Première A2 · Leçon 3
Généralités sur les fonctions
Ce que dit le programme officiel (5 points)
- Fonction paire, fonction impaire
- Axe de symétrie, centre de symétrie
- En 1ère A2 les fonctions au programme sont les fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et les fonctions du type 𝑥 ↦ 𝑎/𝑥.
- Travail individuel
- Travail de groupe
Source : Programme éducatif Première A2, DPFC, version CND 0923
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Étude d'une fonction polynôme
Les fonctions polynômes de degré 2 ou 3 modélisent de nombreuses situations : trajectoire d'un objet lancé, bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, volume d'une boîte selon ses dimensions. Étudier une telle fonction, c'est connaître son ensemble de définition, ses limites, son sens de variation, ses extremums, les points remarquables de sa courbe, puis tracer cette courbe avec précision. La dérivée, étudiée dans la leçon précédente, est l'outil principal de cette étude.
Une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3 est une fonction de la forme \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels. Si \(a\neq0\), elle est de degré \(3\) ; si \(a=0\) et \(b\neq0\), elle est de degré \(2\).
- Elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\) : son signe s'étudie avec le discriminant ou une factorisation.
- Une fonction polynôme de degré \(2\) peut s'écrire sous forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) ; sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
1) Limites en l'infini. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). On le justifie en factorisant : \(x^3-6x^2+9x=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac9{x^2}\right)\), et la parenthèse tend vers \(1\).
2) Variations. Sur un intervalle, si \(f'(x)\gt 0\), sauf en des points isolés où \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)\lt 0\) alors \(f\) est strictement décroissante.
3) Extremums. Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f(x_0)\) est un extremum relatif : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).
4) Symétries. La parabole d'équation \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) admet la droite d'équation \(x=\alpha\) pour axe de symétrie. La courbe d'une fonction polynôme de degré \(3\), \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), admet pour centre de symétrie le point \(\Omega\) d'abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{3a}\) et d'ordonnée \(f(\alpha)\).
Justification. En développant, pour tout réel \(h\) : \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+(3a\alpha^2+2b\alpha+c)h+(3a\alpha+b)h^2+ah^3\). Comme \(3a\alpha+b=0\), il reste \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+f'(\alpha)h+ah^3\). En remplaçant \(h\) par \(-h\) : \(f(\alpha-h)=f(\alpha)-f'(\alpha)h-ah^3\). En additionnant, \(f(\alpha-h)+f(\alpha+h)=2f(\alpha)\) : les points de la courbe d'abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\) sont symétriques par rapport à \(\Omega\).
- Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\).
- Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec le terme de plus haut degré.
- Dérivée : calcule \(f'(x)\), factorise-la si possible et étudie son signe (tableau de signes).
- Tableau de variation : place les limites, les flèches et les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule.
- Points remarquables : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses (solutions de \(f(x)=0\) quand on sait les trouver), extremums, élément de symétrie.
- Tracé : place d'abord les points remarquables et les tangentes horizontales aux extremums, puis trace la courbe en respectant le tableau de variation.
Énoncé : Étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) et donne les éléments utiles à sa représentation graphique.
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines \(1\) et \(3\), négatif entre elles. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).
Valeurs : \(f(1)=1-6+9=4\), maximum relatif ; \(f(3)=27-54+27=0\), minimum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\), donc la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=0\) et touche cet axe en \(x=3\), où la tangente est horizontale. Centre de symétrie : \(-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-6}{3}=2\) et \(f(2)=8-24+18=2\), donc \(\Omega(2\,;2)\). Contrôle : \(f(1)+f(3)=4+0=4=2\times2\).
Courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\)
Le maximum \((1\,;4)\), le minimum \((3\,;0)\) où la courbe touche l'axe des abscisses, et le centre de symétrie \(\Omega(2\,;2)\).
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Voir les offresBeaucoup d'élèves pensent qu'une fonction de degré \(3\) a toujours un maximum et un minimum, ou qu'il suffit que \(f'(x_0)=0\) pour avoir un extremum en \(x_0\). C'est faux.
Contre-exemple : \(h(x)=x^3\). On a \(h'(x)=3x^2\), qui s'annule en \(0\) mais reste positive de part et d'autre : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extremum. La courbe a seulement une tangente horizontale en \(O\). Il faut donc toujours vérifier que \(f'\) change de signe.
Autre piège : écrire \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2)=+\infty-\infty=0\). La forme « \(+\infty-\infty\) » est indéterminée ; on factorise par le terme de plus haut degré.
Avant de tracer, vérifie la cohérence de ton tableau : une flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande, et les valeurs de \(f\) aux extremums doivent être calculées dans l'expression de départ, pas dans \(f'\). Pour un polynôme de degré \(3\), le centre de symétrie est aussi le milieu des deux extremums quand il y en a : ici le milieu de \((1\,;4)\) et \((3\,;0)\) est bien \((2\,;2)\).
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Sa courbe présente souvent des branches qui s'éloignent vers l'infini au voisinage d'une valeur interdite, et qui se rapprochent d'une droite quand \(x\) devient très grand. Ces droites, les asymptotes, structurent tout le tracé. En Première, on étudie surtout les fonctions homographiques et les fonctions de la forme \(x\mapsto ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Une fonction homographique est une fonction de la forme \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\neq0\) et \(ad-bc\neq0\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\). Par division, elle s'écrit sous la forme réduite \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) avec \(\beta\neq0\).
- Une fonction de la forme \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\), avec \(c\neq0\) et \(d\neq0\), est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac ed\right\}\).
La condition \(ad-bc\neq0\) exclut le cas où le numérateur est proportionnel au dénominateur : par exemple \(\dfrac{2x+2}{x+1}=2\) pour \(x\neq-1\), ce qui n'est pas une vraie fonction homographique.
1) Fonction homographique \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) :
- quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le côté : la droite d'équation \(x=x_0\) est asymptote verticale ;
- quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(0\), donc \(f(x)\) tend vers \(\alpha\) : la droite d'équation \(y=\alpha\) est asymptote horizontale ;
- le point \(\Omega(x_0\,;\alpha)\), intersection des asymptotes, est centre de symétrie de la courbe, car \(f(2x_0-x)+f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x_0-x}+\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}=2\alpha\).
2) Fonction \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) avec \(a\neq0\) : la droite \(x=-\dfrac ed\) est asymptote verticale ; comme \(g(x)-(ax+b)=\dfrac{c}{dx+e}\) tend vers \(0\) en \(\pm\infty\), la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote oblique. Le point d'intersection des deux asymptotes, \(\Omega\left(x_0\,;ax_0+b\right)\) avec \(x_0=-\dfrac ed\), est centre de symétrie de la courbe. En effet \(d(2x_0-x)+e=-2e-dx+e=-(dx+e)\), donc \(g(2x_0-x)+g(x)=a(2x_0-x)+b-\dfrac{c}{dx+e}+ax+b+\dfrac{c}{dx+e}=2(ax_0+b)\). Le signe de \(\dfrac{c}{dx+e}\) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
- Détermine l'ensemble de définition en cherchant les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Si nécessaire, effectue une division pour obtenir la forme réduite \(\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) ou \(ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Près de la valeur interdite, étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Déduis-en les asymptotes : verticale, horizontale ou oblique.
- Calcule la dérivée (forme \(\dfrac uv\) ou forme réduite), étudie son signe sur chaque intervalle de l'ensemble de définition, puis dresse le tableau de variation avec une double barre sous la valeur interdite.
- Précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote, les points remarquables, le centre de symétrie, puis trace : asymptotes d'abord, courbe ensuite.
Énoncé : Étudie \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Comme \(2x+1=2(x-1)+3\), on a \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\).
Limites : quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures, \(x-1\) tend vers \(0\) en restant positif, donc \(\dfrac3{x-1}\) tend vers \(+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\) ; par valeurs inférieures, \(f(x)\to-\infty\). En \(\pm\infty\), \(f(x)\to2\). Donc \(x=1\) est asymptote verticale et \(y=2\) asymptote horizontale.
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Le point \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Position : \(f(x)-2=\dfrac3{x-1}\) est positif pour \(x\gt 1\), donc la courbe est au-dessus de l'asymptote \(y=2\) à droite de \(1\) et en dessous à gauche.
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Voir les offresCourbe de \(g(x)=x+2+\dfrac4{x-1}\) et ses asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote oblique \(y=x+2\) (en pointillés), maximum relatif \((-1\,;-1)\), minimum relatif \((3\,;7)\) et centre de symétrie \(\Omega(1\,;3)\).
Dans l'exemple 1, \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\neq1\). On ne peut pourtant pas écrire « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ».
Contre-exemple : \(0\lt 2\), et pourtant \(f(0)=\dfrac1{-1}=-1\) est plus petit que \(f(2)=\dfrac51=5\). La fonction « remonte » en passant d'une branche à l'autre, à cause de la valeur interdite. Le sens de variation se donne toujours intervalle par intervalle : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Autre erreur : oublier d'étudier séparément les limites à gauche et à droite de la valeur interdite ; le signe du dénominateur change de part et d'autre.
Pour tracer la courbe, dessine d'abord les asymptotes en pointillés et place le centre de symétrie. Chaque branche de la courbe « longe » ses asymptotes : il suffit alors de placer les extremums et quelques points calculés pour obtenir un tracé juste. Une branche tracée d'un côté se déduit de l'autre par la symétrie de centre \(\Omega\).