Seconde A · Leçon 3
Fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (20 points)
- Étude de fonctions usuelles
- Fonctions affines par intervalles, valeur absolue
- Fonctions : x ↦ x² ; x ↦ √x ; x ↦ 1/x ; x ↦ x³
- Fonctions polynômes du second degré : zéros, factorisation, forme canonique et signe
- Fonctions rationnelles : zéros, signe
- Définir une fonction affine par intervalles
- Représenter point par point les fonctions usuelles
- Exploiter les représentations graphiques de ces fonctions pour dégager certaines de leurs propriétés (domaine de définition, sens de variation, parité, extremums)
- Déterminer la forme canonique, la factorisation, le signe d’une fonction polynôme du second degré
- Déterminer le domaine de définition, les zéros et le signe d’une fonction homographique
- Limite : pour les fonctions rationnelles, on se limite au cas des fonctions homographiques
- Propriétés des fonctions numériques : parité
- Maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle
- Fonctions croissantes, décroissantes, constantes sur un intervalle
- Opérations sur les fonctions
- Étudier la parité d’une fonction
- Déterminer si possible le maximum, le minimum d’une fonction sur un intervalle
- Déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
- Déterminer la somme, la différence, le produit, le quotient et la composée de deux fonctions
- Limite : pour la parité, les extrema et le sens de variation, on se limite aux fonctions usuelles, aux fonctions polynômes du second degré et aux fonctions homographiques
Source : Programme de mathématiques, classe de Seconde A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonctions de référence : carré, cube, racine carrée, inverse
Sa courbe est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\). Si \(a>0\) : croissante sur \(\mathbb R\). Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante.
Pour tracer la droite connaissant un point \(A(x_0;y_0)\) et le coefficient directeur \(a\) : partir de \(A\), avancer de \(1\) en abscisse et de \(a\) en ordonnée pour obtenir un second point.
Courbe en forme de parabole, minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
Fonction affine et fonctions affines par intervalle
Une fonction est affine par intervalle si son ensemble de définition se découpe en plusieurs intervalles sur chacun desquels elle est affine (mais pas nécessairement avec les mêmes coefficients \(a\) et \(b\) d'un intervalle à l'autre). Sa courbe est une ligne brisée.
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La pente change à x = 10 : c'est le point de cassure de la fonction affine par intervalle.
Intervalles, valeur absolue et distance
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue \(|x|\) vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Sur la droite numérique, \(|x|\) est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine ; plus généralement, \(|b-a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(a\) et \(b\).
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Le point est vert si |x-3| ≤ 5, rouge sinon.
Trinôme du second degré : forme canonique
Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :
\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).
\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.
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Voir les offresSigne du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
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Fractions rationnelles : décomposition, simplification
Une fraction rationnelle est une expression de la forme « polynôme sur polynôme ». Tu en rencontres dès qu’une inconnue apparaît au dénominateur, par exemple dans des calculs algébriques, des études de signe ou des fonctions homographiques. Savoir la simplifier et la décomposer permet de mieux voir son domaine de définition, ses zéros, son signe et, plus tard, d’étudier plus facilement la fonction qu’elle définit.
Soient deux polynômes A et B, avec B non nul. On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\). Elle définit une fonction pour toutes les valeurs de \(x\) qui ne rendent pas le dénominateur nul.
Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels \(x\) tels que \(B(x)\neq 0\). On le note souvent \(D\) ou \(D_f\). Trouver ce domaine est la première chose à faire, car une valeur qui annule le dénominateur est interdite.
Simplifier une fraction rationnelle, c’est factoriser le numérateur et le dénominateur, puis supprimer un facteur commun non nul. Par exemple, si \(A(x)=C(x)D(x)\) et \(B(x)=C(x)E(x)\), alors, pour les valeurs de \(x\) telles que \(C(x)\neq 0\), on a \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{D(x)}{E(x)}\). Il faut donc toujours garder en mémoire les valeurs interdites de l’expression de départ.
Décomposer une fraction rationnelle, c’est la réécrire sous une forme plus simple à utiliser. Selon les cas, on peut la décomposer en une somme, en une différence, ou en une partie entière plus une fraction plus simple. Par exemple, \(\dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\), car \(x+3=(x-1)+4\). Cette nouvelle écriture donne la même valeur que l’ancienne pour tout \(x\neq 1\), mais elle est souvent plus pratique pour calculer, comparer ou étudier le signe.
1) Condition de définition. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), seules les valeurs qui vérifient \(B(x)\neq 0\) sont autorisées. Si le dénominateur se factorise, les valeurs interdites se lisent directement sur les facteurs. Par exemple, pour \(\dfrac{2x+1}{(x-3)(x+2)}\), on doit avoir \(x\neq 3\) et \(x\neq -2\).
2) Simplification par facteur commun. On peut simplifier seulement des facteurs, jamais des termes d’une somme. Ainsi, \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\). En revanche, \(\dfrac{x+2}{x}\) ne se simplifie pas, car \(x+2\) n’est pas un facteur de \(x\).
3) Décomposition en une partie simple. Quand le numérateur ressemble au dénominateur, on peut écrire le numérateur comme « dénominateur + reste ». Par exemple, \(2x+3=2(x-1)+5\), donc \(\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\), pour \(x\neq 1\). Cette écriture est très utile pour des calculs mentaux et pour reconnaître une fonction homographique.
Pour simplifier une fraction rationnelle :
- Détermine d’abord les valeurs interdites en résolvant \(B(x)=0\).
- Factorise complètement le numérateur et le dénominateur dès que c’est possible : identité remarquable, mise en facteur, trinôme, etc.
- Repère les facteurs communs et simplifie seulement ces facteurs.
- Réécris le résultat sous forme simple, mais conserve les valeurs interdites de l’expression de départ.
Pour décomposer une fraction rationnelle simple :
- Si le numérateur peut s’écrire « multiple du dénominateur + reste », fais-le. Exemple : \(3x+7=3(x-2)+13\).
- Sépare ensuite la fraction en deux : \(\dfrac{3x+7}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{13}{x-2}=3+\dfrac{13}{x-2}\), pour \(x\neq 2\).
- Vérifie en remettant au même dénominateur : \(3(x-2)+13=3x+7\).
Dans tous les cas, commence toujours par le domaine de définition : c’est une habitude indispensable.
Énoncé : Simplifie \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}\) et précise les valeurs interdites.
Solution : On commence par le domaine de définition. Le dénominateur vaut \(x^2-3x+2\). On le factorise :
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]
Donc l’expression n’est définie que pour \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).
On factorise ensuite le numérateur :
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
La fraction devient alors
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}.\]
On simplifie par le facteur commun \((x-2)\), ce qui est autorisé seulement si \(x\neq 2\), ce qui fait déjà partie des valeurs interdites :
\[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-3}{x-1}.\]
Finalement,
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{x-3}{x-1}\quad \text{pour } x\neq 1 \text{ et } x\neq 2.\]
Attention : la forme simplifiée ne doit pas faire oublier que \(x=2\) reste interdit. En effet, dans l’expression de départ, si \(x=2\), le dénominateur vaut \(0\), donc la fraction n’existe pas.
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Voir les offresPiège 1 : simplifier des termes au lieu de simplifier des facteurs. Par exemple, certains écrivent à tort \(\dfrac{x+2}{x}=2\). C’est faux. On ne peut pas « barrer » le \(x\) dans une somme. La bonne écriture est \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\), pour \(x\neq 0\). Vérification avec \(x=2\) : à gauche, \(\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\), tandis que si on avait simplifié abusivement on obtiendrait toujours \(2\), ce qui ne marche plus pour \(x=4\), car \(\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\neq 2\).
Piège 2 : oublier les valeurs interdites après simplification. On a \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), mais seulement pour \(x\neq 1\). Il serait faux d’affirmer que la fraction vaut \(2\) pour \(x=1\), car l’expression de départ n’existe pas en \(x=1\). La simplification donne une écriture équivalente sur le domaine initial, elle ne crée pas de nouvelle valeur autorisée.
Pour décomposer une fraction du type \(\dfrac{ax+b}{x-c}\), fais apparaître le dénominateur dans le numérateur : \(ax+b=a(x-c)+(b+ac)\). Par exemple, \(4x+1=4(x-3)+13\), donc \(\dfrac{4x+1}{x-3}=4+\dfrac{13}{x-3}\) pour \(x\neq 3\). Autre bon réflexe : écris dès la première ligne les valeurs interdites. Ainsi, même si tu simplifies ensuite la fraction, tu ne perdras pas les conditions de définition. Ce réflexe évite une grande partie des erreurs dans les exercices de fonctions rationnelles.
Lecture graphique et représentations d'une fonction
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Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
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Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Parité et périodicité
Soit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Une fonction donne une valeur de sortie à partir d’une valeur d’entrée. Très souvent, on ne travaille pas avec une seule fonction isolée : on additionne deux fonctions, on les multiplie, on forme un quotient ou bien on enchaîne deux fonctions l’une après l’autre. Savoir faire ces opérations te permet d’écrire correctement une nouvelle fonction, de trouver son domaine de définition et d’étudier son sens de variation, en particulier dans le cas d’une composée.
Soient deux fonctions numériques f et g, de domaines de définition respectifs \(D_f\) et \(D_g\).
La somme de \(f\) et \(g\), notée \(f+g\), est la fonction définie par \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) pour tout \(x\) appartenant à \(D_f\cap D_g\). La différence \(f-g\) est définie par \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) sur le même domaine. On ne peut additionner ou soustraire les valeurs que lorsque les deux fonctions sont définies au même point.
Le produit de \(f\) et \(g\), noté \(fg\), est la fonction définie par \((fg)(x)=f(x)\times g(x)\) pour tout \(x\in D_f\cap D_g\). Là encore, il faut que les deux valeurs existent.
Le quotient de \(f\) par \(g\), noté \(\dfrac{f}{g}\), est la fonction définie par \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) pour tout \(x\in D_f\cap D_g\) tel que \(g(x)\neq 0\). On enlève donc du domaine tous les nombres pour lesquels le dénominateur s’annule.
La composée de \(g\) par \(f\), notée \(g\circ f\), est la fonction définie par \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Son domaine de définition est l’ensemble des réels \(x\in D_f\) tels que \(f(x)\in D_g\). Cela signifie : on calcule d’abord \(f(x)\), puis on vérifie que ce résultat a bien le droit d’entrer dans \(g\).
Enfin, sur un intervalle \(I\), on dit que \(f\) est croissante si, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), \(a<b\) entraîne \(f(a)\leq f(b)\). On dit que \(f\) est décroissante si \(a<b\) entraîne \(f(a)\geq f(b)\). Une fonction croissante ou décroissante est dite monotone. Cette idée est essentielle pour étudier une composée sans refaire toute une représentation graphique.
Les opérations sur les fonctions se font point par point. Cela veut dire que, pour calculer \((f+g)(2)\), par exemple, tu calcules d’abord \(f(2)\) et \(g(2)\), puis tu fais la somme. De même pour le produit, la différence et le quotient. L’expression algébrique d’une nouvelle fonction s’obtient donc en remplaçant simplement \(f(x)\) et \(g(x)\) par leurs formules, puis en simplifiant avec soin.
Pour les domaines de définition, il faut retenir les règles suivantes :
- \(D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g\).
- \(D_{\frac{f}{g}}=\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\neq 0\}\).
- \(D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}\).
Sur le plan des variations, certaines règles sont simples. Si \(f\) et \(g\) sont toutes les deux croissantes sur un même intervalle \(I\), alors \(f+g\) est croissante sur \(I\). En effet, quand \(x\) augmente, chacune des deux valeurs \(f(x)\) et \(g(x)\) ne diminue pas, donc leur somme ne diminue pas non plus. De même, si \(f\) et \(g\) sont toutes les deux décroissantes sur \(I\), alors \(f+g\) est décroissante sur \(I\).
Multiplier une fonction par un nombre réel non nul change aussi le sens de variation de façon prévisible : si \(\lambda>0\), alors \(\lambda f\) a le même sens de variation que \(f\) ; si \(\lambda<0\), alors \(\lambda f\) a le sens contraire. En revanche, pour le produit de deux fonctions, il n’existe pas de règle aussi simple sans information supplémentaire sur les signes : il faut donc rester prudent.
Soient \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle contenant toutes les valeurs prises par \(f\) sur \(I\). Alors le sens de variation de \(g\circ f\) sur \(I\) se déduit de celui de \(f\) et de celui de \(g\).
| Sens de variation de \(f\) | Sens de variation de \(g\) | Sens de variation de \(g\circ f\) |
|---|---|---|
| croissante | croissante | croissante |
| croissante | décroissante | décroissante |
| décroissante | croissante | décroissante |
| décroissante | décroissante | croissante |
L’idée est la suivante : une fonction croissante conserve l’ordre, tandis qu’une fonction décroissante renverse l’ordre. Si l’ordre est conservé deux fois, ou renversé deux fois, le résultat final est croissant. S’il est conservé une fois et renversé une fois, le résultat final est décroissant.
Attention toutefois : ce théorème ne s’applique que là où la composée existe. Avant d’utiliser le tableau ci-dessus, tu dois donc toujours vérifier le domaine de définition de \(g\circ f\). Par exemple, si \(g(x)=\sqrt{x}\), il faut que \(f(x)\geq 0\). Si \(g(x)=\dfrac{1}{x}\), il faut que \(f(x)\neq 0\).
Pour déterminer une opération entre deux fonctions :
1) Écris clairement les domaines \(D_f\) et \(D_g\).
2) Choisis l’opération demandée : somme, différence, produit, quotient ou composée.
3) Détermine d’abord le domaine de la nouvelle fonction : intersection des domaines pour \(f+g\), \(f-g\) et \(fg\) ; intersection en retirant les zéros du dénominateur pour \(\dfrac{f}{g}\) ; pour \(g\circ f\), garde les \(x\) tels que \(f(x)\) appartienne au domaine de \(g\).
4) Remplace ensuite \(f(x)\) et \(g(x)\) par leurs expressions et simplifie si possible.
5) Si tu simplifies une fraction, n’oublie jamais de conserver les valeurs interdites du domaine.
Pour étudier le sens de variation d’une composée \(g\circ f\) :
1) Repère la fonction intérieure : c’est \(f\), celle qu’on applique en premier.
2) Repère la fonction extérieure : c’est \(g\), celle qu’on applique au résultat de \(f\).
3) Détermine le domaine de \(g\circ f\).
4) Étudie le sens de variation de \(f\) sur l’intervalle considéré.
5) Étudie le sens de variation de \(g\) sur l’ensemble des valeurs prises par \(f\).
6) Combine les deux sens à l’aide du tableau : croissante après croissante donne croissante ; décroissante après décroissante donne croissante ; sinon la composée est décroissante.
Réflexe utile : lis toujours \(g\circ f\) de droite à gauche, car on calcule d’abord \(f\), puis \(g\).
Énoncé : Soient \(f(x)=2x-3\) et \(g(x)=x^2+1\). Détermine \((f+g)(x)\), \((fg)(x)\), \((g\circ f)(x)\) et \(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\), avec leur domaine de définition.
Solution : Les fonctions \(f\) et \(g\) sont définies pour tout réel, donc \(D_f=D_g=\mathbb{R}\).
1) Somme :
\[(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x-3)+(x^2+1).\]
On regroupe les termes :
\[(f+g)(x)=x^2+2x-2.\]
Le domaine est \(\mathbb{R}\).
2) Produit :
\[(fg)(x)=f(x)g(x)=(2x-3)(x^2+1).\]
On développe :
\[(2x-3)(x^2+1)=2x\cdot x^2+2x\cdot 1-3\cdot x^2-3\cdot 1\]
soit
\[(fg)(x)=2x^3-3x^2+2x-3.\]
Le domaine est encore \(\mathbb{R}\).
3) Composée \(g\circ f\) :
\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-3).\]
Comme \(g(t)=t^2+1\), on remplace \(t\) par \(2x-3\) :
\[(g\circ f)(x)=(2x-3)^2+1.\]
On développe le carré :
\[(2x-3)^2=4x^2-12x+9.\]
Donc
\[(g\circ f)(x)=4x^2-12x+10.\]
Le domaine est \(\mathbb{R}\), car \(f(x)\) est toujours un réel et \(g\) accepte tout réel.
4) Quotient :
\[\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+1}.\]
Il faut vérifier que le dénominateur n’est jamais nul. Or, pour tout réel \(x\), on a \(x^2\geq 0\), donc \(x^2+1\geq 1\). Ainsi, \(x^2+1\neq 0\).
Le domaine du quotient est donc \(\mathbb{R}\).
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Voir les offresPremier piège : croire que \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont la même fonction. En général, c’est faux. Prends \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=x^2\). Alors
\[(g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1\]
tandis que
\[(f\circ g)(x)=f(x^2)=x^2+1.\]
Les deux résultats sont différents, donc l’ordre de composition est essentiel. Dans \(g\circ f\), on applique d’abord \(f\), puis \(g\).
Deuxième piège : simplifier une fraction sans garder les restrictions du domaine. Par exemple,
\[\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\]
est vrai seulement si \(x\neq 1\). La fonction quotient n’est pas définie en \(x=1\), même si l’expression simplifiée \(x+1\) existe en \(1\). Quand tu simplifies, tu simplifies l’expression algébrique, mais tu ne fais pas réapparaître des valeurs qui étaient interdites au départ.
Troisième piège : pour une composée, oublier de vérifier que la sortie de la première fonction entre dans le domaine de la seconde. Avec \(g(x)=\sqrt{x}\) et \(f(x)=x-5\), la composée \(g\circ f\) n’est définie que si \(x-5\geq 0\), donc pour \(x\geq 5\).
Quand tu vois une composée, imagine un trajet en deux étapes :
\[x\longrightarrow f(x)\longrightarrow g(f(x)).\]
Cette lecture de droite à gauche évite beaucoup d’erreurs. Pour trouver le domaine de \(g\circ f\), pose-toi toujours la question : « Quelles valeurs de \(x\) donnent une image \(f(x)\) acceptable pour \(g\) ? »
Autre bon réflexe : écris les valeurs interdites dans un coin avant de commencer les simplifications. Par exemple, si tu travailles avec \(\dfrac{x^2-4}{x-2}\), note d’abord \(x\neq 2\), puis simplifie :
\[\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\quad \text{avec } x\neq 2.\]
Ainsi, tu gardes une expression simple sans perdre l’information importante sur le domaine.
Quand tu travailles sur deux fonctions, fais un petit tableau mental en quatre questions :
- Quelles sont les formules de \(f\) et de \(g\) ?
- Quels sont leurs domaines de définition ?
- Pour la composée, quelles valeurs prend d’abord la fonction intérieure ?
- La fonction extérieure est-elle croissante ou décroissante sur ces valeurs ?
Très souvent, un simple schéma avec des flèches aide :
\[x \longmapsto g(x) \longmapsto f(g(x)).\]
Si la première flèche conserve l’ordre et la seconde aussi, la composée est croissante. Si une seule flèche inverse l’ordre, la composée est décroissante. Ce réflexe permet de décider vite et juste, sans te tromper d’ordre dans la composition.
Résumé
Un \(x\) a une seule image \(f(x)\) ; un \(y\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Lecture graphique : verticale pour l'image, horizontale pour les antécédents.
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) directement par le calcul, sans notion de limite (hors programme en Seconde).
Paire : \(f(-x)=f(x)\), symétrie / axe des ordonnées. Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), symétrie / origine. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
\(f(x+T)=f(x)\) : le motif se répète tous les \(T\). Utile pour les fonctions circulaires (chapitre VI).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
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On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-8x+3\).
Question 1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
\(f(0)=3\) ; \(f(2)=8-16+3=-5\) ; \(f(4)=32-32+3=3\).
Question 2. \(f\) est-elle paire ? Justifier.
Non : on a trouvé \(f(0)=3\) et \(f(4)=3\), mais \(f(-4)=32+32+3=67 \ne f(4)=3\). Comme \(f(-4)\ne f(4)\), \(f\) n'est pas paire (et le test suffit ici, un seul contre-exemple invalide la parité).
Question 3. Montrer que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\) en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(0\le a\le b\le2\).
\(f(a)-f(b) = 2a^2-8a-(2b^2-8b) = 2(a^2-b^2) - 8(a-b) = 2(a-b)(a+b) - 8(a-b) = (a-b)\big(2(a+b)-8\big)\).
Pour \(0\le a\le b\le2\) : \(a-b\le0\). Et \(a+b\le4\), donc \(2(a+b)-8\le0\). Un produit de deux facteurs négatifs (ou nuls) est positif : \(f(a)-f(b)\ge0\), soit \(f(a)\ge f(b)\). \(f\) est bien décroissante sur \([0;2]\).
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