal{A}=\int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,dx\]
\[\mathcal{A}=\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{6}\text{ u.a.}}\]
Figure interactive — Aire entre deux courbes
L'aire géométrique (toujours positive) peut différer de l'intégrale algébrique ∫(f−g) quand les courbes se croisent. Observez la différence avec sin/cos.
Intégration par parties
\[\int_{a}^{b}u(x)\,v'(x)\,dx=\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)\,v(x)\,dx\]
Arctan
Log ln(x)
Polynôme
Expo eˣ
Sin / Cos
Prendre \(u\) parmi les premiers de la liste, \(v'\) parmi les derniers.
\(u=x\) (P), \(v'=e^x\) (E) → \(u'=1\), \(v=e^x\)
\[\int_0^1 xe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-\bigl[e^x\bigr]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}\]
\(u=\ln x\) (L), \(v'=1\) → \(u'=\frac{1}{x}\), \(v=x\)
\[\int_1^e\ln x\,dx=\bigl[x\ln x\bigr]_1^e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}\]
- Mal choisir \(u\) et \(v'\) — utiliser systématiquement ALPES
- Oublier les bornes dans \([uv]_a^b\)
- Oublier le signe − devant \(\int u'v\)
Figure interactive — Vérification graphique des intégrales IPP
L'aire verte est calculée numériquement et doit coïncider avec le résultat exact de l'IPP. C'est un moyen de vérifier son calcul sur copie.
Valeur moyenne, intégrale et inégalités
\[\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\]
\(\mu\) est la hauteur du rectangle de base \([a\,;\,b]\) ayant la même aire que la région sous la courbe.
\[\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 x^2\,dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}=\boxed{\frac{4}{3}}\]
\[f\geq 0\;\Rightarrow\;\int_a^b f\,dx\geq 0\qquad f\leq g\;\Rightarrow\;\int_a^b f\leq\int_a^b g\]
Si \(m\leq f(x)\leq M\) pour tout \(x\in[a\,;\,b]\) :
\[m(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)\]
Sur \([0\,;\,1]\) : \(1\leq e^x\leq e\) → \(1\leq\int_0^1 e^x\,dx\leq e\). Vérification : \(e-1\approx 1{,}718\in[1\,;\,e]\).
Volumes de solides de révolution
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine délimité par les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\!\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\) u.a. Quand les courbes se croisent, repérer les points d'intersection, puis découper l'intervalle avec la relation de Chasles.
Sur \([0\,;1]\), on a \(\sqrt{x} \ge x^2\) :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{1}\!\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ \text{u.a.}\]Sur \([0\,;\pi/2]\), les deux fonctions se croisent en \(x = \pi/4\). On applique Chasles :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\!(\sin x - \cos x)\,dx = 2(\sqrt{2}-1)\ \text{u.a.}\]Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine délimité par la courbe de \(f\) (continue, positive sur \([a\,;b]\)) et l'axe des abscisses a pour volume :
\[V = \pi\int_{a}^{b}\!\bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.\]On fait tourner \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) sur \([-R\,;R]\) :
\[V = \pi\int_{-R}^{R}\!\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \pi\left[R^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.\]Rotation de \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) sur \([0\,;h]\) :
\[V_{\text{cône}} = \pi\int_{0}^{h}\!\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.\]Aire entre deux courbes — choix interactif
\(g\)
aire \(\int(f-g)\)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles
La surface colorée représente l'aire algébrique entre les deux courbes. On l'obtient en intégrant la différence \(f - g\) (en valeur absolue si les courbes se croisent).
Volumes par sections planes ; centre d’inertie et moment d’inertie par le calcul intégral
L'intégrale ne sert pas seulement à calculer des aires. En « empilant » des tranches très fines, elle donne le volume d'un solide ; en pondérant chaque morceau d'une plaque par sa position, elle donne son centre d'inertie ; en pondérant par le carré de la distance à un axe, elle donne le moment d'inertie utilisé en mécanique.
On repère un solide par un axe \((Oz)\). Si, pour tout \(z\) de \([a\,;b]\), la section du solide par le plan de cote \(z\), perpendiculaire à l'axe, a pour aire \(S(z)\) (fonction continue), alors le volume du solide est
\[V=\int_a^bS(z)\,dz.\]Solide de révolution. Si l'on fait tourner autour de l'axe des abscisses la portion de courbe de \(f\) (continue) pour \(x\in[a\,;b]\), chaque section est un disque de rayon \(|f(x)|\), d'aire \(\pi f^2(x)\), d'où
\[V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx.\]Les volumes s'expriment en unités de volume : si l'unité de longueur est le centimètre, en \(\mathrm{cm}^3\).
Plaque sous une courbe. Une plaque homogène occupe le domaine \(0\le y\le f(x)\), \(a\le x\le b\), d'aire \(\mathcal A=\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\). Son centre d'inertie \(G\) a pour coordonnées
\[x_G=\frac1{\mathcal A}\int_a^bx\,f(x)\,dx,\qquad y_G=\frac1{\mathcal A}\int_a^b\frac{f^2(x)}{2}\,dx.\]Moment d'inertie d'une tige. Une tige homogène de longueur \(L\) et de masse \(M\) (masse linéique \(\frac ML\)) est placée sur un axe. Son moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire passant par le point d'abscisse \(c\) vaut \(I=\displaystyle\int\frac ML(x-c)^2\,dx\), l'intégrale portant sur les abscisses de la tige. On trouve \(\dfrac{ML^2}{3}\) par rapport à une extrémité et \(\dfrac{ML^2}{12}\) par rapport au milieu.
1) Choisir l'axe et les bornes ; exprimer l'aire \(S(z)\) d'une section (souvent par proportionnalité, avec le théorème de Thalès, ou par Pythagore pour une boule).
2) Intégrer, puis préciser l'unité. Contrôler avec une formule connue quand elle existe (cône, pyramide, boule).
3) Pour un centre d'inertie : calculer d'abord l'aire, puis les deux intégrales ; vérifier que \(G\) est dans la plaque et sur ses axes de symétrie éventuels.
Énoncé. Retrouver le volume d'un cône de révolution de hauteur \(h\) et de rayon de base \(R\), puis celui d'une boule de rayon \(R\).
Solution : On place le sommet du cône en \(O\) et l'axe selon \((Oz)\). À la cote \(z\), la section est un disque de rayon \(\dfrac{Rz}{h}\) (Thalès), d'aire \(S(z)=\pi\dfrac{R^2z^2}{h^2}\). Donc \(V=\displaystyle\int_0^h\pi\frac{R^2}{h^2}z^2\,dz=\pi\frac{R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}=\frac{\pi R^2h}{3}\).
Pour la boule de centre \(O\), la section à la cote \(z\) (\(-R\le z\le R\)) est un disque de rayon \(\sqrt{R^2-z^2}\) (Pythagore) : \(V=\displaystyle\int_{-R}^R\pi(R^2-z^2)\,dz=\pi\left(2R^3-\frac{2R^3}3\right)=\frac43\pi R^3\).
Énoncé. a) Volume du solide obtenu en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la courbe de \(x\mapsto\sqrt x\) pour \(0\le x\le4\). b) Centre d'inertie de la plaque homogène \(0\le y\le x^2\), \(0\le x\le1\).
Solution : a) \(V=\pi\displaystyle\int_0^4\left(\sqrt x\right)^2dx=\pi\int_0^4x\,dx=\pi\times\frac{16}2=8\pi\) unités de volume.
b) \(\mathcal A=\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\frac13\). Puis \(x_G=3\displaystyle\int_0^1x^3\,dx=\frac34\) et \(y_G=3\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}2\,dx=\frac3{10}\). Le point \(G\left(\frac34\,;\frac3{10}\right)\) est bien dans la plaque, car \(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\gt\frac3{10}\).
Figure — La plaque sous y = x² et son centre d'inertie
La plaque homogène comprise entre l'axe des abscisses, la droite x = 1 et la courbe y = x², en bleu. Son centre d'inertie G(3/4 ; 3/10), en or, est décalé vers la droite, du côté où la plaque est la plus haute.
Énoncé. Une tige homogène de longueur \(L=2\) m et de masse \(M=3\) kg occupe le segment \([0\,;2]\) de l'axe des abscisses. Calculer son moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire passant par l'extrémité \(O\), puis par le milieu.
Solution : Masse linéique \(\dfrac32\) kg/m. Par rapport à \(O\) : \(I_O=\displaystyle\int_0^2\frac32x^2\,dx=\frac32\times\frac83=4\) kg·m², soit \(\dfrac{ML^2}{3}\).
Par rapport au milieu (abscisse 1) : \(I=\displaystyle\int_0^2\frac32(x-1)^2\,dx=\frac32\times\frac23=1\) kg·m², soit \(\dfrac{ML^2}{12}\). On vérifie la relation \(I_O=I+M\left(\frac L2\right)^2=1+3=4\).
Oublier \(\pi\) ou le carré. Dans \(V=\pi\int f^2\), c'est le carré du rayon qui intervient : \(\pi\int_0^4\sqrt x\,dx\) serait faux.
Oublier de diviser par l'aire. Les intégrales \(\int xf(x)\,dx\) et \(\int\frac{f^2}2\,dx\) donnent des moments ; les coordonnées de \(G\) s'obtiennent en divisant par l'aire de la plaque.
Résumé
\(V=\displaystyle\int_a^bS(z)\,dz\) ; révolution autour de \((Ox)\) : \(V=\pi\displaystyle\int_a^bf^2(x)\,dx\).
\(x_G=\dfrac1{\mathcal A}\displaystyle\int xf\), \(y_G=\dfrac1{\mathcal A}\displaystyle\int\frac{f^2}2\).
Tige : \(\dfrac{ML^2}3\) par rapport à une extrémité, \(\dfrac{ML^2}{12}\) par rapport au milieu.
\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\) · La constante s'annule toujours
Linéarité · Chasles : \(\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\) · Inversion : \(\int_a^b=-\int_b^a\)
Si \(f\geq 0\) : \(\mathcal{A}=\int_a^b f\) · Si \(f\leq 0\) : \(\mathcal{A}=|\int_a^b f|\) · Entre 2 courbes : \(\int_a^b|f-g|\)
\(\int uv'=[uv]-\int u'v\) · Choisir \(u\) : A→L→P→E→S
\(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\,dx\) = hauteur du rectangle équivalent
Si \(m\leq f\leq M\) sur \([a;b]\) : \(m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)\)
Sur un intervalle : \(F+C\), \(C\) réel ; une seule vérifie \(F(x_0)=y_0\).
\(u'\cos u\to\sin u\) ; \(u'\sin u\to-\cos u\) ; \(u'e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u'}u\to\ln u\) (\(u\gt 0\)).
\(u'u^m\to\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) (\(m\neq-1\)) ; \(\dfrac{u'}{u^r}\to\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) (\(r\neq1\)).
Seulement un facteur constant : \(\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)\).
On dérive toujours le résultat pour retrouver la fonction de départ.
\(\displaystyle\int_a^b\!f = F(b)-F(a)\). Aire sous la courbe si \(f\ge0\) et \(a\le b\).
Linéarité, Chasles (pour tout \(c\)), positivité et croissance si \(a \le b\). \(\displaystyle\big|\int f\big|\le\int|f|\).
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b\!f\). Encadrée par le minimum et le maximum de \(f\).
\(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\). Dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\!(f-g)\) avec \(f\ge g\). Chasles si les courbes se croisent.
\(V = \pi\displaystyle\int_a^b\![f(x)]^2\,dx\). Retrouver \(\frac{4}{3}\pi R^3\) et \(\frac{1}{3}\pi R^2 h\).
Sujet type Bac
Soit \(f(x)=x\ln(x)\) sur \(]0\,;\,+\infty[\).
A. Étude de la fonction
\(f'(x)=\ln(x)+1\), annulée en \(x=\dfrac{1}{e}\). Minimum de \(-\dfrac{1}{e}\approx-0{,}368\).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 0 | ↘ | \(-\frac{1}{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
B. Calcul par IPP — \(\displaystyle\int_{1}^{e}x\ln(x)\,dx\)
\(u=\ln x\) (L), \(v'=x\) → \(u'=\dfrac{1}{x}\), \(v=\dfrac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
C. Calcul d'aire
Sur \([1\,;\,e]\) : \(f(x)\geq 0\), donc \(\mathcal{A}=\dfrac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097\) u.a.
Si 1 u. = 2 cm sur chaque axe : aire réelle \(=\dfrac{e^2+1}{4}\times 4=e^2+1\approx 8{,}389\) cm².
On considère \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\,e^{-x}\).
Question 1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
Comme \(e^{-x} > 0\), on a \(f'(x) \le 0\) sur \([0\,;+\infty[\). \(f\) est décroissante sur cet intervalle. \(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0\).
Question 2. Montrer que \(F(x) = -(x+2)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,dx\) et interpréter.
Puisque \(f \ge 0\) sur \([0\,;1]\), cette valeur représente l'aire du domaine sous la courbe, soit \(\approx 0{,}896\) u.a.
Question 4. Calculer \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x(x+1)\,e^{-x}\,dx\) par IPP.
On pose \(u'(x) = f(x) = (x+1)e^{-x}\) (primitive \(F(x) = -(x+2)e^{-x}\)) et \(v(x) = x\) :
\[J = \Big[x\cdot(-(x+2)e^{-x})\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = -\frac{3}{e} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx.\]Or \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = I + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \left(2-\frac{3}{e}\right) + \left(1-\frac{1}{e}\right) = 3 - \frac{4}{e}\). Donc :
\[J = -\frac{3}{e} + 3 - \frac{4}{e} = 3 - \frac{7}{e} \approx 0{,}425.\]Question 5. Calculer le volume \(V\) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de \((Ox)\) sur \([0\,;1]\).
On développe \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) et on calcule par IPP successive. Le résultat est :
\[V = \frac{\pi}{4}\!\left(1 - \frac{5}{e^2}\right) \approx 0{,}648\ \text{u.v.}\]