Systèmes linéaires dans ℝ × ℝ

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une commerçante de pagnes vend deux modèles, $A$ et $B$. Un premier client achète $3$ pagnes $A$ et $2$ pagnes $B$ pour $9\,500$ F. Un second client achète $2$ pagnes $A$ et $5$ pagnes $B$ pour $15\,500$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un pagne $A$ et $y$ le prix d'un pagne $B$, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque modèle de pagne.

Exercice supplémentaire. Un éleveur achète des sacs d'aliment pour bétail : $3$ sacs de type A et $2$ sacs de type B coûtent $25\,000$ FCFA ; $2$ sacs de type A et $4$ sacs de type B coûtent $30\,000$ FCFA.

1) Poser le système d'équations, $x$ étant le prix d'un sac A et $y$ le prix d'un sac B.
2) Résoudre ce système.
3) Calculer le coût de $5$ sacs A et $3$ sacs B.

Problème. Un groupe scolaire de $40$ personnes (élèves et accompagnateurs) visite un musée. Le billet élève coûte $300$ F, le billet accompagnateur coûte $800$ F. La recette totale est de $15\,000$ F.

Partie A. 1) En notant $x$ le nombre d'élèves et $y$ le nombre d'accompagnateurs, écrire le système traduisant la situation.

Partie B. 2) Résoudre ce système par substitution.

Partie C. 3) Vérifier le résultat et l'interpréter. 4) Si le groupe avait été composé uniquement d'élèves (toujours $40$ personnes), quelle aurait été la recette totale ? Comparer à la recette réelle.

Dans son atelier, une couturière confectionne chaque semaine \(x\) chemises et \(y\) robes, où \(x\) et \(y\) sont des nombres entiers positifs ou nuls. Une chemise demande 2 m de tissu et 1 heure de travail. Une robe demande 3 m de tissu et 2 heures de travail. Chaque semaine, la couturière dispose de 60 m de tissu et de 36 heures de travail.

1) Traduis la contrainte sur le tissu et la contrainte sur le temps de travail par un système \((S)\) de deux inéquations d'inconnues \(x\) et \(y\).

2) Le programme « 12 chemises et 10 robes » est-il réalisable ? Et le programme « 15 chemises et 11 robes » ? Justifie par des calculs.

3) On note \((D_1)\) la droite d'équation \(2x+3y=60\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(x+2y=36\). Pour chacune, donne ses points d'intersection avec les deux axes du repère. Décris ensuite, en utilisant l'origine \(O\) comme point test, le demi-plan formé par les solutions de chaque inéquation de \((S)\).

4) Résous le système formé par les équations des deux droites pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection \(K\). Le couple obtenu est-il solution de \((S)\) ? Interprète ce programme pour la couturière.

5) Une chemise rapporte 2 000 F de bénéfice et une robe 3 500 F. Calcule le bénéfice de la semaine pour chacun des trois programmes suivants : 30 chemises et aucune robe, 18 robes et aucune chemise, le programme du point \(K\). Lequel de ces trois programmes rapporte le plus ?

Le plan est muni d'un repère d'origine \(O\). On considère les inéquations \((I_1)\) : \(3x-2y+3\gt 0\) et \((I_2)\) : \(x+y-4\leq 0\), ainsi que le système \((S)\) formé par ces deux inéquations.

1) Parmi les points \(A(1\,;2)\), \(B(-4\,;1)\) et \(C(2\,;5)\), lesquels ont des coordonnées solutions de \((I_1)\) ? Justifie par des calculs.

2) On note \((D_1)\) la droite d'équation \(3x-2y+3=0\). Vérifie qu'elle passe par les points \(E(-1\,;0)\) et \(F(3\,;6)\). En utilisant le point test \(O\), décris l'ensemble des points dont les coordonnées sont solutions de \((I_1)\), en précisant si la droite \((D_1)\) en fait partie.

3) On note \((D_2)\) la droite d'équation \(x+y-4=0\). Donne ses points d'intersection avec les axes, puis décris de la même façon l'ensemble des solutions de \((I_2)\).

4) Résous le système formé par les équations \(3x-2y=-3\) et \(x+y=4\) pour trouver le point d'intersection \(K\) des deux droites. Le couple des coordonnées de \(K\) est-il solution de \((S)\) ? Justifie.

5) Parmi les points \(A\), \(G(3\,;1)\) et \(H(5\,;2)\), lesquels ont des coordonnées solutions de \((S)\) ? Décris enfin par une phrase la région du plan formée par les solutions de \((S)\).

Une association organise une sortie pour 150 personnes, qui doivent toutes avoir une place assise. Elle peut louer des minibus de 18 places, à 20 000 F l'un, et des cars de 30 places, à 30 000 F l'un. Son budget pour le transport est de 180 000 F au maximum. On note \(x\) le nombre de minibus et \(y\) le nombre de cars loués (\(x\) et \(y\) sont des entiers positifs ou nuls).

1) Traduis la contrainte sur le nombre de places et la contrainte sur le budget par un système \((S)\) de deux inéquations.

2) Montre que \((S)\) s'écrit plus simplement \(3x+5y\geq 25\) et \(2x+3y\leq 18\). Justifie que le sens des inégalités ne change pas.

3) Chacune des locations suivantes convient-elle : 5 minibus et 2 cars ; 3 minibus et 3 cars ; aucun minibus et 6 cars ? Justifie.

4) Le loueur n'a que 2 cars disponibles, que l'association décide de prendre : \(y=2\). Résous alors chacune des deux inéquations, d'inconnue \(x\), et donne les nombres de minibus possibles.

5) Finalement, le loueur annonce qu'il peut fournir 5 cars. Vérifie que la location « aucun minibus et 5 cars » convient, puis calcule le coût et le nombre de places de cette location et de celles trouvées à la question 4. Laquelle de ces trois locations est la moins chère ? Interprète.

Une troupe de théâtre vend des billets « adulte » à 3 000 F et des billets « enfant » à 1 500 F. Le samedi, elle a vendu 140 billets pour une recette totale de 300 000 F. On note \(x\) le nombre de billets « adulte » et \(y\) le nombre de billets « enfant ».

1) Traduis les deux informations du samedi par un système de deux équations, puis montre que ce système s'écrit \(x+y=140\) et \(2x+y=200\).

2) Résous ce système et vérifie le résultat en calculant la recette du samedi.

3) Le dimanche, la salle ne peut pas accueillir plus de 200 spectateurs et la troupe veut une recette d'au moins 360 000 F. Traduis ces deux conditions par un système \((S)\) de deux inéquations, et montre que la seconde s'écrit \(2x+y\geq 240\).

4) Chacune des ventes suivantes convient-elle pour le dimanche : celle du samedi ; 90 billets « adulte » et 100 billets « enfant » ; 130 billets « adulte » et 80 billets « enfant » ? Justifie.

5) On note \((D_1)\) la droite d'équation \(x+y=200\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(2x+y=240\). Donne les points d'intersection de chaque droite avec les axes, puis décris la région des solutions de \((S)\) en utilisant l'origine \(O\) comme point test.

6) Le dimanche, la salle est pleine : \(x+y=200\). Détermine le nombre minimal de billets « adulte » à vendre pour atteindre l'objectif de recette, et interprète le résultat.