Terminale S2-S4-S5 · Leçon 1
Fonctions numériques
Exercices corrigés
Domaine de définition d'une fonction
Exercice 1 — Domaine de définition d'une fonction
Déterminer le domaine de définition $D_f$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$
2. $g(x) = \sqrt{2x - 6}$
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- Domaine de $f(x) = \dfrac{3x+1}{x-2}$ : Le dénominateur ne doit pas s'annuler : $$x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$$ $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} = \left]-\infty\,;\,2\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[$$
- Domaine de $g(x) = \sqrt{2x-6}$ : La racine est définie seulement si l'expression sous le radical est $\geq 0$ : $$2x - 6 \geq 0 \iff x \geq 3$$ $$D_g = \left[3\,;\,+\infty\right[$$
Calcul de dérivées usuelles
Exercice 2 — Calcul de dérivées usuelles
Calculer la dérivée $f'(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$
2. $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$
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- Dérivée de $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ : On dérive terme à terme avec $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $$\boxed{f'(x) = 9x^2 - 10x + 2}$$
- Dérivée de $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ avec $(uv)' = u'v + uv'$ : $$u' = 2 \qquad v' = 2x$$ $$f'(x) = 2(x^2-3)+(2x+1)(2x) = 2x^2-6+4x^2+2x$$ $$\boxed{f'(x) = 6x^2 + 2x - 6}$$
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Exercice 1 — Propriétés du logarithme
Simplifier chacune des expressions suivantes :
1. $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$
2. $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)$
3. $C = \ln(e^3) + \ln\!\left(\dfrac{1}{e}\right)$
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- $A = \ln 6 + \ln 5 - \ln 30$ : $$A = \ln(6 \times 5) - \ln 30 = \ln 30 - \ln 30 = \boxed{0}$$
- $B = 3\ln 2 - \ln 4 + \ln\frac{1}{2}$ : $$B = \ln 8 - \ln 4 + \ln 2^{-1} = \ln\frac{8}{4} - \ln 2 = \ln 2 - \ln 2 = \boxed{0}$$
- $C = \ln(e^3) + \ln(e^{-1})$ : $$C = 3\ln e + (-1)\ln e = 3 - 1 = \boxed{2}$$
Dérivées de fonctions exponentielles composées
Exercice 7 — Dérivées de fonctions exponentielles composées
En utilisant $(e^{u(x)})' = u'(x)\,e^{u(x)}$, calculer la dérivée de :
1. $f(x) = e^{3x+2}$
2. $g(x) = e^{x^2 - 1}$
3. $h(x) = e^{-x/2} + 2x$
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- $f(x) = e^{3x+2}$ : $u'=3$ → $\boxed{f'(x) = 3e^{3x+2}}$
- $g(x) = e^{x^2-1}$ : $u'=2x$ → $\boxed{g'(x) = 2x\,e^{x^2-1}}$
- $h(x) = e^{-x/2}+2x$ : $u'=-\frac{1}{2}$ → $\boxed{h'(x) = -\tfrac{1}{2}e^{-x/2}+2}$
Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et de $\dfrac{u'}{u}$
Exercice 10 — Primitives de $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{u'}{u}$
On rappelle : $\displaystyle\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$.
1. $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$
2. $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$
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- $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$ : $\boxed{3\ln x + C}$ (sur $]0\,;+\infty[$)
- $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx$ : Forme $\frac{u'}{u}$ avec $u=x^2+5$, $u'=2x$ → $\boxed{\ln(x^2+5)+C}$
- $\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx$ : Poser $u=\ln x$, $du=\frac{dx}{x}$ → $\displaystyle\int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \boxed{\frac{1}{2}}$
Primitives usuelles — tableau de référence
Exercice 1 — Primitives usuelles
Déterminer une primitive $F(x)$ de chacune des fonctions suivantes :
1. $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$
2. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
3. $f(x) = \cos x + 2\sin x$
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- Primitive de $4x^3 - 2x + 5$ : On intègre terme à terme en utilisant $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $$\boxed{F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C}$$
- Primitive de $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ : $$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = \boxed{-\frac{1}{x} + C}$$
- Primitive de $\cos x + 2\sin x$ : $$\boxed{F(x) = \sin x - 2\cos x + C}$$
Prolongement par continuité
Exercice 2 — Prolongement par continuité
Soit $g(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$. Déterminer le prolongement par continuité de $g$ en $0$.
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- Forme indéterminée
En $x=0$, $g$ prend la forme $\frac{0}{0}$ : il faut lever l'indétermination. - Quantité conjuguée
$$g(x) = \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.$$ - Limite et conclusion
$\lim_{x\to 0} g(x) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$. Le prolongement par continuité est $\tilde g(0) = \dfrac{1}{2}$.
Dérivée d'une fonction composée
Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée de $f(x) = (2x+1)^5$.
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- Reconnaître la forme $u^n$
$f = u^5$ avec $u(x)=2x+1$, donc $u'(x)=2$. - Formule de dérivation composée
$$f'(x) = 5\,u'(x)\,u(x)^4 = 5\times2\times(2x+1)^4.$$ - Résultat
$f'(x) = 10(2x+1)^4$.
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Asymptotes d'une fonction rationnelle
Exercice 2 — Asymptotes
Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.
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- Réécriture
$$f(x) = \frac{(x+1)-3}{x+1} = 1-\frac{3}{x+1}.$$ - Asymptote verticale
En $x=-1$ (le dénominateur s'annule) : asymptote $x=-1$. - Asymptote horizontale
Quand $x\to\pm\infty$, $\dfrac{3}{x+1}\to0$, donc $f(x)\to1$ : asymptote $y=1$.
Sens de variation et tableau de variations
Exercice 3 — Sens de variation et tableau de variations
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Dresser le tableau de variations complet de $f$.
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- Calcul de $f'(x)$ : $$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$$ Les solutions de $f'(x) = 0$ sont $\boxed{x = 1}$ et $\boxed{x = 2}$.
- Signe de $f'(x) = 6(x-1)(x-2)$ :
— Sur $]-\infty\,;\,1[$ : $f'(x) > 0$ · Sur $]1\,;\,2[$ : $f'(x) < 0$ · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'(x) > 0$ - Valeurs critiques :
$f(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1$ · $f(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0$
Tableau de variations :
$f$ admet un maximum local de 1 en $x=1$ et un minimum local de 0 en $x=2$.$x$ $-\infty$ $1$ $2$ $+\infty$ $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $f(x)$ $-\infty$ ↗ $1$ ↘ $0$ ↗ $+\infty$
Dérivée et variations de fonctions logarithmiques
Exercice 3 — Dérivée et variations
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x - 2\ln x$.
1. Calculer $f'(x)$ et résoudre $f'(x) = 0$.
2. Dresser le tableau de variations de $f$.
3. En déduire le minimum de $f$ et montrer que $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$.
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- Dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$$ $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
- Tableau de variations :
Sur $]0\,;\,2[$ : $f'<0$ → décroissante · Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $f'>0$ → croissante
Minimum en $x=2$. - Minimum :
$f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614$
Donc $f(x) \geq 2 - 2\ln 2$ pour tout $x > 0$, avec égalité seulement en $x=2$.
Étude complète de $f(x) = xe^x$
Exercice 4 — Étude de $f(x) = xe^x$
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$. Étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations complet.
4. Équation de la tangente en $x = 0$.
Étude de $f(x) = x^2 \ln x$ — variations et intégration
Exercice 11 — Étude de $f(x) = x^2\ln x$
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x^2\ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$. (Admettre que $x^2\ln x \to 0$.)
2. Calculer $f'(x)$ avec $(uv)' = u'v+uv'$.
3. Dresser le tableau de variations. Préciser le minimum.
4. Calculer $\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx$ par intégration par parties.
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- Limite : $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^2\ln x = 0$ (admis). On prolonge $f$ par $f(0)=0$.
- Dérivée : $u=x^2$, $v=\ln x$ → $u'=2x$, $v'=\frac{1}{x}$ $$f'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\ln x+1)$$
- Variations :
$f'(x)=0 \Leftrightarrow \ln x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
Minimum : $f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e}$ - Intégration par parties : $u=\ln x$, $v'=x^2$ → $v=\frac{x^3}{3}$ $$\int_1^e x^2\ln x\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e - \frac{1}{3}\int_1^e x^2\,dx = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3-1}{9} = \boxed{\frac{2e^3+1}{9}}$$
Existence et encadrement d'une solution
Exercice 3 — Existence et encadrement d'une solution
Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;1[$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
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- Continuité et signe aux bornes
$f(x) = x^3+x-1$ est continue sur $[0;1]$ (polynôme). $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. - Stricte monotonie
$f'(x) = 3x^2+1 > 0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. - Conclusion (TVI + monotonie)
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ s'annule au moins une fois sur $]0;1[$ ; la stricte monotonie garantit l'unicité. Il existe donc un unique $\alpha \in ]0;1[$ tel que $f(\alpha)=0$. - Encadrement
$f(0{,}6) = 0{,}216+0{,}6-1 = -0{,}184 < 0$ et $f(0{,}7) = 0{,}343+0{,}7-1 = 0{,}043 > 0$. Donc $\alpha \in ]0{,}6\,;0{,}7[$.
Croissance exponentielle — modélisation — type Bac
Exercice 5 — Modélisation et croissance exponentielle
La population d'une ville du Burkina Faso était de 80 000 habitants en 2010. On modélise son évolution par $P(t) = 80\,000 \times e^{kt}$, où $t$ est le nombre d'années depuis 2010. En 2020, la population était de 100 000 habitants.
1. Déterminer $k$ (valeur approchée à $10^{-4}$ près). ($\ln(1{,}25) \approx 0{,}2231$)
2. Calculer $P'(t)$ et interpréter son signe.
3. En quelle année la population dépassera-t-elle 150 000 habitants ?
4. Montrer que la population double en un temps $T$ constant. Calculer $T$.
5. Calculer la population moyenne sur $[0\,;\,10]$.
Étude de $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$ — niveau Bac
Exercice 6 — Étude complète mêlant $\ln$ et $\exp$ — niveau Bac
Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = (x-1)e^x + \ln x$.
1. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = xe^x + \dfrac{1}{x}$.
3. Montrer que $f'(x) > 0$ pour tout $x > 0$. Variations de $f$.
4. Montrer que $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. L'encadrer.
5. Dresser le tableau de signes de $f$.
Étude paramétrique et inégalités classiques — niveau Bac
Exercice 9 — Étude paramétrique et inégalités
Pour tout $a > 0$, on définit $f_a(x) = \ln x - ax + 1$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f_a'(x)$ et trouver $x_a = \text{argmax}\ f_a$.
2. Montrer que le maximum de $f_a$ est $M(a) = 1 - \ln a$.
3. Pour $a=1$, montrer que $\ln x \leq x-1$ pour tout $x > 0$.
4. En déduire $e^t \geq t+1$ pour tout $t \in \mathbb{R}$.
5. Encadrer $\ln 2$ à $0{,}1$ près.
Comparaisons de croissance — $\ln$ face à $\exp$ — niveau Bac
Exercice 12 — Comparaisons de croissance
Partie A — Soit $f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
1. Calculer $f'(x)$. Variations de $f$.
2. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$.
3. En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$.
Partie B — Soit $g(x) = x^2 e^{-x}$.
4. Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.
5. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x} = 0$.
Une application astucieuse du TVI
Exercice 4 — Une application astucieuse du TVI (corde horizontale)
Soit $f$ continue sur $[0;1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0\,; \tfrac12]$ tel que $f(c) = f\!\left(c+\tfrac12\right)$.
Point fixe de la fonction cosinus
Exercice 5 — Point fixe de la fonction cosinus
On considère $f(x) = \cos x - x$ sur $[0\,;\pi]$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$, puis donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
Prolongement puis image d'un intervalle
Exercice 6 — Prolongement puis image d'un intervalle
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x-1}$. Déterminer le prolongement par continuité $\tilde f$ de $f$ en $1$, puis calculer $\tilde f([-2\,;1])$.
Encadrement par l'IAF
Exercice 4 — Encadrement par l'inégalité des accroissements finis
En utilisant l'IAF appliquée à $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[121\,;122]$, donner un encadrement de $\sqrt{122}$.
Majoration à l'aide de l'IAF
Exercice 5 — Majoration à l'aide de l'IAF
Soit $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ telle que $f'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ pour tout $x\ge0$, et $f(0)=0$. Montrer que pour tout $x \ge 0$, $f(x) \le x$.
Primitive d'une forme $u'e^u$
Exercice 6 — Primitive d'une forme $u'e^u$
Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = (2x-2)e^{x^2-2x+3}$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(1)=5$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Domaine et limites d'une composée avec racine
Exercice 5 — Domaine et limites
Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.