Seconde A · Leçon 4
Statistique descriptive
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- Séries statistiques à une variable (simples) : effectifs cumulés, fréquences cumulées
- Déterminer les effectifs cumulés et les fréquences cumulées d’une série statistique
- Limite : on se limite au cas discret
- Caractéristiques de position : mode, moyenne, médiane
- Définir ces caractéristiques de position
- Interpréter les caractéristiques de position
- Caractéristiques de dispersion : variance, écart-type, écart moyen, étendue
- Définir ces caractéristiques de dispersion
- Interpréter les caractéristiques de dispersion
- Tableaux statistiques
- Représentations graphiques d’une distribution statistique : diagramme en bâtons, secteurs circulaires, diagrammes à bandes, courbes cumulatives
- Exploiter la représentation graphique d’une série statistique
- Tracer les courbes cumulatives d’une série statistique et les exploiter
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Statistiques : vocabulaire, effectifs, fréquences, classes
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Voir les offresPopulation : ensemble étudié. Caractère : propriété observée. Effectif d'une valeur : nombre d'individus qui la présentent. Fréquence : effectif divisé par l'effectif total. Effectif (ou fréquence) cumulé : somme des effectifs (ou fréquences) des valeurs inférieures ou égales.
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Voir les offresParamètres de position : mode, moyenne, médiane
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Voir les offresParamètres de dispersion : étendue, écart moyen, variance, écart-type
En statistique, connaître seulement une valeur centrale ne suffit pas. Deux séries peuvent avoir la même moyenne, mais être très resserrées ou au contraire très étalées. Les paramètres de dispersion servent justement à mesurer cet étalement des données autour de la moyenne ou entre les valeurs extrêmes. Ils t'aident à interpréter si une série est homogène, régulière ou dispersée.
On considère une série statistique discrète à une variable, prenant les valeurs \(x_1, x_2, \dots, x_p\), avec des effectifs \(n_1, n_2, \dots, n_p\). L'effectif total est \(N=n_1+n_2+\cdots+n_p\). Si besoin, on utilise d'abord la moyenne de la série :
\[\bar x=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}.\]
L'étendue de la série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur :
\[E=x_{\max}-x_{\min}.\]
Elle mesure l'écart global entre les extrêmes. C'est l'indicateur le plus simple, mais il ne tient compte que de deux valeurs : la plus petite et la plus grande.
L'écart moyen est la moyenne des distances entre les valeurs de la série et la moyenne \(\bar x\) :
\[d=\frac{n_1|x_1-\bar x|+n_2|x_2-\bar x|+\cdots+n_p|x_p-\bar x|}{N}.\]
On prend des valeurs absolues pour mesurer des distances positives. L'écart moyen indique en moyenne de combien les données s'éloignent de la moyenne.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne :
\[V=\frac{n_1(x_1-\bar x)^2+n_2(x_2-\bar x)^2+\cdots+n_p(x_p-\bar x)^2}{N}.\]
Comme on élève au carré, les grands écarts comptent davantage que les petits. La variance mesure donc la dispersion en donnant un poids plus important aux valeurs très éloignées de la moyenne.
L'écart-type, noté souvent \(\sigma\), est la racine carrée de la variance :
\[\sigma=\sqrt{V}.\]
L'écart-type est très utilisé car il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance qui est dans une unité au carré.
Les quatre paramètres de dispersion sont toujours positifs ou nuls. En effet, l'étendue est une différence entre une valeur maximale et une valeur minimale, donc elle ne peut pas être négative. De même, dans l'écart moyen on additionne des valeurs absolues, et dans la variance on additionne des carrés : ces quantités sont donc toujours positives ou nulles.
Si toutes les valeurs de la série sont égales, alors il n'y a aucune dispersion. Dans ce cas, on a en même temps :
\[E=0,\quad d=0,\quad V=0,\quad \sigma=0.\]
Réciproquement, si l'écart-type vaut 0, cela signifie que tous les écarts à la moyenne sont nuls, donc que toutes les valeurs sont égales à la moyenne. Une série d'écart-type nul est donc une série parfaitement uniforme.
Plus l'étendue, l'écart moyen ou l'écart-type sont grands, plus la série est dispersée. À l'inverse, des valeurs petites indiquent une série resserrée autour de la moyenne. Il faut cependant bien distinguer le rôle de chaque indicateur :
- L'étendue dépend seulement des deux valeurs extrêmes ; elle est très sensible à une valeur isolée très grande ou très petite.
- L'écart moyen utilise toutes les données et traduit une distance moyenne à la moyenne.
- La variance et l'écart-type utilisent aussi toutes les données, mais les grands écarts influencent davantage le résultat à cause du carré.
Pour l'interprétation des unités, retiens ceci : l'étendue, l'écart moyen et l'écart-type s'expriment dans la même unité que la série. Par exemple, si les données sont en points, alors \(E\), \(d\) et \(\sigma\) sont en points. En revanche, la variance s'exprime en points carrés, ce qui la rend moins intuitive à lire directement.
Enfin, on peut comparer deux séries ayant la même moyenne : celle dont l'écart-type est le plus grand est la plus dispersée. Cette idée est très utile pour juger la régularité d'une série de notes, de tailles, de durées ou de résultats.
Pour calculer les paramètres de dispersion d'une série statistique discrète :
- Repère les valeurs de la série et, s'il y a un tableau d'effectifs, note chaque valeur \(x_i\) et son effectif \(n_i\).
- Calcule l'effectif total : \(N=n_1+n_2+\cdots+n_p\).
- Calcule la moyenne : \(\bar x=\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+\cdots+n_px_p}{N}\). Comme l'écart moyen, la variance et l'écart-type se calculent à partir de la moyenne, cette étape est indispensable.
- Calcule l'étendue en faisant la différence entre la plus grande valeur et la plus petite : \(E=x_{\max}-x_{\min}\).
- Prépare un tableau de calcul avec, si nécessaire, les colonnes \(x_i\), \(n_i\), \(|x_i-\bar x|\), \(n_i|x_i-\bar x|\), \((x_i-\bar x)^2\) et \(n_i(x_i-\bar x)^2\). Ce tableau évite les oublis et permet de calculer proprement.
- Calcule l'écart moyen en additionnant les quantités \(n_i|x_i-\bar x|\), puis en divisant par \(N\) : \(d=\dfrac{\sum n_i|x_i-\bar x|}{N}\).
- Calcule la variance en additionnant les quantités \(n_i(x_i-\bar x)^2\), puis en divisant par \(N\) : \(V=\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{N}\).
- Calcule l'écart-type : \(\sigma=\sqrt{V}\). Si nécessaire, tu peux donner une valeur approchée au centième.
- Interprète le résultat : un petit écart-type traduit une série peu dispersée ; un grand écart-type traduit une série plus étalée.
Quand les données sont peu nombreuses, tu peux refaire le calcul directement sur la liste des valeurs. Quand la série comporte des effectifs, il faut absolument tenir compte de ces effectifs dans tous les calculs.
Énoncé : On considère la série de quatre valeurs suivantes : 8 ; 10 ; 10 ; 12. Calcule la moyenne, l'étendue, l'écart moyen, la variance et l'écart-type. Interprète les résultats.
Solution : La série comporte \(N=4\) valeurs.
Commençons par la moyenne :
\[\bar x=\frac{8+10+10+12}{4}=\frac{40}{4}=10.\]
L'étendue vaut :
\[E=12-8=4.\]
Calculons ensuite les écarts à la moyenne \(10\).
| Valeur | Écart à la moyenne | Valeur absolue | Carré |
|---|---|---|---|
| 8 | \(8-10=-2\) | \(|-2|=2\) | \((-2)^2=4\) |
| 10 | \(10-10=0\) | \(|0|=0\) | \(0^2=0\) |
| 10 | \(10-10=0\) | \(|0|=0\) | \(0^2=0\) |
| 12 | \(12-10=2\) | \(|2|=2\) | \(2^2=4\) |
Somme des valeurs absolues : \(2+0+0+2=4\). Donc l'écart moyen est :
\[d=\frac{4}{4}=1.\]
Somme des carrés des écarts : \(4+0+0+4=8\). Donc la variance est :
\[V=\frac{8}{4}=2.\]
L'écart-type vaut alors :
\[\sigma=\sqrt{2}.\]
Une valeur approchée est :
\[\sigma\approx 1{,}41.\]
Interprétation : La moyenne de la série est 10. Les valeurs s'écartent en moyenne de 1 unité de cette moyenne. L'écart-type, voisin de 1,41, montre que la série est assez resserrée autour de 10. L'étendue vaut 4, ce qui signifie qu'entre la plus petite et la plus grande valeur, il y a 4 unités d'écart.
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Voir les offresPremier piège : oublier les valeurs absolues dans l'écart moyen. Si tu calcules la moyenne des écarts simples \((x_i-\bar x)\), les écarts négatifs et positifs se compensent souvent. Par exemple, dans la série 8 ; 10 ; 10 ; 12 de moyenne 10, on obtient :
\[(8-10)+(10-10)+(10-10)+(12-10)=-2+0+0+2=0.\]
Si on divisait par 4, on trouverait 0, ce qui serait absurde puisque la série n'est pas composée de valeurs toutes égales. C'est pour cela qu'on prend :
\[|x_i-\bar x|\]
dans l'écart moyen.
Deuxième piège : confondre variance et écart-type. L'écart-type n'est pas la variance : c'est sa racine carrée. Si \(V=2\), alors \(\sigma=\sqrt{2}\) et non \(2\). Cette différence est importante, car l'écart-type s'exprime dans la même unité que les données, alors que la variance est dans une unité au carré.
Troisième piège : oublier les effectifs. Si une valeur apparaît plusieurs fois, elle doit compter plusieurs fois dans les calculs. Dans une série donnée par un tableau, il faut toujours multiplier par l'effectif correspondant.
Quand la série est donnée sous forme de tableau, prends l'habitude de construire immédiatement un tableau de calcul avec les colonnes \(x_i\), \(n_i\), \(n_ix_i\), \(n_i|x_i-\bar x|\) et \(n_i(x_i-\bar x)^2\). Ce réflexe te fait gagner du temps et limite les erreurs. Une autre astuce utile est de remarquer les symétries : si des valeurs sont à la même distance de la moyenne, alors leurs contributions à l'écart moyen et à la variance sont identiques. Tu peux donc regrouper ces calculs au lieu de les refaire séparément. Enfin, pour interpréter rapidement une série, regarde toujours ensemble la moyenne et l'écart-type : la moyenne indique le centre, l'écart-type indique l'étalement autour de ce centre.
Représentations graphiques (bâtons, circulaire, histogramme)
Diagramme en bâtons : une barre par valeur, hauteur = effectif. Diagramme circulaire : secteurs proportionnels aux effectifs. Histogramme : pour des données en classes, l'aire de chaque rectangle (pas seulement sa hauteur) doit être proportionnelle à l'effectif de la classe — attention si les classes n'ont pas toutes la même largeur.
Figure — Diagramme en bâtons (nombre de frères et sœurs)
La barre la plus haute (valeur 1, effectif 7) donne le mode directement.
Résumé
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