Suites numériques

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f(x)=3x-2$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$. $u_3$ vaut :
a) 5   b) 7   c) 9   d) 1

2) Soit $u_0=2$ et $u_{n+1}=3u_n+1$. $u_2$ vaut :
a) 19   b) 22   c) 25   d) 7

3) Soit $v_n=8-2n$. $v_{n+1}-v_n$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-2n$   d) $8$

4) Une suite $(w_n)$ vérifie $w_{n+1}-w_n=4$ pour tout $n$. La suite $(w_n)$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut pas savoir

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Suite arithmétique de premier terme $u_0=10$ et de raison $r=-4$. $u_7$ vaut :
a) $-18$   b) $18$   c) $-30$   d) $38$

2) Suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. $u_4$ vaut :
a) 40   b) 80   c) 20   d) 160

3) Suite arithmétique $u_0=3$, $r=2$. La somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_9$ (10 termes) vaut :
a) 120   b) 210   c) 240   d) 110

4) $1+2+\cdots+15$ vaut :
a) 105   b) 120   c) 135   d) 225

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG suit le nombre total d'arbres plantés dans le cadre d'un programme de reboisement. Le nombre cumulé d'arbres plantés après $n$ années, noté $u_n$, vérifie $u_0=200$ (arbres plantés la première année) et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+150$ (150 nouveaux arbres plantés chaque année, qui s'ajoutent au total).

Consigne : Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$, et dire si ce modèle est cohérent avec un programme de reboisement mené sans interruption.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan dépose $30\,000$ FCFA sur un compte d'épargne la première année. Chaque année suivante, il augmente son dépôt de $10\%$ par rapport à l'année précédente : les dépôts successifs suivent donc une suite géométrique $(u_n)$ de raison $q=1{,}1$, avec $u_0=30\,000$.

Consigne : Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_4$ (dépôt de la 5^e année, arrondi au FCFA près), puis calculer la somme totale déposée sur 5 ans ($u_0$ à $u_4$, arrondie au FCFA près).

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=2x^2-1$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
1) Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
2) Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$, et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=3$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=2v_n-1$.
3) Calculer $v_1$, $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
4) En observant les écarts entre termes consécutifs, conjecturer une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis vérifier cette conjecture pour $n=0,1,2,3,4$.

Problème.

Partie A. Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0=6$ et pour raison $r=5$.
1) Calculer $u_{15}$.
2) Calculer la somme $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Partie B. Une suite géométrique a pour premier terme $v_0=4$ et pour raison $q=\dfrac12$.
3) Calculer $v_5$.
4) Calculer la somme $T=v_0+v_1+\cdots+v_5$.

Partie C.
5) Sans calcul supplémentaire, comparer en une phrase le comportement des deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ pour de grandes valeurs de $n$.

Une tisserande lance un nouvel atelier. La première semaine, elle tisse 12 pagnes. Comme elle gagne en habileté, elle tisse ensuite, chaque semaine, 3 pagnes de plus que la semaine précédente. On note \(u_n\) le nombre de pagnes tissés pendant la semaine numéro \(n\), avec \(u_1=12\).

1) Calcule \(u_2\) et \(u_3\), puis écris la relation qui lie \(u_{n+1}\) et \(u_n\).

2) Justifie que la suite \((u_n)\) est arithmétique et précise sa raison. Déduis-en que \(u_n=3n+9\) pour tout entier \(n\geq 1\), puis calcule \(u_{20}\).

3) Pendant quelle semaine la tisserande tisse-t-elle exactement 60 pagnes ?

4) Calcule le nombre total de pagnes tissés pendant les 20 premières semaines.

5) Calcule le nombre total de pagnes tissés pendant les 10 premières semaines, puis pendant les 10 semaines suivantes.

6) L'écart entre ces deux totaux est de 300 pagnes. Explique ce nombre sans refaire de somme, en comparant \(u_{n+10}\) et \(u_n\).

Un groupement de maraîchères dépose 200 000 F dans une caisse d'épargne. Chaque année, la caisse ajoute au compte des intérêts égaux à 10 % de la somme présente, puis le groupement verse 30 000 F supplémentaires. On note \(u_n\) la somme, en francs, présente sur le compte au bout de \(n\) années, avec \(u_0=200\,000\).

1) Calcule \(u_1\) et \(u_2\).

2) Justifie que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=1{,}1\,u_n+30\,000\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifie à l'aide de \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).

3) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n+300\,000\). Justifie que la suite \((v_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme \(v_0\).

4) Exprime \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\). Calcule la somme présente sur le compte au bout de 5 ans, sachant que \(1{,}1^5=1{,}61051\).

5) Quelle somme totale le groupement a-t-il versée lui-même en 5 ans, dépôt initial compris ? Déduis-en le montant total des intérêts reçus et interprète ce résultat.

La suite \((u_n)\) est arithmétique, de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\). On sait que \(u_2+u_5=31\) et que \(u_3+u_8=43\). La suite \((v_n)\) est géométrique, de premier terme \(v_0\) et de raison \(q\) strictement positive. On sait que \(v_1=6\) et que \(v_3=24\).

1) En écrivant chaque terme en fonction de \(u_0\) et de \(r\), montre que \(u_0\) et \(r\) vérifient un système de deux équations, puis résous ce système.

2) Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\). Les nombres 152 et 100 sont-ils des termes de la suite \((u_n)\) ? Justifie.

3) Calcule la somme \(S=u_0+u_1+\dots+u_{49}\).

4) Détermine la raison \(q\), puis le premier terme \(v_0\). Explique pourquoi la précision « \(q\) strictement positive » est nécessaire.

5) Calcule la somme \(T=v_0+v_1+\dots+v_7\) des 8 premiers termes de la suite \((v_n)\).

6) Calcule \(u_n\) et \(v_n\) pour \(n\) allant de 0 à 4. À partir de quel rang, parmi ces valeurs, \(v_n\) dépasse-t-il \(u_n\) ? Interprète en comparant la façon dont les deux suites augmentent.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n=n^2-8n+15\). On note \(f\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^2-8x+15\), de sorte que \(u_n=f(n)\).

1) Calcule les six premiers termes de la suite, de \(u_0\) à \(u_5\).

2) La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique ? Justifie avec les trois premiers termes.

3) Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations \(x^2-8x+15=0\) et \(x^2-8x+15=48\). Déduis-en les rangs \(n\) pour lesquels \(u_n=0\), puis le rang pour lequel \(u_n=48\).

4) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\). Déduis-en le plus petit terme de la suite et justifie que \(u_n\geq -1\) pour tout entier naturel \(n\).

5) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n=u_{n+1}-u_n\). Montre que \(d_n=2n-7\), puis justifie que la suite \((d_n)\) est arithmétique.

6) Calcule la somme \(d_0+d_1+\dots+d_9\) avec la formule de la somme, puis compare-la à \(u_{10}-u_0\). Explique cette égalité.