Première A2 · Leçon 4

Dérivabilité et étude de fonctions

Ce que dit le programme officiel (6 points)

la définition du nombre dérivé d’une fonction en un point.
les formules des dérivées de chacune des fonctions : 𝑥 ↦ 𝑘 ; 𝑥 ↦ 𝑥; 𝑥 ↦ 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑥 ↦ 𝑥²; 𝑥 ↦ 𝑥³; 𝑥 ↦ 1/𝑥; 𝑥 ↦ 𝑎/𝑥
la définition de la fonction dérivée d’une fonction.
les formules des dérivées des fonctions du type : u + v ; au ; uv ; u/v où u et v sont des fonctions dérivables et a un nombre réel.
la propriété liant dérivée et sens de variation d’une fonction
la propriété liant dérivée et extremum relatif

Source : Programme éducatif Première A2, DPFC, version CND 0923

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

De la sécante à la tangente

Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite mesure son inclinaison. En observant, sur des exemples, une droite qui joint deux points de plus en plus rapprochés d'une courbe (une sécante), on constate qu'elle se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe en ce point.

Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\), est défini comme le coefficient directeur de cette tangente. Si \(f\) admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle \(I\), on obtient la fonction dérivée \(f'\) sur \(I\).

Équation de la tangente \[ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0). \]

Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées des fonctions usuelles (admises)

Fonction	Dérivée
\(ax+b\)	\(a\)
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^n\) (\(n\in\mathbb N^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\dfrac1x\)	\(-\dfrac1{x^2}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)

Règles de calcul (admises)

\((\lambda f)'=\lambda f'\) ; \((f+g)'=f'+g'\) ; \((fg)'=f'g+fg'\) ; \(\left(\dfrac1f\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}\) ; \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée et tangente

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Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(k'(a)\) se mettent à jour en temps réel.

Signe de la dérivée, variations et extremums

Résultats admis

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

• si \(f\) admet un maximum ou un minimum en un point \(x_0\) distinct des extrémités de \(I\), alors \(f'(x_0)=0\) ;
• si \(f'\) est nulle sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\) ;
• si \(f'\) est positive sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\) (énoncé analogue pour une fonction décroissante).

Exemple — étude complète de \(q(x)=x^2-5x+4\)

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