Suites numériques

Exercice 1 — Démonstration par récurrence

Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.

Exercice 2 — Suite arithmétique

Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(4n^2-7)$ vaut :
a) $4$   b) $-7$   c) $+\infty$   d) $0$

2) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac1{n^3}$ vaut :
a) $+\infty$   b) $1$   c) $0$   d) n'existe pas

3) Soit $u_n=(0{,}8)^n$. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n$ vaut :
a) $0$   b) $+\infty$   c) $1$   d) $0{,}8$

4) $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(9-5\times\left(\dfrac13\right)^n\right)$ vaut :
a) $9$   b) $4$   c) $-5$   d) n'existe pas

Exercice 3 — Monotonie et limite

Étudier la monotonie de $u_n = \dfrac{n+3}{n+1}$ pour $n\ge0$, puis déterminer sa limite.

Exercice 4 — Point fixe

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.

Exercice 5 — Divergence de la série harmonique

Soit $u_n = 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n$ pour $n\ge1$. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante et que $u_{2n}-u_n \ge \dfrac12$ pour tout $n\ge1$. En déduire que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.

Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.

On considère les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies par \(a_0=1\), \(b_0=8\) et, pour tout entier naturel \(n\), \[a_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{3}\qquad\text{et}\qquad b_{n+1}=\dfrac{a_n+3b_n}{4}.\] Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(d_n=b_n-a_n\).

1) Calcule \(a_1\), \(b_1\), \(a_2\) et \(b_2\) sous forme de fractions irréductibles.

2) Démontre que la suite \((d_n)\) est géométrique. Exprime \(d_n\) en fonction de \(n\), puis donne son signe et sa limite.

3) Exprime \(a_{n+1}-a_n\) et \(b_{n+1}-b_n\) en fonction de \(d_n\). Déduis-en le sens de variation des suites \((a_n)\) et \((b_n)\).

4) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(1\leq a_n\leq b_n\leq 8\). Justifie que les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) convergent, puis démontre qu'elles ont la même limite, notée \(\ell\).

5) Démontre que la suite de terme général \(3a_n+4b_n\) est constante. Déduis-en la valeur de \(\ell\).

6) Exprime \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\). À partir de quel rang l'écart \(b_n-a_n\) est-il strictement inférieur à \(10^{-3}\) ? Justifie à l'aide du logarithme népérien.

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(I=[3\,;4]\) par \(f(x)=2+\ln x\). On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). On donne \(\ln 3\approx 1{,}0986\) et \(\ln 4\approx 1{,}3863\).

1) On pose \(g(x)=f(x)-x\) pour \(x\) dans \(I\). Étudie les variations de \(g\) et démontre que l'équation \(f(x)=x\) admet dans \(I\) une unique solution, notée \(\alpha\).

2) Démontre que, pour tout \(x\) de \(I\), \(f(x)\) appartient à \(I\) et \(0\lt f'(x)\leq\dfrac{1}{3}\).

3) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(3\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 4\). Que peux-tu en déduire pour la suite \((u_n)\) ?

4) À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{3}|u_n-\alpha|\). Déduis-en que \(|u_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).

5) Détermine la limite de la suite \((u_n)\). Trouve ensuite le plus petit entier \(n\) tel que \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\leq 10^{-4}\) et explique ce que représente alors \(u_n\) pour le nombre \(\alpha\).

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose \[S_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{3n},\] somme des inverses de tous les entiers compris entre \(n+1\) et \(3n\).

1) Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1. En appliquant l'inégalité des accroissements finis à la fonction \(\ln\) sur l'intervalle \([k\,;k+1]\), démontre que \(\dfrac{1}{k+1}\leq\ln(k+1)-\ln k\leq\dfrac{1}{k}\).

2) Calcule \(S_1\) et \(S_2\). Démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{3n+1}+\dfrac{1}{3n+2}-\dfrac{2}{3n+3}\), puis que la suite \((S_n)\) est croissante.

3) À l'aide de la question 1, démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(\ln\left(\dfrac{3n+1}{n+1}\right)\leq S_n\leq\ln 3\).

4) Démontre que la suite \((S_n)\) converge et détermine sa limite.

5) Démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(0\leq\ln 3-S_n\leq\dfrac{2}{3n+1}\). Détermine le plus petit entier \(n\) tel que \(\dfrac{2}{3n+1}\leq 10^{-2}\) et interprète ce résultat.

Une plante flottante envahit une retenue d'eau utilisée par des maraîchers. On note \(u_n\) la fraction de la surface de la retenue recouverte par la plante au bout de \(n\) semaines ; au départ, \(u_0=\dfrac{1}{5}\). On modélise la progression ainsi : chaque semaine, la plante gagne une part de la surface encore libre égale à la fraction déjà recouverte, c'est-à-dire \(u_{n+1}=u_n+u_n(1-u_n)\). Autrement dit, \(u_{n+1}=f(u_n)\), où \(f\) est la fonction définie sur \([0\,;1]\) par \(f(x)=x(2-x)\).

1) Calcule \(u_1\) et \(u_2\) sous forme de fractions, puis en pourcentages de la surface de la retenue.

2) Étudie les variations de \(f\) sur \([0\,;1]\). Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0\lt u_n\lt 1\).

3) Démontre que la suite \((u_n)\) est croissante, puis qu'elle converge. On admet que sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell)=\ell\), car \(f\) est continue. Détermine \(\ell\) et interprète ce résultat.

4) Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=1-u_n\), fraction de la surface encore libre. Démontre que \(v_{n+1}=v_n^{\,2}\), puis démontre par récurrence que \(v_n=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2^n}\). Retrouve ainsi la limite de la suite \((u_n)\).

5) Les maraîchers ne peuvent plus puiser l'eau dès que plus de 99 % de la surface est recouverte. Au bout de combien de semaines cela se produit-il ? Justifie à l'aide du logarithme népérien.