Seconde A · Leçon 1
Calculs dans ℝ
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- Valeur absolue et distance sur la droite réelle
- Définir la notion de valeur absolue
- Utiliser les propriétés de la valeur absolue
- Exprimer la distance de deux points de la droite réelle à l’aide de la valeur absolue
- Interpréter l’intervalle de centre a et de rayon r en terme de distance, en terme de valeur absolue
- Déterminer l’intersection et la réunion d’intervalles
- Majorant, minorant, maximum, minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner la définition de majorant et de minorant d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner des exemples de majorants et de minorants d’un sous-ensemble de ℝ
- Donner la définition du maximum et du minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Déterminer s’il existe le maximum, le minimum d’un sous-ensemble de ℝ
- Calcul approché : approximation décimale d’ordre n, encadrement d’un nombre réel
- Déterminer l’arrondi d’ordre n d’un réel
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Intervalles, valeur absolue et distance
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue \(|x|\) vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Sur la droite numérique, \(|x|\) est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine ; plus généralement, \(|b-a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — |x - a| ≤ r
Le point est vert si |x-3| ≤ 5, rouge sinon.
Langage des ensembles (inclusion, réunion, intersection, complémentaire)
En mathématiques comme dans la vie courante, on regroupe souvent des objets qui ont une propriété commune : les élèves d'une classe, les nombres pairs inférieurs à 20, les jours de la semaine. Le langage des ensembles donne des mots et des symboles précis pour décrire ces regroupements, les comparer et les combiner. Il sert ensuite à compter sans erreur, c'est le dénombrement, et plus tard à calculer des probabilités.
Un ensemble est une collection d'objets bien déterminés, appelés ses éléments. On note souvent un ensemble par une lettre majuscule et on écrit ses éléments entre accolades : \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\).
- Si \(x\) est un élément de \(E\), on écrit \(x\in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) ») ; sinon on écrit \(x\notin E\). Ici \(4\in E\) et \(7\notin E\).
- L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté \(\varnothing\).
- On dit que \(A\) est inclus dans \(E\), et on écrit \(A\subset E\), lorsque tout élément de \(A\) est aussi un élément de \(E\). On dit alors que \(A\) est une partie, ou un sous-ensemble, de \(E\). Par exemple \(\{2\,;4\,;6\}\subset E\).
Le symbole \(\in\) relie un élément et un ensemble, alors que \(\subset\) relie deux ensembles : on écrit \(2\in E\) mais \(\{2\}\subset E\).
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\).
- L'intersection de \(A\) et \(B\), notée \(A\cap B\) (« \(A\) inter \(B\) »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).
- La réunion de \(A\) et \(B\), notée \(A\cup B\) (« \(A\) union \(B\) »), est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\), c'est-à-dire à au moins l'un des deux.
- Le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(\overline{A}\), est l'ensemble des éléments de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(A\).
Lorsque \(A\cap B=\varnothing\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints : ils n'ont aucun élément commun.
Exemple de lecture : avec \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\), \(A=\{2\,;4\,;6\}\) et \(B=\{4\,;5\,;6\}\), on obtient \(A\cap B=\{4\,;6\}\), \(A\cup B=\{2\,;4\,;5\,;6\}\) et \(\overline{A}=\{1\,;3\,;5\}\).
Pour toutes parties \(A\) et \(B\) d'un ensemble \(E\) :
- \(A\cap B\subset A\) et \(A\cap B\subset B\) : ce qui est commun à \(A\) et \(B\) est dans chacun des deux.
- \(A\subset A\cup B\) et \(B\subset A\cup B\).
- \(A\cap B=B\cap A\) et \(A\cup B=B\cup A\) : l'ordre des ensembles n'a pas d'importance.
- \(A\cap\overline{A}=\varnothing\) et \(A\cup\overline{A}=E\) : un élément de \(E\) est soit dans \(A\), soit dans son complémentaire, jamais dans les deux.
- \(\overline{\overline{A}}=A\) : le complémentaire du complémentaire de \(A\) est \(A\).
Ces propriétés se voient sur un diagramme de Venn : on représente \(E\) par un rectangle, \(A\) et \(B\) par deux disques qui se chevauchent. La zone commune aux deux disques représente \(A\cap B\), l'ensemble des deux disques représente \(A\cup B\), et la partie du rectangle située hors du disque \(A\) représente \(\overline{A}\).
Pour traduire une phrase du langage courant :
- Repère l'ensemble de référence \(E\), c'est-à-dire tous les objets dont on parle, et nomme les parties utiles \(A\), \(B\) en disant précisément ce qu'elles contiennent.
- Traduis les mots clés : « et » donne une intersection \(\cap\) ; « ou » donne une réunion \(\cup\), au sens de « l'un ou l'autre ou les deux » ; « ne … pas » donne un complémentaire.
- « Au moins un des deux » correspond à \(A\cup B\) ; « aucun des deux » correspond à \(\overline{A\cup B}\) ; « un seul des deux » correspond aux éléments de \(A\cup B\) qui ne sont pas dans \(A\cap B\).
- « Au plus un des deux » signifie « zéro ou un seul », c'est-à-dire « pas les deux à la fois » : cela correspond au complémentaire de l'intersection, \(\overline{A\cap B}\). À l'inverse, « au moins un » exclut seulement le cas « aucun ».
- Contrôle ta traduction sur un diagramme de Venn en hachurant la zone obtenue.
Par exemple, dans une classe \(E\), si \(A\) est l'ensemble des élèves qui jouent au football et \(B\) celui des élèves qui jouent au basket, « les élèves qui pratiquent au moins un de ces deux sports » s'écrit \(A\cup B\), et « les élèves qui ne pratiquent aucun de ces deux sports » s'écrit \(\overline{A\cup B}\).
Énoncé : On considère \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\,;9\,;10\}\), \(A\) l'ensemble des nombres pairs de \(E\) et \(B\) l'ensemble des multiples de \(3\) de \(E\). Écris \(A\), \(B\), \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(\overline{A}\) en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de leurs éléments.
Solution : Les nombres pairs de \(E\) sont \(2\), \(4\), \(6\), \(8\) et \(10\), donc \(A=\{2\,;4\,;6\,;8\,;10\}\). Les multiples de \(3\) de \(E\) sont \(3\), \(6\) et \(9\), donc \(B=\{3\,;6\,;9\}\).
\(A\cap B\) contient les nombres à la fois pairs et multiples de \(3\) : seul \(6\) convient, donc \(A\cap B=\{6\}\).
\(A\cup B\) contient les nombres pairs ou multiples de \(3\) : on réunit les deux listes sans écrire deux fois \(6\), donc \(A\cup B=\{2\,;3\,;4\,;6\,;8\,;9\,;10\}\).
\(\overline{A}\) contient les éléments de \(E\) qui ne sont pas pairs : \(\overline{A}=\{1\,;3\,;5\,;7\,;9\}\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresDans la vie courante, « fromage ou dessert » signifie souvent « l'un ou l'autre, mais pas les deux ». En mathématiques, le « ou » est inclusif : un élément de \(A\cup B\) peut appartenir aux deux ensembles à la fois.
Contre-exemple : avec \(A=\{2\,;4\,;6\}\) et \(B=\{4\,;5\,;6\}\), certains élèves écrivent \(A\cup B=\{2\,;5\}\) en retirant les éléments communs. C'est faux : \(4\) et \(6\) appartiennent à \(A\), donc ils appartiennent à \(A\cup B\). La bonne réponse est \(A\cup B=\{2\,;4\,;5\,;6\}\). L'ensemble \(\{2\,;5\}\) correspond à « un seul des deux », ce qui est une autre question.
Autre erreur fréquente : écrire \(2\subset A\) au lieu de \(2\in A\). Un nombre est un élément, pas un ensemble ; en revanche on peut écrire \(\{2\}\subset A\).
Avant de répondre, dessine un diagramme de Venn, même rapide, et place chaque élément dans la bonne zone : dans les deux ensembles, seulement dans \(A\), seulement dans \(B\), ou hors des deux. Chaque question revient alors à lire une ou plusieurs zones du dessin. Tu évites ainsi d'oublier un élément ou de l'écrire deux fois, et tu peux vérifier que toutes les zones réunies redonnent bien l'ensemble \(E\).
Majorants, minorants, maximum et minimum d'une partie de ℝ
Soit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \le M\). Un réel \(m\) est un minorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \ge m\).
Si un majorant de \(E\) appartient à \(E\), c'est le plus grand élément (ou maximum, noté \(\max E\)) de \(E\). De même pour le minorant appartenant à \(E\) : c'est le plus petit élément (minimum, \(\min E\)).
Au programme de Seconde, on ne cherche pas systématiquement tous les majorants ou minorants d'un ensemble : on sait vérifier qu'un réel donné en est un. La démarche : prendre un élément quelconque \(x\) de \(E\) et montrer l'inégalité voulue par le calcul.
Exemple. Soit \(E = \{x \in \mathbb{R}\ /\ 1 \le x \le 4\}\). Le réel \(10\) est-il un majorant de \(E\) ? Oui : tout \(x \in E\) vérifie \(x \le 4 \le 10\). Le réel \(3\) est-il un majorant de \(E\) ? Non : \(x = 3{,}5\) appartient à \(E\) et \(3{,}5 > 3\), donc \(3\) ne majore pas \(E\).
Ici, \(4\) est un majorant de \(E\) et \(4 \in E\) : c'est donc le maximum de \(E\), \(\max E = 4\). De même \(\min E = 1\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Facile. \(E = \{2, 5, -1, 8\}\) : \(8\) est un majorant (et le maximum, car \(8 \in E\)) ; \(-1\) est un minorant (et le minimum).
Intermédiaire. \(E = \,]0\,;\,3[\) : \(3\) est un majorant de \(E\), mais \(3 \notin E\), donc \(E\) n'a pas de maximum. De même \(0\) est un minorant sans être le minimum.
Encadrements et valeurs approchées
Une valeur approchée de \(x\) à une précision \(10^{-n}\) est un réel \(a\) tel que \(|x-a|\le10^{-n}\). La valeur approchée par défaut est inférieure ou égale à \(x\) ; par excès, supérieure ou égale.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
L'ordre se conserve par addition et par multiplication par un positif ; il s'inverse par multiplication par un négatif, par passage à l'inverse (positifs). Ne jamais multiplier une inégalité par un signe inconnu.
\(|b-a|\) = distance entre \(a\) et \(b\). \(|x-a|<r \iff x\in\,]a-r;a+r[\). Inégalité triangulaire : \(|x+y|\le|x|+|y|\).
On sait vérifier qu'un réel donné majore/minore un ensemble. Un majorant qui appartient à l'ensemble en est le maximum.
Somme : additionner les bornes de même sens. Différence : soustraire en croisant. Produit et quotient de réels strictement positifs uniquement.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSujet type devoir
On donne les encadrements \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}43\) et \(2{,}23 \le \sqrt{5} \le 2{,}25\). Les questions suivantes sont progressives.
Question 1. Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\), puis \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Somme : on additionne les bornes de même sens : \(1{,}41+2{,}23 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 1{,}43+2{,}25\), soit \(3{,}64 \le \sqrt{2}+\sqrt{5} \le 3{,}68\).
Différence : on soustrait en croisant les bornes (minorant de \(\sqrt5\) moins majorant de \(\sqrt2\), puis majorant de \(\sqrt5\) moins minorant de \(\sqrt2\)) : \(2{,}23 - 1{,}43 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 2{,}25-1{,}41\), soit \(0{,}80 \le \sqrt5-\sqrt2 \le 0{,}84\).
Question 2. En déduire un encadrement de \(\sqrt{2}\times\sqrt{5}\) à l'aide des mêmes données.
\(\sqrt2\) et \(\sqrt5\) sont strictement positifs, on peut donc encadrer leur produit en multipliant les bornes de même sens :
\[ 1{,}41 \times 2{,}23 \le \sqrt2\times\sqrt5 \le 1{,}43\times 2{,}25 \]soit \(3{,}1443 \le \sqrt{10} \le 3{,}2175\) (on a utilisé \(\sqrt2\times\sqrt5=\sqrt{10}\), résultat cohérent puisque \(\sqrt{10}\approx 3{,}162\)).
Question 3. Soit \(E = \left\{\dfrac{1}{n}\ /\ n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Le réel \(1\) est-il un majorant de \(E\) ? Le réel \(0\) est-il un minorant de \(E\) ? \(E\) admet-il un maximum ?
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n \le 1\) (avec égalité pour \(n=1\)) : \(1\) est un majorant de \(E\), et comme \(1 \in E\) (pour \(n=1\)), c'est le maximum : \(\max E = 1\).
Pour tout \(n \ge 1\), \(\dfrac1n > 0\) : \(0\) est bien un minorant de \(E\). Mais \(0\) n'appartient jamais à \(E\) (aucun \(n\) ne donne \(\frac1n=0\)), donc \(E\) n'a pas de minimum.
Question 4. Sachant \(|x-3| \le 0{,}2\), majorer \(|x^2-9|\).
On factorise : \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), donc \(|x^2-9|=|x-3|\times|x+3|\).
De \(|x-3|\le 0{,}2\), on tire \(2{,}8 \le x \le 3{,}2\), donc \(5{,}8 \le x+3 \le 6{,}2\), soit \(|x+3|\le 6{,}2\).
Donc \(|x^2-9| = |x-3|\times|x+3| \le 0{,}2\times 6{,}2 = \mathbf{1{,}24}\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offres