Seconde A · Leçon 2
Équations et inéquations dans ℝ, systèmes linéaires et de contraintes
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Systèmes 2×2
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QCM — Discriminant, racines, forme canonique
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$ b) $9$ c) $29$ d) $1$
2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$ b) $-2$ et $-5$ c) $1$ et $10$ d) $2$ et $-5$
3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$ b) $(x-3)^2+4$ c) $(x+3)^2-4$ d) $(x-6)^2+5$
4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif b) positif c) nul d) indéterminé
QCM — Résolution de systèmes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$ b) $(4;2)$ c) $(2;-4)$ d) $(-2;4)$
2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$ b) $(4;6)$ c) $(8;2)$ d) $(5;5)$
3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions b) aucune solution c) l'unique solution $(0;2)$ d) l'unique solution $(4;0)$
4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) la solution $(4;1)$
QCM — Déterminant, résolution, inéquations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le déterminant du système $\begin{cases}2x+3y=7\\4x+6y=9\end{cases}$ vaut :
a) $0$ b) $12$ c) $-12$ d) $24$
2) Pour ce même système, sachant que $2\times(2x+3y)=4x+6y=14\ne9$, le système admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) exactement deux solutions
3) Le système $\begin{cases}x+3y=11\\2x-y=1\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;3)$ b) $(3;2)$ c) $(2;-3)$ d) $(-2;3)$
4) L'inéquation $2x+y\le6$ partage le plan en :
a) deux demi-plans séparés par la droite $2x+y=6$ b) un cercle c) deux droites parallèles d) une parabole
Exercice supplémentaire — Étude de $P(x)=2x^2-5x-3$
Exercice supplémentaire. On considère le polynôme $P(x)=2x^2-5x-3$.
1) Calculer le discriminant de $P$.
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$.
3) En déduire la factorisation de $P(x)$ puis résoudre l'inéquation $P(x)\le0$.
Situation d'intégration — Tableau en bois d'une menuisière
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².
Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.
Exercice supplémentaire — Kits scolaires à Diapaga
Exercice supplémentaire. Une coopérative de Diapaga achète des kits scolaires : $\begin{cases}4x+3y=1\,900\\2x+y=800\end{cases}$ modélise le prix $x$ d'un cahier et $y$ d'un stylo (en FCFA).
1) Calculer le déterminant de ce système.
2) Résoudre le système.
3) Le système $\begin{cases}2x+3y=100\\4x+6y=250\end{cases}$ a-t-il une solution unique ? Justifier par son déterminant.
Problème — Deux compagnies de transport entre deux villes
Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.
Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.
Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.
Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.
Problème — Étude complète d'un trinôme
Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.
Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.
Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.
Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
Voir le corrigé
- $P(3)=9+3-12=0$ : $3$ est bien racine. Produit des racines $=-12$, donc l'autre racine est $-12/3=-4$. Ainsi $P(x)=(x-3)(x+4)$.
- $a=1>0$ : négatif entre les racines $-4$ et $3$. Solution : $x\in\,]-4;3[$.
- $\alpha=-\dfrac{1}{2}$, $\beta=P\!\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac12-12=-\dfrac{49}{4}=-12{,}25$. Forme canonique : $P(x)=\left(x+\dfrac12\right)^2-12{,}25$. Comme le carré est toujours $\ge0$, le minimum de $P$ est $-12{,}25$, atteint en $x=-\dfrac12$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.