Première A2 · Leçon 3
Généralités sur les fonctions
Exercices corrigés
Reconnaître une fonction paire ou impaire
On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^4-3x^2\), \(g(x)=x^3-5x\), \(h(x)=x^2+x\) et \(k(x)=\dfrac3{x^2+1}\).
1) Justifie que l'ensemble de définition de chacune est symétrique par rapport à \(0\).
2) Étudie la parité de \(f\) et de \(g\).
3) Montre que \(h\) n'est ni paire ni impaire.
4) Étudie la parité de \(k\) et donne l'élément de symétrie de sa courbe.
Voir le corrigé
- 1) Les quatre fonctions sont définies sur \(\mathbb{R}\) (pour \(k\), le dénominateur \(x^2+1\) ne s'annule jamais car \(x^2+1\ge1\)). Si \(x\) est réel, \(-x\) l'est aussi : \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\).
- 2) \(f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x)\) : \(f\) est paire. \(g(-x)=(-x)^3-5(-x)=-x^3+5x=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
- 3) \(h(1)=1+1=2\) et \(h(-1)=1-1=0\). Comme \(h(-1)\neq h(1)\), \(h\) n'est pas paire ; comme \(h(-1)\neq-h(1)=-2\), elle n'est pas impaire. Un seul contre-exemple suffit dans chaque cas.
- 4) \(k(-x)=\dfrac3{(-x)^2+1}=\dfrac3{x^2+1}=k(x)\) : \(k\) est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Réponse : \(f\) et \(k\) sont paires (courbes symétriques par rapport à l'axe des ordonnées), \(g\) est impaire, \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Étude d’une fonction polynôme du second degré
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-4x+3\).
1) Montre que \(f(x)=(x-2)^2-1\) pour tout réel \(x\).
2) Déduis-en le minimum de \(f\) et la valeur de \(x\) où il est atteint.
3) Calcule \(f'(x)\) et retrouve le sens de variation de \(f\).
4) Résous l'équation \(f(x)=0\) et donne l'axe de symétrie de la courbe.
Voir le corrigé
- 1) On développe le membre de droite avec l'identité remarquable \((a-b)^2\) : \((x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3=f(x)\).
- 2) Pour tout \(x\), \((x-2)^2\ge0\), donc \(f(x)\ge-1\), avec égalité seulement pour \(x=2\). Le minimum de \(f\) est \(-1\), atteint en \(x=2\).
- 3) \(f'(x)=2x-4=2(x-2)\). \(f'(x)\lt 0\) pour \(x\lt 2\) et \(f'(x)\gt 0\) pour \(x\gt 2\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\) et croissante sur \([2\,;+\infty[\), ce qui confirme le minimum en \(2\).
- 4) \((x-2)^2-1=0\iff(x-2)^2=1\iff x-2=1\) ou \(x-2=-1\), soit \(x=3\) ou \(x=1\). La courbe est une parabole de sommet \(S(2\,;-1)\), symétrique par rapport à la droite d'équation \(x=2\) ; les points \((1\,;0)\) et \((3\,;0)\) sont bien symétriques par rapport à cette droite.
Réponse : \(f(x)=(x-2)^2-1\) ; minimum \(-1\) en \(x=2\) ; \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;2]\), croissante sur \([2\,;+\infty[\) ; solutions \(1\) et \(3\) ; axe de symétrie \(x=2\).
Le bénéfice d’une vendeuse de pagnes
Une vendeuse de pagnes estime que, pour \(q\) pagnes vendus dans la semaine (\(0\le q\le50\)), son bénéfice en milliers de francs CFA est \(B(q)=-q^2+60q-500\).
1) Calcule \(B(0)\) et \(B(20)\), puis interprète les résultats.
2) Calcule \(B'(q)\) et dresse le tableau de variation de \(B\) sur \([0\,;50]\).
3) Combien de pagnes doit-elle vendre pour que son bénéfice soit maximal ? Quel est ce bénéfice ?
4) Résous l'équation \(B(q)=0\), puis donne les quantités pour lesquelles l'activité n'est pas déficitaire.
Une fonction homographique
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{x+3}{x+1}\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1) Donne l'ensemble de définition \(D\) de \(f\) et montre que \(f(x)=1+\dfrac2{x+1}\).
2) Détermine les limites de \(f\) aux bornes de \(D\) et déduis-en les asymptotes de \(\mathcal{C}\).
3) Calcule \(f'(x)\) et étudie le sens de variation de \(f\).
4) Détermine les points d'intersection de \(\mathcal{C}\) avec les axes, et le centre de symétrie de \(\mathcal{C}\).
Étude complète d’une fonction de degré 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x+2\).
1) Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2) Calcule \(f'(x)\), factorise-la et étudie son signe.
3) Dresse le tableau de variation de \(f\).
4) Vérifie que \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\) et déduis-en les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
5) Résous l'équation \(f(x)=2\).
Une parabole et son axe de symétrie
On considère la fonction polynôme \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-6x+5\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) Calcule \(f(0)\), \(f(6)\), \(f(1)\) et \(f(5)\). Que remarques-tu ?
2) Calcule \(f(-1)\). La fonction \(f\) est-elle paire ? Est-elle impaire ? Justifie.
3) Montre que, pour tout réel \(h\), \(f(3+h)=h^2-4\) et \(f(3-h)=h^2-4\). Que peux-tu en déduire pour la courbe \((C)\) ?
4) Déduis de la question 3 que, pour tout réel \(x\), \(f(x)\geq -4\). Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x)=-4\) ? Interprète ce résultat sur la courbe \((C)\).
5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=12\), puis vérifie que les deux solutions sont placées symétriquement par rapport à 3.
Fonction impaire et centre de symétrie
On considère la fonction polynôme \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x^3-9x\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère d'origine \(O\).
1) Montre que la fonction \(g\) est impaire. Que peux-tu en déduire pour la courbe \((C)\) ?
2) Calcule \(g(1)\), \(g(2)\) et \(g(4)\). Déduis-en, sans nouveau calcul, les valeurs de \(g(-1)\), \(g(-2)\) et \(g(-4)\).
3) Vérifie que \(g(x)=x(x-3)(x+3)\), puis résous l'équation \(g(x)=0\). Que remarques-tu sur les solutions ?
4) Étudie le signe de \(g(x)\) selon les valeurs de \(x\), puis donne l'ensemble des solutions de l'inéquation \(g(x)\gt 0\).
5) On considère la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x)=x^3-9x+2\). Calcule \(k(1)\) et \(k(-1)\) : la fonction \(k\) est-elle paire ou impaire ? Montre ensuite que, pour tout réel \(x\), \(k(-x)+k(x)=4\), et déduis-en un centre de symétrie de la courbe de \(k\).
Durée d'un trajet et vitesse
Un chauffeur de car doit parcourir un trajet de 180 km. S'il roule à la vitesse moyenne de \(v\) km/h, avec \(v\gt 0\), la durée du trajet, en heures, est \(t(v)=\dfrac{180}{v}\).
1) Calcule \(t(45)\), \(t(60)\) et \(t(90)\), puis interprète ces résultats.
2) À quelle vitesse moyenne le chauffeur doit-il rouler pour que le trajet dure 2 heures 30 minutes ? Vérifie ta réponse.
3) Montre que, pour tout \(v\gt 0\), \(t(2v)=\dfrac{t(v)}{2}\). Interprète cette égalité et illustre-la avec deux résultats de la question 1.
4) Pour quelles vitesses le trajet dure-t-il au plus 3 heures ? Sachant que la vitesse moyenne du car ne peut pas dépasser 90 km/h, justifie que le trajet dure au moins 2 heures.
5) On considère maintenant la fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) non nul par \(f(x)=\dfrac{180}{x}\). Montre que \(f\) est impaire, donne \(f(-60)\) sans calcul à partir de la question 1, et précise l'élément de symétrie de la courbe de \(f\). Les valeurs négatives de \(x\) ont-elles un sens pour le trajet ?
Le ballon lancé vers le haut
Un joueur lance un ballon vers le haut. La hauteur du ballon au-dessus de son point de départ, en mètres, \(t\) secondes après le lancer, est donnée par \(H(t)=at^2+bt\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels à déterminer. On a mesuré que le ballon est à 15 m de hauteur au bout de 1 seconde et à 20 m de hauteur au bout de 2 secondes.
1) Traduis les deux mesures par un système de deux équations d'inconnues \(a\) et \(b\), et montre qu'il s'écrit \(a+b=15\) et \(2a+b=10\).
2) Résous ce système, puis donne l'expression de \(H(t)\). Vérifie-la avec les deux mesures.
3) Montre que, pour tout réel \(h\), \(H(2+h)=20-5h^2\) et \(H(2-h)=20-5h^2\). Que peux-tu en déduire pour la courbe de la fonction \(H\) ?
4) Déduis de la question 3 la hauteur maximale atteinte par le ballon et l'instant où elle est atteinte. Justifie.
5) À quels instants le ballon est-il à 15 m de hauteur ? Pendant combien de temps reste-t-il au-dessus de 15 m ? À quel instant revient-il à sa hauteur de départ ?