Terminale S2-S4-S5 · Leçon 1
Fonctions numériques
Ce que dit le programme officiel (26 points)
- Rappels et Compléments.
- Rappels sur la continuité .
- Théorème des valeurs intermédiaires (admis).
- Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle : existence et continuité (admises), monotonie, représentation graphique.
- Etude des branches infinies
- Théorèmes de comparaison des limites
- Limite d'une fonction composée : a et l étant deux réels, si x a f x → lim ( )= b et g est continue en b, alors x a gof x → lim ( )= g(b).
- Composée de deux fonctions continues.
- Dérivées et primitives.
- Dérivation d'une fonction composée de deux fonctions dérivables. Applications aux prolongement par continuité.
- On recherchera sur des exemples une valeur approchée d'un zéro d'une fonction continue.
- Sur des exemples, déterminer, quand cela est possible, l'expression de f -1 (x).
- La dérivation de la réciproque (lorsque cela est possible) pourra être traitée et utilisée dans la suite du cours.
- Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue.
- Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour rechercher une valeur approchée d'un zéro d'une fonction continue.
- Justifier l'existence, la continuité et la monotonie d'une fonction réciproque.
- Représenter la fonction réciproque d'une fonction bijective donnée à partir de la représentation de cette dernière.
- Calculer la limite d'une fonction composée gof en un point a lorsque f admet une limite b en a et lorsque g est continue en b.
- Justifier la continuité de la composée de deux fonctions continues.
- Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée d'une fonction composée.
- Dérivées successives.
- Points d’inflexion : Définition : On dit que la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse 0 x si la courbe y traverse sa tangente .
- Théorème : Si f est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant 0 x et si f ’ s’annule en changeant de signe en 0 x alors le point de la courbe d’abscisse 0 x est un point d’inflexion.
- Théorème admis : Si lim '( ) x a fx l → = (l réel fini ou pas) alors lim () () x a fx fa x a l → − − =
- Primitives d'une fonction continue sur un intervalle : - Définition, existence (admise), ensemble des primitives d'une fonction continue, propriété des primitives, primitives de fonctions usuelles, primitives des fonctions du type (g'of).f'.
- Inégalité des accroissements finis.
Source : Programme de mathématiques, Terminales S2 et S4 (Sénégal)
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Cela exige : (1) \(f\) définie en \(a\), (2) la limite existe, (3) limite = valeur.
Les fonctions usuelles (polynômes, \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin\), \(\cos\), racines) sont continues sur leur domaine de définition.
Soit \(f\) continue sur \([a\,;\,b]\). Pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c\in[a\,;\,b]\) tel que \(f(c)=k\).
Corollaire : Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;\,b[\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;\,b]\), alors pour tout \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans \([a\,;\,b]\).
Sans ces trois lignes, les points sont perdus même avec la bonne conclusion : (1) énoncer que \(f\) est continue sur \([a\,;\,b]\), (2) calculer explicitement \(f(a)\) et \(f(b)\), (3) constater les signes contraires et conclure.
Montrons que \(x^3-2x+1=0\) admet au moins une solution dans \([-2\,;\,0]\).
Posons \(f(x)=x^3-2x+1\). Polynôme → continu sur \(\mathbb{R}\).
\(f(-2)=-8+4+1=-3<0\) et \(f(0)=1>0\) — signes contraires.
Par le TVI : il existe \(c\in\,]-2\,;\,0[\) tel que \(f(c)=0\).
Figure interactive — TVI avec curseur k
Déplacez k entre −3 et 1 : la droite horizontale coupe la courbe, garantissant l'existence d'un c tel que f(c)=k (TVI). Hors de cet intervalle, le TVI ne s'applique pas sur [−2;0].
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
\(x=a\) est une AV si \(\displaystyle\lim_{x\to a^\pm}f(x)=\pm\infty\). On la cherche là où \(f\) n'est pas définie.
\(y=\ell\) est une AH en \(\pm\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\).
\(y=ax+b\) (\(a\neq 0\)) est une AO en \(+\infty\) si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\).
- Calculer \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
- Si \(a\) fini et \(\neq 0\), calculer \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]\)
- Si \(b\) fini → \(y=ax+b\) est l'AO
Raccourci pour les fractions rationnelles : effectuez directement la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Pour \(f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}\) :
\[x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2 \implies f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}\]
\(\dfrac{2}{x+1}\to 0\) en \(\pm\infty\) → \(y=x+1\) est l'asymptote oblique.
Branches infinies : direction asymptotique, branche parabolique
Quand \(x\) devient très grand et que \(f(x)\) aussi, la courbe s'éloigne à l'infini : on dit qu'elle a une branche infinie. Elle peut se rapprocher d'une droite (une asymptote), ou bien s'éloigner en suivant seulement une direction, comme une parabole. Une méthode en deux limites permet de trancher.
On suppose que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty\) (même étude en \(-\infty\)). On calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\).
- Si cette limite est \(\pm\infty\) : la courbe a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées (elle monte « plus vite qu'une droite », comme \(y=x^2\)).
- Si elle vaut 0 : branche parabolique de direction l'axe des abscisses (elle monte « moins vite qu'une droite », comme \(y=\sqrt x\)).
- Si elle vaut un réel \(a\neq 0\) : on dit que la droite \(y=ax\) est une direction asymptotique, et l'on calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\) :
- si elle vaut un réel \(b\), la droite \(y=ax+b\) est asymptote oblique ;
- si elle vaut \(\pm\infty\), la courbe a une branche parabolique de direction la droite \(y=ax\).
1) Vérifier que \(f(x)\) tend vers l'infini (sinon : asymptote horizontale si la limite est finie).
2) Calculer la limite de \(\dfrac{f(x)}{x}\), souvent par croissances comparées : \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\), \(\dfrac{\sqrt x}{x}\to0\).
3) Si cette limite est un réel \(a\neq0\), calculer la limite de \(f(x)-ax\). Pour une fonction rationnelle, la division euclidienne donne directement \(f(x)=ax+b+r(x)\) avec \(r(x)\to0\).
4) Conclure par une phrase précise et, pour une asymptote, étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\) pour connaître la position de la courbe.
Énoncé. Étudier en \(+\infty\) les branches infinies des courbes de \(x\mapsto\sqrt x\), \(x\mapsto x^2\), \(f(x)=x+\ln x\) et \(k(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).
Solution : \(\dfrac{\sqrt x}{x}=\dfrac1{\sqrt x}\to0\) : branche parabolique de direction \((Ox)\). \(\dfrac{x^2}{x}=x\to+\infty\) : branche parabolique de direction \((Oy)\).
\(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{\ln x}{x}\to1\), puis \(f(x)-x=\ln x\to+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=x\) (la courbe s'écarte de cette droite, mais de plus en plus lentement par rapport à \(x\)).
\(x^2+1=(x-1)(x+1)+2\), donc \(k(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}\), et \(\dfrac2{x-1}\to0\) : la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Pour \(x\gt1\), \(k(x)-(x+1)\gt0\) : la courbe est au-dessus.
Figure — Une branche parabolique de direction y = x
La courbe de f(x) = x + ln x, en bleu, et la droite y = x, en or. Quand x augmente, la courbe garde la même direction que la droite, mais l'écart ln x continue de croître : il n'y a pas d'asymptote, c'est une branche parabolique de direction y = x.
Énoncé. Étudier les branches infinies de la courbe de \(x\mapsto e^x\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis celle de \(m(x)=x-2\sqrt x\) en \(+\infty\).
Solution : En \(+\infty\), \(e^x\to+\infty\) et \(\dfrac{e^x}{x}\to+\infty\) (croissance comparée) : branche parabolique de direction \((Oy)\). En \(-\infty\), \(e^x\to0\) : la droite \(y=0\) est asymptote horizontale.
\(\dfrac{m(x)}{x}=1-\dfrac2{\sqrt x}\to1\), et \(m(x)-x=-2\sqrt x\to-\infty\) : branche parabolique de direction \(y=x\), la courbe restant sous cette droite.
Conclure à une asymptote dès que \(\dfrac{f(x)}x\) a une limite finie. Il faut encore que \(f(x)-ax\) ait une limite finie : pour \(x+\ln x\), le coefficient 1 existe, mais il n'y a pas d'asymptote.
Oublier l'autre côté. L'étude en \(+\infty\) et en \(-\infty\) peut donner des résultats différents, comme pour \(e^x\).
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=\ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell\).
Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0\).
On sait \(-1\leq\sin x\leq 1\), donc pour \(x>0\) : \(-\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq\dfrac{1}{x}\).
Or \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\) et \(\lim_{x\to+\infty}\!\left(-\frac{1}{x}\right)=0\). Par les Gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=\boxed{0}\).
Figure interactive — Théorème des Gendarmes
Naviguez pour observer la convergence vers 0
La fonction sin(x)/x (vert) est enserrée entre −1/x (brun) et 1/x (navy). Les deux gendarmes tendant vers 0, f tend vers 0 en +∞.
Limite d'une fonction composée
Soit \(u(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\), et soit \(f\) l'une des fonctions de référence (\(x^2\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\), \(\ln x\), \(e^x\)). Si \(\lim u(x) = \ell\) (fini ou infini) et si \(f\) admet une limite \(L\) en \(\ell\), alors :
\[ \lim f\!\bigl(u(x)\bigr) = L. \]En pratique, on procède en deux étapes : d'abord calculer la limite de \(ax+b\), puis appliquer la règle usuelle de \(f\) à ce résultat intermédiaire.
Étape 1 : identifier \(u(x) = ax + b\) et déterminer \(\lim u(x)\)
comme une limite affine usuelle.
Étape 2 : remplacer mentalement \(u(x)\) par sa limite dans la
fonction \(f\) et lire la limite usuelle de \(f\) à ce point.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x-3}\). On a \(u(x)=2x-3 \to +\infty\), et \(\sqrt{u}\to+\infty\). Donc la limite vaut \(+\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-2x+1}\). On a \(u(x)=-2x+1 \to -\infty\), et \(e^u \to 0^+\). Donc la limite vaut \(0^+\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(1/2)^+} \ln(2x-1)\). On a \(u(x)=2x-1 \to 0^+\) quand \(x\to(1/2)^+\), et \(\ln u \to -\infty\). Donc la limite vaut \(-\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(-2/3)^+} \frac{1}{3x+2}\). On a \(3x+2 \to 0^+\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to+\infty\). À gauche de \(-2/3\) : \(3x+2 \to 0^-\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to-\infty\). La limite globale n'existe pas.
Quand la limite intérieure est \(0\), il faut impérativement préciser si c'est \(0^+\) ou \(0^-\) avant d'appliquer la limite de \(f = 1/u\) ou de \(f = \ln u\). Le signe de \(u(x)\) au voisinage du point est déterminé par celui de \(a\) dans \(u(x)=ax+b\).
Figure 4 — \(f(ax+b)\) : choisir \(f\), \(a\) et \(b\)
Composition d'applications et de fonctions
Rappel de PremièreSi \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Dérivées usuelles et règles de calcul
| f(x) | f ′(x) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u\times v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\dfrac{u}{v}\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) |
| \(e^u\) | \(u'\cdot e^u\) |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) |
Pour \(\ln(u(x))\) : beaucoup écrivent \(\frac{1}{u(x)}\) en oubliant \(u'(x)\) au numérateur. La dérivée correcte est toujours \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\). Même raisonnement pour \((e^u)'=u'\cdot e^u\).
Primitives : définition, primitives usuelles
Dériver, c'est passer d'une fonction à sa vitesse de variation ; chercher une primitive, c'est faire le chemin inverse : retrouver une fonction dont on connaît la dérivée. Il n'y a pas de formule automatique, mais une habitude : lire chaque fonction comme le résultat d'une dérivation, en reconnaissant la dérivée d'une fonction composée.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\) (résultat admis). Si \(F\) est l'une d'elles :
- les primitives de \(f\) sur \(I\) sont exactement les fonctions \(x\mapsto F(x)+C\), où \(C\) est un réel ;
- pour tout \(x_0\in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(G(x_0)=y_0\) : c'est \(G(x)=F(x)-F(x_0)+y_0\).
Démonstration du premier point. Si \(G\) est une autre primitive, \((G-F)'=f-f=0\) sur l'intervalle \(I\), donc \(G-F\) est constante sur \(I\). Réciproquement, \((F+C)'=F'=f\). Pour le second point, la condition \(F(x_0)+C=y_0\) donne une seule valeur, \(C=y_0-F(x_0)\).
Le mot intervalle compte : sur \(]-\infty\,;0[\cup]0\,;+\infty[\), une fonction de dérivée nulle peut prendre une constante sur chaque morceau.
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\).
Toutes les primitives de \(f\) sont de la forme \(F(x)+C\) où \(C\in\mathbb{R}\).
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Condition |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | |
| \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b}\) | \(a\neq 0\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(x>0\) |
\(\displaystyle\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C\) — vérification : \(\left(\frac{1}{2}e^{2x}\right)'=e^{2x}\)
| Forme | Primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cdot u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(n\neq-1\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) | \(u\neq 0\) |
| \(u'\cdot e^u\) | \(e^u\) | |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) | \(u>0\) |
\[\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C\qquad\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\ln(x^2+1)+C\qquad\int\frac{3}{3x-1}\,dx=\ln|3x-1|+C\]
Après avoir trouvé \(F(x)\), dérivez toujours pour vérifier \(F'(x)=f(x)\). 10 secondes de vérification = 2 points assurés.
Dans ce tableau, \(u\) et \(v\) sont dérivables sur l'intervalle \(I\) ; chaque ligne se vérifie en dérivant la colonne de droite.
| Fonction | Une primitive | Condition |
|---|---|---|
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) | |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) | |
| \(u'u^m\) | \(\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) | \(m\) rationnel, \(m\neq -1\) ; \(u\gt 0\) si \(m\) n'est pas entier |
| \(\dfrac{u'}{u^r}\) | \(\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) | \(r\) rationnel, \(r\neq 1\) ; \(u\gt 0\) si \(r\) n'est pas entier, \(u\neq 0\) sinon |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln u\) | \(u\gt 0\) |
| \(v'\times(u'\circ v)\) | \(u\circ v\) | |
| \(f'(ax+b)\) | \(\dfrac1a f(ax+b)\) | \(a\neq 0\) |
Avec la linéarité : si \(F\) et \(G\) sont des primitives de \(f\) et \(g\), alors \(F+G\) est une primitive de \(f+g\) et \(\lambda F\) une primitive de \(\lambda f\). Il n'existe aucune règle de ce type pour un produit ou un quotient.
1. Découper la fonction en une somme de termes, et sortir les constantes multiplicatives (linéarité).
2. Reconnaître une forme pour chaque terme : repérer la fonction \(u\) « à l'intérieur » (sous la racine, dans le cosinus, en exposant, au dénominateur), calculer \(u'\), et regarder si \(u'\) apparaît en facteur.
3. Ajuster la constante. Si l'on a \(k\,u'\) au lieu de \(u'\), on écrit la fonction sous la forme \(\dfrac1k\times(k\,u'\ldots)\). Seul un facteur constant peut s'ajuster ainsi.
4. Vérifier en dérivant le résultat : on doit retrouver exactement la fonction de départ.
5. Condition imposée. Si l'on demande la primitive qui prend la valeur \(y_0\) en \(x_0\), on écrit \(F(x)+C\), puis on calcule \(C\) avec \(F(x_0)+C=y_0\).
Énoncé. Déterminer la primitive \(F\) sur \(]0\,;+\infty[\) de \(f(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2\) telle que \(F(1)=0\).
Solution : terme par terme : \(3x^2\) a pour primitive \(x^3\) ; \(\dfrac1{x^2}\) a pour primitive \(-\dfrac1x\), donc \(-\dfrac4{x^2}\) a pour primitive \(\dfrac4x\) ; \(2\) a pour primitive \(2x\). Les primitives de \(f\) sont \(x\mapsto x^3+\dfrac4x+2x+C\).
Condition : \(F(1)=1+4+2+C=7+C=0\), donc \(C=-7\) et \(F(x)=x^3+\dfrac4x+2x-7\). Vérification : \(F'(x)=3x^2-\dfrac4{x^2}+2=f(x)\).
Énoncé. Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}\), puis celle dont la courbe passe par le point \(A(2\,;1)\).
Solution : on pose \(u(x)=x^2+5\), strictement positive, avec \(u'(x)=2x\). Alors \(f(x)=\dfrac12\times\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\), et \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) a pour primitive \(2\sqrt u\) (forme \(\dfrac{u'}{u^r}\) avec \(r=\dfrac12\)). Les primitives de \(f\) sont donc \(x\mapsto\sqrt{x^2+5}+C\).
La courbe passe par \(A\) si \(\sqrt{9}+C=1\), soit \(C=-2\) : \(F(x)=\sqrt{x^2+5}-2\). Vérification : \(F'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=f(x)\).
Figure — Les primitives de l'exemple 2
En gris, plusieurs primitives de la fonction f de l'exemple 2 : ce sont les courbes d'équation y = racine de (x² + 5) + C pour C = −3, −1, 0 et 1. Elles se déduisent les unes des autres par une translation verticale. En bleu marine, la seule qui passe par le point A(2 ; 1), obtenue pour C = −2.
Énoncé. Déterminer une primitive sur \(\mathbb R\) de a) \(g(x)=x\cos(x^2)\) ; b) \(h(x)=\sin x\cos^2x\), puis la primitive \(H\) de \(h\) telle que \(H(0)=0\).
Solution : a) avec \(u(x)=x^2\), \(u'(x)=2x\) : \(g(x)=\dfrac12\,u'(x)\cos u(x)\). Une primitive est \(G(x)=\dfrac12\sin(x^2)\). Vérification : \(G'(x)=\dfrac12\times 2x\cos(x^2)=g(x)\).
b) avec \(u(x)=\cos x\), \(u'(x)=-\sin x\) : \(h(x)=-u'(x)\,u(x)^2\). Une primitive de \(u'u^2\) est \(\dfrac{u^3}3\), donc une primitive de \(h\) est \(-\dfrac{\cos^3x}3\). La primitive cherchée s'écrit \(H(x)=-\dfrac{\cos^3x}3+C\) avec \(H(0)=-\dfrac13+C=0\), d'où \(H(x)=\dfrac13-\dfrac{\cos^3x}3\).
Énoncé. Déterminer une primitive de a) \(k(x)=\sqrt{2x+1}\) sur \(\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[\) ; b) \(\ell(x)=\dfrac1{(x-1)^2}\) sur \(]1\,;+\infty[\) ; c) \(m(x)=\cos(3x+1)\) sur \(\mathbb R\).
Solution : a) \(k(x)=(2x+1)^{\frac12}=\dfrac12\,u'(x)\,u(x)^{\frac12}\) avec \(u(x)=2x+1\). Une primitive est \(\dfrac12\times\dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac13(2x+1)^{\frac32}=\dfrac13(2x+1)\sqrt{2x+1}\).
b) avec \(u(x)=x-1\), \(u'=1\), \(\ell=\dfrac{u'}{u^2}\) : une primitive est \(\dfrac{u^{-1}}{-1}=-\dfrac1{x-1}\). c) Une primitive de \(\cos\) est \(\sin\), donc une primitive de \(m\) est \(\dfrac13\sin(3x+1)\) : on divise par 3, on ne multiplie pas.
Énoncé. Montrer que \(F(x)=(x-1)e^x\) est une primitive sur \(\mathbb R\) de \(f(x)=xe^x\).
Solution : on dérive \(F\) comme un produit : \(F'(x)=1\times e^x+(x-1)e^x=xe^x=f(x)\). Donc \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\). Justifier, c'est dériver : il est inutile de « chercher » la primitive quand elle est donnée.
On remarque que la primitive d'un produit n'est pas le produit des primitives : \(\dfrac{x^2}2e^x\) aurait pour dérivée \(xe^x+\dfrac{x^2}2e^x\), qui n'est pas \(f(x)\).
Multiplier au lieu de diviser. Une primitive de \(\cos(3x)\) est \(\dfrac13\sin(3x)\), et non \(3\sin(3x)\) : la dérivée de \(\sin(3x)\) fait apparaître le facteur 3.
Ajuster autre chose qu'une constante. Pour \(\cos(x^2)\) seul, le facteur \(2x\) manque et ne peut pas être ajouté : cette fonction n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On ajuste seulement un facteur constant.
Confondre \(\dfrac{u'}{u^2}\) et \(\dfrac{u'}{u}\). Une primitive de \(\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}\) est \(-\dfrac1{x^2+1}\), pas \(\ln\big((x^2+1)^2\big)\) : le logarithme ne sert que pour \(\dfrac{u'}{u}\).
Oublier la constante ou l'intervalle. « La » primitive n'a de sens qu'avec une condition ; sinon on écrit \(F(x)+C\), sur un intervalle précisé.
Prolongement et recollement par continuité
Soit \(f\) définie sur \(I \setminus \{a\}\). Si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\) est la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \(I\) par :
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a, \\[6pt] \ell & \text{si } x = a. \end{cases} \]La fonction \(\tilde{f}\) est alors continue en \(a\) par construction. On dit qu'on « rebouche le trou ».
Si la limite en \(a\) est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement par continuité n'est possible.
- Repérer la valeur \(a\) interdite (zéro d'un dénominateur, \(\ln(0)\), etc.).
- Lever l'indétermination pour calculer \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) : factorisation, quantité conjuguée, croissances comparées.
- Si la limite est finie et vaut \(\ell\) : poser \(\tilde{f}(a) = \ell\).
- Si la limite est infinie ou n'existe pas : aucun prolongement possible.
Soit \(f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Pour \(x \neq 1\) : \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\).
On pose \(\tilde{f}(1) = 2\). La courbe de \(f\) est la droite \(y = x+1\) privée du point \((1\,;\,2)\) ; le prolongement rebouche ce trou.
Soit \(g(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
On reconnaît le taux d'accroissement de \(e^x\) en 0. Comme \((e^x)'=e^x\) et \(e^0=1\) :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\]On pose \(\tilde{g}(0) = 1\). La fonction prolongée est continue en 0.
Soit \(h(x) = \dfrac{1}{x}\). En \(a = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} h(x) = +\infty\). La limite est infinie. Aucun prolongement par continuité n'existe en 0.
Calculer \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), c'est précisément prolonger par continuité le taux d'accroissement en \(h=0\). La dérivabilité est un prolongement par continuité. Ce lien montre que la continuité est la notion fondatrice de tout l'édifice de l'analyse.
Figure interactive — Prolongement par continuité de \((x^2-1)/(x-1)\)
trou de \(f\) en \(x=1\)
valeur ajoutée \(\tilde f(1)=2\)
Cochez/décochez les éléments via les cases
Le trou est la discontinuité supprimable de \(f\). Le point vert représente la valeur qu'on ajoute pour obtenir la fonction prolongée \(\tilde f\), continue sur \(\mathbb{R}\).
Une fonction est définie par morceaux lorsqu'elle s'exprime par des formules différentes sur des sous-intervalles disjoints. En un point \(a\) séparant deux morceaux, la continuité n'est pas automatique :
\[ f \text{ continue en } a \;\Longleftrightarrow\; \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a). \]- Calculer la limite à gauche en \(a\) avec l'expression valable pour \(x < a\).
- Calculer la limite à droite en \(a\) avec l'expression valable pour \(x > a\).
- Identifier \(f(a)\) d'après la définition (quel morceau s'applique en \(a\) ?).
- Écrire que les trois quantités sont égales et en déduire le paramètre.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x + m & \text{si } x \le 2, \\ 3x - 4 & \text{si } x > 2, \end{cases}\) avec \(m \in \mathbb{R}\).
- Limite à gauche et valeur : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} (x+m) = 2+m = f(2)\).
- Limite à droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} (3x-4) = 2\).
Continuité en 2 : \(2+m = 2\), d'où \(\boxed{m = 0}\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 0, \\ \cos x & \text{si } 0 \le x \le \pi, \\ cx & \text{si } x > \pi. \end{cases}\)
En \(x = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(ax+b) = b\) et \(g(0) = 1\). Donc \(b = 1\).
En \(x = \pi\) : \(g(\pi) = -1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi^+} cx = c\pi\). Donc \(c = -\dfrac{1}{\pi}\).
Le paramètre \(a\) reste libre : la continuité en 0 ne le contraint pas.
Lisez attentivement l'énoncé : une inégalité \(x \le a\) versus \(x < a\) change quel morceau définit \(f(a)\). Cette erreur de lecture est très fréquente.
Figure interactive — Recollement par continuité
morceau droit (\(x > 2\))
saut de discontinuité
Déplacer le curseur pour faire varier le paramètre \(m\)
Lorsque \(m = 0\), la limite à gauche en \(x=2\) vaut 2 et coïncide avec la limite à droite : la fonction est continue. Toute autre valeur de \(m\) crée un saut visible.
Localisation et approximation d'une solution (dichotomie)
On cherche \(\alpha \in [a\,;b]\) tel que \(f(\alpha) = 0\), avec \(f\) continue et strictement monotone.
- Tester la valeur médiane \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
- Si \(f(m) = 0\) : trouvé. Sinon, si \(f(a)\) et \(f(m)\) sont de signes opposés, la solution est dans \([a\,;m]\) ; sinon dans \([m\,;b]\).
- Recommencer avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit.
- Arrêter quand l'intervalle atteint la précision souhaitée.
Après \(n\) étapes, la précision est \(\dfrac{b-a}{2^n}\).
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0\,;1]\). On cherche \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
| Étape | Intervalle | Milieu \(m\) | \(f(m)\) | Nouveau sous-intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [0 ; 1] | 0,5 | \(-0{,}375 < 0\) | [0,5 ; 1] |
| 2 | [0,5 ; 1] | 0,75 | \(0{,}172 > 0\) | [0,5 ; 0,75] |
| 3 | [0,5 ; 0,75] | 0,625 | \(-0{,}119 < 0\) | [0,625 ; 0,75] |
| 4 | [0,625 ; 0,75] | 0,6875 | \(0{,}022 > 0\) | [0,625 ; 0,6875] |
| 5 | [0,625 ; 0,6875] | 0,656 | \(-0{,}049 < 0\) | [0,656 ; 0,6875] |
| 6 | [0,656 ; 0,6875] | 0,672 | \(-0{,}014 < 0\) | [0,672 ; 0,6875] |
| 7 | [0,672 ; 0,6875] | 0,680 | \(0{,}004 > 0\) | [0,672 ; 0,680] |
Après 7 étapes, l'intervalle a une longueur \(\approx 0{,}008 < 0{,}01\). On conclut :
\[0{,}672 \le \alpha \le 0{,}680,\]soit \(\alpha \approx 0{,}68\) à \(10^{-2}\) près.
Pour atteindre une précision de \(10^{-p}\) sur un intervalle de longueur \(L\), il faut \(n\) étapes telles que \(L / 2^n \le 10^{-p}\). Sur \([0\,;1]\), il faut environ \(3{,}32\, p\) étapes pour \(p\) décimales de précision.
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeUne fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
- Si \(f'(x)>0\) sur \(I\) → \(f\) strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)<0\) sur \(I\) → \(f\) strictement décroissante sur \(I\)
- Si \(f'(x)=0\) sur \(I\) → \(f\) constante sur \(I\)
\(f'(a)=0\) ne garantit pas un extremum. Pour \(f(x)=x^3\) : \(f'(0)=0\) mais \(f\) est strictement croissante — pas d'extremum en 0. Il faut obligatoirement vérifier le changement de signe de \(f'\) autour de \(a\) : \(+\to-\) (max), \(-\to+\) (min), pas de changement (point d'inflexion).
\(f''=(f')'\). Si \(f''>0\) → convexe (U). Si \(f''<0\) → concave (∩). Si \(f''\) change de signe en \(a\) → point d'inflexion.
Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Le logarithme népérien est la primitive de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) qui s'annule en 1 :
\[\ln(x)=\int_1^x\frac{1}{t}\,dt\]
Pour tout \(x>0\) : \(\bigl(\ln x\bigr)'=\dfrac{1}{x}\) et \(\ln(1)=0\).
\[\mathbb{D}_{\ln}=\;]0\,;\,+\infty[\]
\(\ln(0)\) et \(\ln(-5)\) sont impossibles. Tout argument de \(\ln\) doit être strictement positif. Oublier cette condition au Bac coûte 2 à 3 points.
\(\ln\) et \(\exp\) sont des fonctions réciproques :
\[\forall x\in\mathbb{R}:\ln(e^x)=x \qquad\forall x>0:e^{\ln(x)}=x\]
| Expression | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| \(\ln(1)\) | 0 | \(e^0=1\) |
| \(\ln(e)\) | 1 | \(e^1=e\) |
| \(\ln(e^2)\) | 2 | \(e^2=e^2\) |
| \(\ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)\) | −1 | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(\ln(\sqrt{e})\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{e}=e^{1/2}\) |
| \(\ln(e^a)\) | \(a\) | Cas général |
Tout argument de la forme \(e^a\) se simplifie immédiatement. Exemple : \(\ln(\sqrt{e})=\ln(e^{1/2})=\dfrac{1}{2}\).
Figure interactive — Courbe de \(y=\ln(x)\) et valeurs remarquables
La courbe de ln est strictement croissante sur ]0;+∞[. Elle passe par (1;0) et (e;1). La droite x=0 est une asymptote verticale. Activez y=eˣ pour visualiser la symétrie par rapport à y=x.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) | Produit → Somme |
| Quotient | \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)\) | Quotient → Différence |
| Puissance | \(\ln(a^n)=n\cdot\ln(a)\) | Exposant → Coefficient |
| Inverse | \(\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)\) | Inverse → Opposé |
| Racine | \(\ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}\ln(a)\) | Car \(\sqrt{a}=a^{1/2}\) |
\(\ln(a+b)\neq\ln(a)+\ln(b)\) — FAUX
\(\ln(a-b)\neq\ln(a)-\ln(b)\) — FAUX
Les propriétés s'appliquent aux produits et quotients uniquement.
Posons \(f(x)=\ln(ax)\). Alors \(f'(x)=\frac{1}{x}=(\ln x)'\), donc \(f(x)=\ln(x)+C\). En \(x=1\) : \(f(1)=\ln(a)=C\). Ainsi \(\ln(ax)=\ln(x)+\ln(a)\). En \(x=b\) : \(\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\).
1. \(\ln(8)=\ln(2^3)=3\ln(2)\)
2. \(\ln(x^2y^3)=2\ln(x)+3\ln(y)\)
3. \(\ln\!\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{y}}\right)=3\ln(x)-\dfrac{1}{2}\ln(y)\)
4. \(\ln\!\left(\dfrac{e^2 x^3}{e\cdot y}\right)=1+3\ln(x)-\ln(y)\)
5. \(2\ln(x)-3\ln(y)+\ln(z)=\ln\!\left(\dfrac{x^2 z}{y^3}\right)\)
(1) Sortir les exposants avec \(\ln(a^n)=n\ln a\) → (2) Transformer produits en sommes et quotients en différences → (3) Identifier \(\ln(e^a)=a\).
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
\[\lim_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty\qquad\text{(asymptote verticale }x=0\text{)}\]
\[\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\]
\[\bigl(\ln(x)\bigr)'=\frac{1}{x}\qquad\bigl(\ln(u(x))\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u>0)\]
Écrire \(\dfrac{1}{u}\) au lieu de \(\dfrac{u'}{u}\) est la faute la plus fréquente. Mémo : "dérivée de l'argument, divisée par l'argument".
1. \(f(x)=\ln(2x+1)\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}\)
2. \(g(x)=\ln(x^2+1)\) → \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\)
3. \(h(x)=x^2\ln(x)\) → \(h'(x)=2x\ln(x)+x=x(2\ln x+1)\)
4. \(k(x)=(\ln x)^2\) → \(k'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}\)
\(\ln(x^2)=2\ln x\) (dérivée : \(\dfrac{2}{x}\)) est différent de \((\ln x)^2\) (dérivée : \(\dfrac{2\ln x}{x}\)).
\(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).
\[\ln(a)=\ln(b)\Longleftrightarrow a=b \qquad \ln(a)<\ln(b)\Longleftrightarrow a<b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=\ln(x)\)
La pente de la tangente en a est f′(a)=1/a. Plus a est grand, plus la courbe s'aplatit. Activez y=1/x pour voir la courbe dérivée converger vers 0.
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\). Définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;\,+\infty[\) :
\[y=\exp(x)\Longleftrightarrow x=\ln(y)\]
\[\exp(\ln(x))=x\quad\text{pour tout }x>0\]
\[\ln(\exp(x))=x\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
On note \(\exp(x)=e^x\) où \(e\) est le nombre d'Euler :
\[e=\exp(1)\approx 2{,}718\,281\,828\ldots\]
| Expression | Valeur exacte | Approximation | Justification |
|---|---|---|---|
| \(e^0\) | 1 | exactement 1 | \(\ln(1)=0\) |
| \(e^1\) | \(e\) | \(\approx 2{,}718\) | définition de \(e\) |
| \(e^2\) | \(e^2\) | \(\approx 7{,}389\) | \(\ln(e^2)=2\) |
| \(e^{-1}\) | \(\dfrac{1}{e}\) | \(\approx 0{,}368\) | \(e^{-1}=\frac{1}{e}\) |
| \(e^{1/2}\) | \(\sqrt{e}\) | \(\approx 1{,}649\) | \(e^{1/2}=\sqrt{e}\) |
| \(e^{\ln(5)}\) | 5 | exactement 5 | réciproque |
\(e^{\ln(7)}=7\) car \(\ln(7)\) est précisément le réel \(x\) tel que \(e^x=7\). Ce raisonnement circulaire est la clé de toutes les simplifications.
Figure interactive — Courbe de \(y=e^x\), asymptote et symétrie avec ln
La courbe de eˣ est l'image de celle de ln par symétrie par rapport à y=x. Elle est définie sur ℝ, strictement positive, et admet y=0 comme asymptote horizontale en −∞.
Dans l'exposant, + et − se transforment en × et ÷ quand on sort de l'exponentielle.
| Règle | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Produit | \(e^{a+b}=e^a\times e^b\) | Somme → produit |
| Quotient | \(e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}\) | Différence → quotient |
| Puissance | \(e^{na}=(e^a)^n\) | Produit → puissance |
| Inverse | \(\dfrac{1}{e^a}=e^{-a}\) | Inverse → opposé |
| Racine | \(\sqrt{e^a}=e^{a/2}\) | Racine → exposant ÷ 2 |
| Neutre | \(e^0=1\) | Exposant nul → valeur 1 |
\(e^{a+b}\neq e^a+e^b\) — FAUX : c'est \(e^a\times e^b\)
\(e^{ab}\neq e^a\times e^b\) — FAUX : c'est \((e^a)^b\)
a) \(e^3\times e^5=e^8\) b) \(\dfrac{e^7}{e^4}=e^3\) c) \((e^2)^3=e^6\) d) \(\dfrac{1}{e^{-5}}=e^5\)
e) \(e^{2x}\times e^{-x}\times e^{3x}=e^{4x}\)
f) \(\dfrac{e^{3x+1}\cdot e^{2-x}}{e^{x+3}}=\dfrac{e^{2x+3}}{e^{x+3}}=e^x\)
(1) Regrouper les produits (additionner les exposants) → (2) Transformer les quotients (soustraire les exposants) → (3) Simplifier le résultat.
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
\[e^x>0\quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}\]
\(e^x=0\) est impossible. \(e^x<0\) est impossible.
Dans \(f'(x)=(2x-1)e^x\), le signe de \(f'\) est celui de \(2x-1\) uniquement, car \(e^x>0\) ne change jamais de signe.
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
\[(e^x)'=e^x\]
Cas composé — si \(u\) est dérivable :
\[(e^{u(x)})'=u'(x)\cdot e^{u(x)}\]
\((e^x)'\neq x\cdot e^{x-1}\) — la règle des puissances ne s'applique pas à l'exponentielle.
Pour \((e^{u(x)})'\), ne jamais oublier de multiplier par \(u'(x)\).
1. \(f(x)=e^{3x}\) → \(f'(x)=3e^{3x}\)
2. \(f(x)=e^{x^2}\) → \(f'(x)=2x\cdot e^{x^2}\)
3. \(f(x)=e^{-2x+5}\) → \(f'(x)=-2e^{-2x+5}\)
4. \(f(x)=(x^2+1)e^x\) — produit :
\[f'(x)=2x\cdot e^x+(x^2+1)\cdot e^x=e^x(x^2+2x+1)=e^x(x+1)^2\]
5. \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) — quotient :
\[f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\]
Puisque \(e^x>0\), seul le signe du polynôme restant détermine le signe de la dérivée. Factoriser \(e^x\) simplifie systématiquement l'étude du signe.
\(e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[e^a<e^b\Longleftrightarrow a<b\qquad e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b\]
Figure interactive — Tangente mobile sur \(y=e^x\) et propriété \(f'=f\)
Propriété unique : la pente de la tangente en a est f′(a)=eᵃ, égale à la valeur f(a)=eᵃ. En aucun autre point de cette courbe la dérivée ne diffère de la valeur.
\[\lim_{x\to-\infty}e^x=0\quad\text{(AH : }y=0\text{)}\qquad\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\]
\[\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0\qquad\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty\qquad\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
En \(+\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\]
En \(-\infty\) (pour tout \(n\in\mathbb{N}\)) :
\[\lim_{x\to-\infty}x^n\cdot e^x=0\]
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}=+\infty\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{100}}{e^x}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2 e^x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-5x+1}{e^x}=3\lim\frac{x^2}{e^x}=0\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(e^x\) vs \(x^n\) vs \(\ln(x)\)
Changez n pour voir que eˣ dépasse toujours xⁿ pour x suffisamment grand. Le rapport xⁿ/eˣ tend vers 0 : c'est le résultat des croissances comparées.
Croissances comparées
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0\qquad\forall n>0\]
\(\ln(x)\) croît beaucoup plus lentement que toute puissance de \(x\).
\[\lim_{x\to 0^+}x^n\ln(x)=0\qquad\forall n>0\]
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=0\)
3. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2\ln x=0\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)=+\infty\)
\(\ln(x)\;\ll\;x^n\;\ll\;e^x\quad\text{quand }x\to+\infty\)
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln(x)\) vs \(\sqrt{x}\) vs \(x\)
En zoomant vers +∞, ln(x) semble "s'aplatir" par rapport à √x et x. Activez les rapports pour voir concrètement qu'ils tendent vers 0.
Logarithme décimal
Les nombres que l'on rencontre en sciences vont du milliardième au milliard : pour les comparer, on compte leurs puissances de dix. C'est le rôle du logarithme décimal, noté \(\log\). Il sert à mesurer l'acidité d'une solution, l'intensité d'un son ou la force d'un séisme, et il possède les mêmes règles de calcul que le logarithme népérien.
La fonction exponentielle de base 10, \(x\mapsto 10^x\), est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. Pour tout réel \(x\gt 0\), il existe donc un unique réel \(y\) tel que \(10^y=x\).
Ce réel \(y\) est le logarithme décimal de \(x\), noté \(\log x\) :
\[y=\log x \iff 10^y=x \qquad (x\gt 0).\]La fonction \(\log\) est la réciproque de la fonction \(x\mapsto 10^x\) : pour tout réel \(y\), \(\log(10^y)=y\), et pour tout \(x\gt 0\), \(10^{\log x}=x\).
Valeurs à connaître. \(\log 1=0\), \(\log 10=1\), \(\log 100=2\), \(\log 1000=3\), \(\log 0{,}1=-1\), \(\log 0{,}01=-2\). Plus généralement, pour tout entier relatif \(n\), \(\log(10^n)=n\) : le logarithme décimal d'une puissance de dix est son exposant.
Lien avec le logarithme népérien. Comme \(10^y=e^{y\ln 10}\), l'égalité \(10^y=x\) s'écrit \(y\ln 10=\ln x\). Donc, pour tout \(x\gt 0\),
\[\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}, \qquad \ln 10\approx 2{,}303.\]Pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\), et pour tout entier relatif \(n\) :
- \(\log(ab)=\log a+\log b\) ;
- \(\log\left(\dfrac1b\right)=-\log b\) et \(\log\left(\dfrac ab\right)=\log a-\log b\) ;
- \(\log(a^n)=n\log a\) ;
- \(\log\sqrt a=\dfrac12\log a\).
Justification. Ces égalités sont celles du logarithme népérien, divisées par le nombre \(\ln 10\). Par exemple, \(\log(ab)=\dfrac{\ln(ab)}{\ln 10}=\dfrac{\ln a+\ln b}{\ln 10}=\log a+\log b\).
Conséquence utile. Multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal : \(\log(10a)=1+\log a\). Le diviser par 10 lui retire 1.
Énoncé. a) Calculer \(\log 2+\log 5\), \(\log 200-\log 2\) et \(\log 0{,}001\). b) On donne \(\log 2\approx 0{,}301\). En déduire des valeurs approchées de \(\log 8\), \(\log 5\), \(\log 0{,}5\) et \(\log 200\).
Solution : a) \(\log 2+\log 5=\log(2\times 5)=\log 10=1\). Puis \(\log 200-\log 2=\log\dfrac{200}{2}=\log 100=2\). Enfin \(0{,}001=10^{-3}\), donc \(\log 0{,}001=-3\).
b) \(\log 8=\log(2^3)=3\log 2\approx 0{,}903\). Comme \(5=\dfrac{10}{2}\), \(\log 5=\log 10-\log 2=1-\log 2\approx 0{,}699\). Ensuite \(\log 0{,}5=\log\dfrac12=-\log 2\approx -0{,}301\). Enfin \(\log 200=\log(100\times 2)=2+\log 2\approx 2{,}301\).
On remarque que 200 est compris entre \(10^2\) et \(10^3\), et que son logarithme décimal est bien compris entre 2 et 3.
La fonction \(\log\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log x=\dfrac{1}{\ln 10}\times\ln x\), avec \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Elle a donc les mêmes propriétés que \(\ln\), à ce facteur positif près.
- Dérivée. \(\log\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}\).
- Variations. Cette dérivée est strictement positive : \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). Donc, pour \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\) : \(\log a=\log b\iff a=b\), et \(\log a\lt\log b\iff a\lt b\).
- Signe. \(\log x\lt 0\) si \(0\lt x\lt 1\), \(\log 1=0\), et \(\log x\gt 0\) si \(x\gt 1\).
- Limites. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty\). L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.
Courbe. Elle passe par les points \((0{,}1\,;-1)\), \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\). Sa tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Dans un repère orthonormé, elle est la symétrique de la courbe de \(x\mapsto 10^x\) par rapport à la droite d'équation \(y=x\).
Figure — Les courbes de log et de ln
En marine, la courbe de \(\log\) ; en gris, celle de \(\ln\). Les deux passent par le point \((1\,;0)\) et montent lentement, mais \(\log x\) vaut toujours \(0{,}434\) fois \(\ln x\) : la courbe de \(\log\) est plus proche de l'axe des abscisses. Le point doré \((10\,;1)\) rappelle que \(\log 10=1\).
1. Écrire la condition d'existence. Tout ce qui se trouve sous un logarithme doit être strictement positif.
2. Se ramener à l'une des deux formes simples.
- \(\log x=k\) équivaut à \(x=10^k\) ;
- \(10^x=k\) (avec \(k\gt 0\)) équivaut à \(x=\log k\) ;
- \(\log A=\log B\) équivaut à \(A=B\), et \(\log A\lt\log B\) équivaut à \(A\lt B\), car \(\log\) est strictement croissante.
3. Utiliser les propriétés algébriques pour regrouper plusieurs logarithmes en un seul : une somme devient le logarithme d'un produit.
4. Conclure en ne gardant que les solutions qui vérifient la condition du point 1.
Énoncé. Résoudre : a) \(\log x=2{,}5\) ; b) \(10^x=50\) (on donne \(\log 5\approx 0{,}699\)) ; c) \(\log x+\log(x-3)=1\) ; d) \(\log x\lt 2\).
Solution : a) \(x=10^{2{,}5}\approx 316{,}2\).
b) \(x=\log 50=\log(10\times 5)=1+\log 5\approx 1{,}699\).
c) Il faut \(x\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x\gt 3\). L'équation s'écrit alors \(\log\big(x(x-3)\big)=\log 10\), soit \(x^2-3x-10=0\). Le discriminant vaut \(9+40=49\) ; les racines sont \(5\) et \(-2\). Seule \(5\) est supérieure à 3 : la solution est \(x=5\). Vérification : \(\log 5+\log 2=\log 10=1\).
d) Il faut \(x\gt 0\). Comme \(2=\log 100\) et que \(\log\) est strictement croissante, \(\log x\lt\log 100\) équivaut à \(x\lt 100\). L'ensemble des solutions est \(]0\,;100[\).
Énoncé. a) Combien de chiffres l'écriture décimale de \(2^{50}\) comporte-t-elle ? (On donne \(\log 2\approx 0{,}30103\).) b) Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
Solution : a) \(\log(2^{50})=50\log 2\approx 15{,}05\). Donc \(2^{50}=10^{15{,}05}\) est compris entre \(10^{15}\) et \(10^{16}\). Or \(10^{15}\) est le plus petit entier de 16 chiffres : \(2^{50}\) s'écrit avec 16 chiffres.
b) Après \(n\) années, le capital est multiplié par \(1{,}05^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1{,}05^n\geq 2\). En prenant le logarithme décimal des deux membres (fonction croissante) : \(n\log 1{,}05\geq\log 2\). Comme \(\log 1{,}05\approx 0{,}0212\) est positif, \(n\geq\dfrac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2\). Le capital a doublé au bout de 15 ans.
Le logarithme d'une somme. Il n'existe aucune formule pour \(\log(a+b)\). Par exemple \(\log(2+8)=\log 10=1\), alors que \(\log 2+\log 8\approx 1{,}204\). C'est le produit qui devient une somme.
La touche de la calculatrice. La touche « log » donne le logarithme décimal, la touche « ln » le logarithme népérien : \(\log 100=2\) mais \(\ln 100\approx 4{,}605\). Les confondre fausse tout un calcul.
La condition d'existence. \(\log x\) n'existe que pour \(x\gt 0\). Dans l'équation \(\log x+\log(x-3)=1\), la racine \(-2\) du trinôme doit être rejetée.
Résumé
Branche parabolique de direction \((Oy)\) ou \((Ox)\).
Si \(f(x)-ax\to b\) : asymptote \(y=ax+b\). Si \(f(x)-ax\to\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y=ax\).
Croissances comparées, division euclidienne pour les fonctions rationnelles.
Pour \(x\gt 0\) : \(y=\log x\) équivaut à \(10^y=x\). Ainsi \(\log(10^n)=n\).
\(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), avec \(\ln 10\approx 2{,}303\).
\(\log(ab)=\log a+\log b\), \(\log\dfrac ab=\log a-\log b\), \(\log(a^n)=n\log a\).
Strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), dérivée \(\dfrac{1}{x\ln 10}\), limites \(-\infty\) en 0 et \(+\infty\) en \(+\infty\).
\(\log x=k\) donne \(x=10^k\) ; \(10^x=k\) donne \(x=\log k\). Toujours écrire la condition d'existence.
Identifier la FI, choisir la technique (factorisation, conjuguée, croissances comparées) et lever systématiquement avant de conclure.
Trois étapes obligatoires : continuité sur [a;b], calcul de f(a) et f(b), signes contraires. Sans elles, les points sont perdus.
Maîtriser le quotient \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) et la composée \(u'\cdot f'(u)\). Ne jamais oublier u′ pour ln u et e^u.
f′(a)=0 est nécessaire mais non suffisant. Le changement de signe de f′ autour de a est la seule preuve valide.
AV → limite infinie. AH → limite finie. AO → division euclidienne. Toujours préciser la position de la courbe par rapport à l'AO.
D_f → parité → limites → asymptotes → f′ → variations → points remarquables → tracé.
Réciproque de ln · Définie sur \(\mathbb{R}\) · \(e^x>0\) toujours · \(e^0=1\), \(e^1=e\approx2{,}718\)
\(e^{a+b}=e^a e^b\) · \(e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}\) · \((e^a)^n=e^{na}\) · \(\frac{1}{e^a}=e^{-a}\) · \(e^0=1\)
\((e^x)'=e^x\) · \((e^u)'=u'e^u\) · Factoriser \(e^x\) · Signe = signe du polynôme
\(e^{-\infty}=0\), \(e^{+\infty}=+\infty\) · \(\frac{e^x}{x^n}\to+\infty\) · \(\frac{x^n}{e^x}\to 0\) · \(x^n e^x\to 0\) en \(-\infty\)
A: \(e^A=e^B\to A=B\) · B: \(e^A=k>0\to A=\ln k\) · C: \(k\leq 0\to\emptyset\) · D: \(P(x)e^Q=0\to P=0\)
Factoriser \(e^x\) · AH si limite finie · Croissances comparées pour FI · Pas de domaine à vérifier
Sur un intervalle : \(F+C\), \(C\) réel ; une seule vérifie \(F(x_0)=y_0\).
\(u'\cos u\to\sin u\) ; \(u'\sin u\to-\cos u\) ; \(u'e^u\to e^u\) ; \(\dfrac{u'}u\to\ln u\) (\(u\gt 0\)).
\(u'u^m\to\dfrac{u^{m+1}}{m+1}\) (\(m\neq-1\)) ; \(\dfrac{u'}{u^r}\to\dfrac{u^{1-r}}{1-r}\) (\(r\neq1\)).
Seulement un facteur constant : \(\cos(ax+b)\to\dfrac1a\sin(ax+b)\).
On dérive toujours le résultat pour retrouver la fonction de départ.
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) — trois conditions simultanées : \(f(a)\) défini, limite existante, égalité.
La réciproque est fausse. Contre-exemple : \(|x|\) en 0, point anguleux, continu mais non dérivable.
Possible ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = \ell\) est finie. On pose \(\tilde f(a)=\ell\). Technique : lever l'indétermination.
Égaler lim. gauche, lim. droite et \(f(a)\). Vérifier quel morceau définit \(f(a)\). Un paramètre → une équation.
\(f\) continue sur \([a;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → \(\exists\, c\) avec \(f(c)=k\). Signes opposés → solution de \(f(x)=0\). Ne donne ni unicité ni valeur.
Monotonie stricte → unicité. Dichotomie : précision \(L/2^n\) après \(n\) étapes. Citer les trois conditions au Bac.
Dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a) = f'_d(a)\). Finies et inégales → point anguleux. Infinie → tangente verticale.
\(f'' > 0\) : convexe (U). \(f'' < 0\) : concave (∩). \(f''\) change de signe → inflexion.
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Ne jamais oublier \(u'\). Identifier \(u\) et \(u'\) au brouillon avant d'appliquer.
\(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\). Forme encadrement : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
Toute fonction continue admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante. Condition initiale → primitive unique.
Reconnaître \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), \(u'/\sqrt{u}\). Ajuster la constante multiplicative. Toujours vérifier en dérivant.
Puissances, racine carrée, \(e^x\), \(\ln x\) : mémoriser le comportement en \(\pm\infty\) et en \(0\). Pôles : toujours distinguer la limite à gauche et à droite.
\(\infty-\infty\), \(\infty/\infty\), \(0/0\), \(0\times\infty\). Lever par factorisation (terme dominant) ou par quantité conjuguée.
En \(\pm\infty\) : factoriser par le plus haut degré, les termes inférieurs disparaissent. Le résultat dépend de la comparaison des degrés.
Multiplier et diviser par \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\) pour transformer \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) en \(\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}\).
\(f(ax+b)\) : calculer d'abord \(\lim(ax+b)\), puis appliquer la limite usuelle de \(f\) à ce résultat. Attention au signe en cas de pôle (\(0^+\) vs \(0^-\)).
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x-1}\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Ensemble de définition
\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}=]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[\)
2. Limites et Asymptotes
En \(x=1\) : numérateur vaut \(4>0\). Donc \(\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty\) → AV : \(x=1\).
En \(\pm\infty\) : \(\lim f(x)=\pm\infty\) → pas d'AH. Division euclidienne :
\[x^2+x+2=(x-1)(x+2)+4 \implies f(x)=x+2+\frac{4}{x-1}\]
\(\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(x+2)]=0\) → AO : \(\Delta:y=x+2\).
Position : \(f(x)-(x+2)=\dfrac{4}{x-1}>0\) pour \(x>1\) (courbe au-dessus de \(\Delta\)), \(<0\) pour \(x<1\) (en dessous).
3. Dérivée et Variations
Règle du quotient (\(u=x^2+x+2\), \(u'=2x+1\), \(v=x-1\), \(v'=1\)) :
\[f'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+2)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\]
\((x-1)^2>0\) pour tout \(x\neq 1\) → signe de \(f'\) = signe de \((x-3)(x+1)\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | || | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | −1 | ↘ | \(-\infty\)‖\(+\infty\) | ↘ | 7 | ↗ | \(+\infty\) |
4. Points remarquables
- Maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=\dfrac{1-1+2}{-2}=-1\) → tangente horizontale \(y=-1\)
- Minimum local en \(x=3\) : \(f(3)=\dfrac{9+3+2}{2}=7\) → tangente horizontale \(y=7\)
- Intersection Oy : \(f(0)=-2\) · Pas d'intersection Ox (\(\Delta=-7<0\))
Soit \(f\) définie sur \(]0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=x-2\ln(x)\).
1. Limites :
\[\lim_{x\to 0^+}f(x)=0-2(-\infty)=+\infty\quad\Rightarrow\text{ AV : }x=0\]
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\!\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right)=+\infty\quad\text{(croissances comparées)}\]
2. Dérivée et signe :
\[f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}\]
\(f'(x)<0\) sur \(]0\,;\,2[\), \(f'(2)=0\), \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;\,+\infty[\).
3. Tableau de variations :
\(f(2)=2-2\ln 2\approx 0{,}61\)
| \(x\) | \(0^+\) | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(2-2\ln 2\) | ↗ | \(+\infty\) |
4. Signe de f : Le minimum \(f(2)=2-2\ln 2>0\) → \(f(x)>0\) pour tout \(x>0\).
\[x-2\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>2\ln(x)\quad\text{pour tout }x>0\]
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(2x-3)e^x+1\).
Valeurs remarquables : \(f(0)=-2\) · \(f(1)=1-e\approx-1{,}72\)
Dérivée — produit \((uv)'=u'v+uv'\) :
\[f'(x)=2e^x+(2x-3)e^x=e^x(2+2x-3)=(2x-1)e^x\]
Signe de \(f'\) : \(e^x>0\) toujours → signe de \(2x-1\) seul.
Limites :
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0+1=1\) (croissances comparées : \((2x-3)e^x\to 0\)) → AH : \(y=1\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
Tableau de variations : minimum en \(x=\frac{1}{2}\) : \(f\!\left(\frac{1}{2}\right)=(1-3)\sqrt{e}+1=1-2\sqrt{e}\approx-2{,}30\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | 1 | ↘ | \(1-2\sqrt{e}\) | ↗ | \(+\infty\) |
Asymptote horizontale en \(-\infty\) : \(y=1\).
Position : \(f(x)-1=(2x-3)e^x\) · négatif pour \(x<\frac{3}{2}\), nul en \(x=\frac{3}{2}\), positif pour \(x>\frac{3}{2}\).
Points remarquables : \(A(0\,;\,-2)\) · traversée de l'AH en \(\left(\frac{3}{2}\,;\,1\right)\)
Tangente en \(x=0\) : \(f(0)=-2\), \(f'(0)=-1\) → \(T:y=-x-2\)
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\[10pt] k & \text{si } x = 2. \end{cases} \]1. Simplifier l'expression de \(f(x)\) pour \(x \neq 2\).
2. Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(f\) soit continue en \(x = 2\).
3. La fonction \(f\) ainsi définie est-elle dérivable en \(x = 2\) ?
4. Montrer que \(f(x) = 3{,}5\) admet une unique solution sur \([1\,;4]\) et l'encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Simplification. Pour \(x \neq 2\) : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc
\[f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.\]Partie 2 — Valeur de \(k\) pour la continuité.
\[\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.\]On doit avoir \(k = 4\). Avec ce choix, \(f(x) = x+2\) sur tout \(\mathbb{R}\).
Partie 3 — Dérivabilité en \(x = 2\). Pour \(k = 4\), \(f(x) = x+2\) est une fonction affine, dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f'(x) = 1\). En particulier \(f'(2) = 1\).
Partie 4 — Solution de \(f(x) = 3{,}5\) sur \([1\,;4]\).
- \(f\) est continue sur \([1\,;4]\) (fonction affine).
- \(f\) est strictement croissante (\(f' = 1 > 0\)).
- \(f(1) = 3 < 3{,}5\) et \(f(4) = 6 > 3{,}5\).
Par le théorème de la bijection, l'équation admet une unique solution \(\alpha \in\, ]1\,;\,4[\). Ici \(f(x) = x+2 = 3{,}5 \Leftrightarrow x = 1{,}5\), donc \(1{,}4 \le \alpha \le 1{,}6\).
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0, \\ e^{-x} - 1 & \text{si } x > 0. \end{cases} \]1. Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 0\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x = 0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
4. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(F(0) = 2\).
5. Montrer que \(|f(x)| \le 2|x|\) pour tout \(x \in [-1\,;0]\) par l'inégalité des accroissements finis.
Partie 1 — Continuité en 0.
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(x^2+2x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(e^{-x}-1) = 0\).
Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 0.
Partie 2 — Dérivabilité en 0.
\(f'_g(0) = (2x+2)\big|_{x=0} = 2\) et \(f'_d(0) = (-e^{-x})\big|_{x=0} = -1\).
Comme \(2 \neq -1\) : \(f\) est non dérivable en 0. Point anguleux, demi-tangentes de pentes \(2\) et \(-1\).
Partie 3 — Dérivée sur chaque intervalle.
Sur \(]-\infty\,;0[\) : \(f'(x) = 2x + 2\). Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f'(x) = -e^{-x}\).
En \(x=0\), la dérivée n'est pas définie.
Partie 4 — Primitive sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(f(x) = e^{-x} - 1\). Primitivons terme à terme :
- \(e^{-x}\) : forme \(u'e^u\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) → primitive \(-e^{-x}\).
- \(-1\) → primitive \(-x\).
Condition \(F(0) = 2\) : \(-1 + C = 2\), donc \(C = 3\).
\[F(x) = -e^{-x} - x + 3.\]Vérification : \(F'(x) = e^{-x} - 1 = f(x)\).
Partie 5 — Inégalité des accroissements finis.
Sur \([-1\,;0]\) : \(f'(x) = 2x+2\). Pour \(x \in [-1\,;0]\) : \(0 \le f'(x) \le 2\), donc \(|f'(x)| \le 2\).
La forme majoration avec \(a=0\), \(b=x \in [-1\,;0]\) donne :
\[|f(x) - f(0)| \le 2|x - 0|, \quad \text{soit} \quad |f(x)| \le 2|x|,\]puisque \(f(0) = 0\).
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).