Statistique

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Série : $3,5,7,9$. L'étendue vaut :
a) 4   b) 6   c) 9   d) 3

2) Série de moyenne 8 : $6,7,9,10$. L'écart-moyen vaut :
a) 1   b) 1,5   c) 2   d) 6

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\dfrac1n\sum x_i-\bar x$   b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$   c) $V=\sqrt{\dfrac1n\sum x_i^2}$   d) $V=\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i$

4) Si $\sigma=3$, alors la variance $V$ vaut :
a) 9   b) 6   c) 3   d) 1,5

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux champs de mil dans la province du Yatenga ont produit, sur 5 années successives, les rendements suivants (en sacs de 100 kg) :
Champ A : $18,\;20,\;19,\;21,\;22$
Champ B : $12,\;25,\;15,\;28,\;20$

Consigne : Calculer la moyenne de chaque champ, calculer l'écart-type de chaque champ à l'aide de la formule simplifiée, et conclure sur la régularité de chaque champ pour aider l'agriculteur à décider lequel privilégier en cas de mauvaise saison.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.

Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?

Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.

1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.

Problème. On relève les notes sur 20 obtenues par 5 élèves à un devoir : $8,\;10,\;10,\;12,\;15$.

Partie A.
1) Calculer la moyenne de cette série.
2) Calculer l'étendue de cette série.

Partie B.
3) Calculer la variance à l'aide de la formule simplifiée.
4) En déduire l'écart-type, arrondi au centième.

Partie C.
5) Le professeur décide d'ajouter 2 points de bonus à chaque note. Sans refaire tous les calculs, donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type, en justifiant.

Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.

Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?

Les 60 élèves d'un club de lecture ont indiqué le nombre de livres qu'ils ont lus pendant le trimestre. Le responsable a représenté les réponses par un diagramme circulaire. Voici l'angle du secteur associé à chaque réponse.

1) Vérifie que la somme des angles est égale à 360 degrés. Calcule l'angle qui correspond à un seul élève, puis dresse le tableau des effectifs de cette série.

2) Détermine le mode de la série, puis calcule le nombre moyen de livres lus par élève.

3) Calcule les effectifs cumulés croissants, puis détermine la médiane de la série. Justifie ta réponse.

4) Détermine le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\). Interprète la valeur de \(Q_3\) par une phrase.

5) Le responsable affirme : « Plus de la moitié des élèves du club ont lu moins de livres que la moyenne du club. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul de pourcentage.

On a demandé à 50 élèves d'une classe la durée, en minutes, de leur trajet du matin jusqu'au lycée. Les réponses sont regroupées en classes.

1) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe, puis calcule la fréquence de chaque classe en pourcentage.

2) Quelle est la classe modale ? On construit l'histogramme de cette série en prenant 1 cm de hauteur pour 2 élèves : décris-le en donnant la hauteur de chaque rectangle.

3) Calcule la durée moyenne du trajet en utilisant les centres des classes.

4) Calcule les effectifs cumulés croissants. Dans quelle classe se trouve la médiane ? Justifie. Quel pourcentage des élèves met au moins 30 minutes pour venir au lycée ?

5) On décide de regrouper les deux premières classes en une seule classe \([0\,;20[\). Donne son effectif et son amplitude. Explique pourquoi, dans l'histogramme, son rectangle doit avoir une hauteur de \(4{,}75\) cm et non de \(9{,}5\) cm. La classe \([0\,;20[\) devient-elle la classe modale ?

Deux groupes de 10 élèves ont passé le même devoir, noté sur 20. Voici leurs notes.

1) Calcule la moyenne de chaque groupe. Que constates-tu ?

2) Détermine la médiane de chaque groupe.

3) La variance d'une série est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et la moyenne. Calcule la variance du groupe A.

4) Calcule de même la variance du groupe B.

5) Lequel des deux groupes a les notes les plus regroupées autour de la moyenne ? Justifie, puis explique pourquoi la moyenne seule ne suffit pas à comparer ces deux groupes.

6) Deux élèves du groupe A, absents le jour du devoir, le passent plus tard et obtiennent tous les deux la même note \(n\). La moyenne des 12 élèves du groupe A devient alors \(10{,}5\). Écris une équation vérifiée par \(n\), puis calcule \(n\).

Lors d'un tournoi de football entre lycées, on a noté le nombre de buts marqués dans chacun des 40 matchs. Une tache d'encre a effacé deux effectifs du tableau, notés \(x\) et \(y\).

On sait de plus que le nombre moyen de buts par match est \(2{,}3\).

1) En utilisant l'effectif total puis la moyenne, montre que \(x\) et \(y\) vérifient \(x+y=16\) et \(x+3y=34\).

2) Résous ce système, puis écris le tableau complet des effectifs.

3) Quel est le mode de la série ? On représente la série par un diagramme en bâtons en prenant 1 cm pour 2 matchs : donne la hauteur de chaque bâton.

4) Calcule les effectifs cumulés croissants, puis détermine la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.

5) L'organisateur déclare : « Dans la majorité des matchs, il y a eu au moins 3 buts. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifie par un calcul de pourcentage.