Équations et inéquations dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le discriminant de $2x^2+3x-5$ vaut :
a) $49$   b) $9$   c) $29$   d) $1$

2) Les racines de $x^2-7x+10=0$ sont :
a) $2$ et $5$   b) $-2$ et $-5$   c) $1$ et $10$   d) $2$ et $-5$

3) La forme canonique de $x^2-6x+5$ est :
a) $(x-3)^2-4$   b) $(x-3)^2+4$   c) $(x+3)^2-4$   d) $(x-6)^2+5$

4) Le signe de $(x-2)(x+4)$ pour $x\in\,]-4;2[$ est :
a) négatif   b) positif   c) nul   d) indéterminé

Exercice supplémentaire. On considère le polynôme $P(x)=2x^2-5x-3$.

1) Calculer le discriminant de $P$.
2) Résoudre l'équation $P(x)=0$.
3) En déduire la factorisation de $P(x)$ puis résoudre l'inéquation $P(x)\le0$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

Problème. On considère $P(x)=x^2+x-12$.

Partie A. 1) Vérifier que $3$ est racine de $P$, puis factoriser $P(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $P(x)<0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $P$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

Un éleveur veut construire un enclos rectangulaire pour ses poules. L'un des côtés de l'enclos est formé par le mur de sa cour et ne reçoit pas de grillage. Les trois autres côtés sont clôturés avec 34 m de grillage, utilisés entièrement. On note \(x\) la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1) Exprime en fonction de \(x\) la longueur du côté parallèle au mur, puis justifie que \(x\) est compris strictement entre 0 et 17.

2) Montre que l'aire de l'enclos, en mètres carrés, est \(A(x)=-2x^2+34x\).

3) L'éleveur souhaite un enclos de 140 mètres carrés. Montre que \(x\) vérifie l'équation \(x^2-17x+70=0\), résous cette équation et donne les dimensions des enclos possibles.

4) Pour quelles valeurs de \(x\) l'aire de l'enclos est-elle au moins égale à 120 mètres carrés ? Tu montreras d'abord que cette condition s'écrit \(x^2-17x+60\leq 0\).

5) L'éleveur peut-il obtenir un enclos de 150 mètres carrés avec ce grillage ? Justifie ta réponse par un calcul et interprète le résultat.

On considère le polynôme du second degré \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=3x^2-5x-12\).

1) Calcule le discriminant de \(P\), puis détermine ses zéros.

2) Factorise \(P(x)\) et vérifie que \(P(x)=(x-3)(3x+4)\).

3) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\), puis résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x)\lt 0\). Justifie le signe trouvé à l'aide de la règle du cours.

4) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x)\geq -12\).

5) En utilisant la factorisation de la question 2, résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(P(x)=(x-3)^2\). Vérifie la solution autre que 3.

On considère l'expression \(Q(x)=\dfrac{3x-12}{2x+5}\), où \(x\) est un nombre réel.

1) Pour quelle valeur de \(x\) l'expression \(Q(x)\) n'existe-t-elle pas ? Justifie.

2) Résous l'équation \(Q(x)=0\).

3) Étudie le signe de \(3x-12\) et celui de \(2x+5\), puis dresse le tableau de signes de \(Q(x)\).

4) Résous l'inéquation \(Q(x)\geq 0\). Explique pourquoi l'une des deux valeurs particulières du tableau appartient à l'ensemble des solutions et pas l'autre.

5) Déduis du tableau, sans nouveau calcul, les solutions de l'inéquation \(Q(x)\lt 0\), puis donne tous les nombres entiers qui sont solutions.

6) Montre que, lorsque \(Q(x)\) existe, \(Q(x)-1=\dfrac{x-17}{2x+5}\). Déduis-en les solutions de l'inéquation \(Q(x)\leq 1\).

Une couturière fabrique et vend chaque mois \(x\) sacs en pagne, où \(x\) est un nombre compris entre 0 et 50. Son bénéfice mensuel, exprimé en milliers de francs, est donné par \(B(x)=-x^2+50x-400\). Un bénéfice négatif correspond à une perte.

1) Calcule \(B(0)\) et \(B(15)\), puis interprète ces deux résultats pour la couturière.

2) Résous l'équation \(B(x)=0\).

3) Détermine le signe de \(B(x)\) selon les valeurs de \(x\) entre 0 et 50. Combien de sacs la couturière doit-elle vendre pour ne pas travailler à perte ?

4) Pour quels nombres de sacs le bénéfice est-il au moins égal à 200 milliers de francs ?

5) Résous l'équation \(B(x)=225\). Que remarques-tu sur le discriminant ?

6) Montre que, pour tout réel \(x\), \(225-B(x)=(x-25)^2\). Déduis-en le bénéfice le plus élevé que la couturière peut espérer et le nombre de sacs correspondant.