Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un village, sur 60 habitants, 35 pratiquent l'agriculture (A), 20 pratiquent l'élevage (E), 10 pratiquent les deux. $\text{card}(A\cup E)$ vaut :
a) 55   b) 45   c) 65   d) 25

2) Soit $E$ un ensemble de cardinal 8 et $A$ une partie de $E$ avec $\text{card}(A)=5$. $\text{card}(\overline A)$ vaut :
a) 3   b) 5   c) 8   d) 13

3) Un menu comporte 3 entrées et 5 desserts. Le nombre de combinaisons possibles (une entrée, un dessert) est :
a) 8   b) 15   c) 35   d) 53

4) Un ensemble $E$ a 6 éléments. Le nombre de parties de $E$ est :
a) 6   b) 12   c) 36   d) 64

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le nombre de façons de ranger 6 objets distincts en ligne est :
a) 36   b) 120   c) 720   d) 46656

2) $A_7^2$ vaut :
a) 42   b) 49   c) 21   d) 14

3) Un jury distingue, dans l'ordre, un 1^er, un 2^e et un 3^e prix parmi 9 candidats. Le nombre de podiums possibles est :
a) 504   b) 729   c) 84   d) 27

4) Le mot-clé qui signale un arrangement (et non une combinaison) est :
a) l'ordre ne compte pas   b) les rôles ou rangs sont distincts   c) répétition autorisée   d) aucun ordre

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom93$ vaut :
a) 84   b) 504   c) 27   d) 729

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, $\binom{10}4$ est égal à :
a) $\binom{10}4$   b) $\binom{10}5$   c) $\binom{10}6$   d) $\binom{10}{10}$

3) En développant $(x+2)^3$ à l'aide du triangle de Pascal, le coefficient du terme en $x$ (c'est-à-dire de $x^1$) est :
a) 3   b) 6   c) 8   d) 12

4) $\binom52+\binom53$ vaut :
a) 15   b) 20   c) 25   d) 30

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole regroupe 80 membres. Une enquête montre que 52 membres cultivent le maïs (\(M\)), 41 cultivent le coton (\(C\)), et 18 cultivent les deux. Le président de la coopérative souhaite savoir combien de membres cultivent au moins l'une des deux cultures, et surtout combien n'en cultivent aucune des deux — car un programme de sensibilisation à la diversification doit être lancé si plus de 15% des membres sont dans ce cas.

Consigne : Calculer $\text{card}(M\cup C)$, en déduire le nombre de membres qui ne cultivent ni maïs ni coton, calculer le pourcentage correspondant, et conclure si le président doit lancer le programme de sensibilisation.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une radio prépare la diffusion d'un compte à rebours musical pour un festival culturel : elle doit choisir, dans l'ordre exact de diffusion, 5 chansons parmi une playlist de 12 morceaux traditionnels déjà sélectionnés. Le producteur hésite entre programmer l'ordre manuellement ou investir dans un logiciel d'aide à la programmation — il estime qu'au-delà de 500 ordres possibles, la programmation manuelle est trop risquée pour trouver le meilleur enchaînement.

Consigne : Calculer le nombre d'ordres de diffusion possibles pour les 5 chansons choisies parmi les 12, puis conseiller le producteur : doit-il investir dans le logiciel ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de femmes, spécialisée dans la transformation du beurre de karité, compte 12 membres formées à la présentation de leurs produits. Pour une foire régionale, elle doit désigner une délégation de 3 membres (aucun rôle particulier n'est attribué : la délégation est un simple groupe).

Consigne : Calculer le nombre de délégations possibles, puis vérifier ce résultat à l'aide de la relation de Pascal $\binom np=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}p$.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème.

Partie A. Un lycée compte 150 élèves de Terminale. Parmi eux, 90 pratiquent le football ($F$), 60 pratiquent le basketball ($B$), et 25 pratiquent les deux sports.

1) Déterminer $\text{card}(F\cup B)$.
2) En déduire combien d'élèves ne pratiquent ni le football ni le basketball.

Partie B. Le comité d'organisation du tournoi est formé de 4 élèves $E=\{A;B;C;D\}$.
3) Combien de parties (sous-comités, y compris l'ensemble vide et $E$ tout entier) l'ensemble $E$ possède-t-il au total ?
4) Combien de ces parties comptent strictement plus de 2 membres (c'est-à-dire 3 ou 4 membres) ?

Partie C. Pour un match d'exhibition, le comité souhaite former un binôme composé d'un élève pratiquant uniquement le football et d'un élève pratiquant uniquement le basketball.
5) Combien de binômes (football-seul, basketball-seul) sont possibles ?

Problème. Un comité de 10 élèves doit élire un bureau composé de trois rôles distincts : un président, un vice-président et un secrétaire.

Partie A.
1) Combien de bureaux différents (président, vice-président, secrétaire) sont possibles au total ?

Partie B. Parmi les 10 élèves, 4 sont en Terminale D et 6 sont en Terminale C. Le règlement impose que le président soit obligatoirement en Terminale D (les deux autres rôles restant ouverts à n'importe lequel des 9 élèves restants, tous niveaux confondus).
2) Combien de bureaux respectant cette contrainte sont possibles ?

Partie C.
3) Pour la photo de fin d'année, les 10 élèves du comité sont alignés côte à côte. Combien de dispositions différentes sont possibles ?

Dans la bibliothèque d'un lycée, chaque livre reçoit une étiquette formée d'une lettre suivie de trois chiffres. La lettre, qui désigne le rayon, est choisie dans l'ensemble \(L=\{A, B, C, D, E\}\). Chacun des trois chiffres est choisi dans l'ensemble \(D=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ; un même chiffre peut être utilisé plusieurs fois. Par exemple, B335 et E612 sont deux étiquettes.

1) Combien d'étiquettes différentes peut-on former ? Justifie ta réponse en précisant le modèle de dénombrement utilisé pour les trois chiffres.

2) Combien d'étiquettes ont leurs trois chiffres deux à deux distincts ?

3) Déduis-en le nombre d'étiquettes dans lesquelles au moins un chiffre est répété.

4) Combien d'étiquettes commencent par une voyelle et se terminent par un chiffre pair ?

5) La bibliothécaire réserve aux dictionnaires les étiquettes dont les trois chiffres sont rangés dans l'ordre strictement croissant de gauche à droite, comme A246. Explique pourquoi choisir les trois chiffres d'une telle étiquette revient à choisir une combinaison, puis calcule le nombre d'étiquettes réservées aux dictionnaires.

Pour la fête de fin d'année, le club de couture d'un lycée organise un défilé. Sept tenues, toutes différentes, ont été confectionnées : 4 tenues traditionnelles et 3 tenues modernes. Chaque tenue est présentée une seule fois, l'une après l'autre.

1) Combien d'ordres de présentation des sept tenues sont possibles ? Justifie le modèle de dénombrement utilisé.

2) Combien d'ordres de présentation font défiler les 3 tenues modernes l'une à la suite de l'autre, sans tenue traditionnelle entre elles ?

3) Combien d'ordres de présentation regroupent à la fois toutes les tenues traditionnelles ensemble et toutes les tenues modernes ensemble ? Explique pourquoi ce nombre est plus petit que celui de la question précédente.

4) Combien d'ordres de présentation commencent et se terminent par une tenue traditionnelle ?

5) Faute de temps, on ne présente finalement que 3 des 7 tenues, l'une après l'autre. Combien de défilés différents peut-on ainsi organiser ? Parmi eux, combien comportent au moins une tenue moderne ?

Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On rappelle que \(A_n^p=n(n-1)\times\dots\times(n-p+1)\) et que \(C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}\).

1) Calcule \(A_7^3\) puis \(C_7^3\). Explique par une phrase ce que compte le nombre \(3!\) par lequel on divise.

2) Justifie que \(A_n^2=n(n-1)\) et que \(C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}\).

3) Lors d'une rencontre, \(n\) personnes sont présentes et chacune serre la main de chacune des autres, une fois et une seule. Explique pourquoi le nombre de poignées de main est \(C_n^2\) et non \(A_n^2\), puis calcule ce nombre pour 8 personnes.

4) À une autre rencontre, on a compté 66 poignées de main. En résolvant une équation du second degré, détermine le nombre de personnes présentes.

5) Détermine l'entier \(n\) pour lequel \(A_n^2=C_n^2+36\), puis vérifie ta réponse.

Un lycée organise un concours de contes. Pour former le jury, on dispose de 11 volontaires : 6 enseignants et 5 parents d'élèves. Le jury est composé de 3 personnes.

1) Dans un premier temps, les trois membres du jury ont le même rôle. Combien de jurys différents peut-on former ? Justifie le modèle de dénombrement utilisé.

2) Combien de jurys sont formés uniquement d'enseignants ? Combien sont formés uniquement de parents d'élèves ?

3) Un jury est dit mixte s'il comprend au moins un enseignant et au moins un parent d'élève. Déduis de ce qui précède le nombre de jurys mixtes, puis retrouve ce nombre en comptant séparément les jurys de 2 enseignants et 1 parent et les jurys de 1 enseignant et 2 parents.

4) Finalement, on décide que le jury comporte un président, un rapporteur et un chronométreur, qui sont trois personnes différentes choisies parmi les 11 volontaires. Combien de jurys ainsi organisés peut-on former ? Explique le lien entre ce nombre et celui de la question 1.

5) Parmi les jurys organisés de la question 4, combien ont un enseignant pour président ?