Terminale E · Leçon 9
Calcul intégral
Intégrale : définition, linéarité, relation de Chasles
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\), et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), on appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) le réel : \[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a).\] Ce résultat est indépendant de la primitive choisie : deux primitives ne différant que d'une constante, celle-ci s'annule dans la soustraction.
Lorsque \(f \ge 0\) sur \([a\,;b]\) avec \(a \le b\), l'intégrale \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx\) représente l'aire du domaine délimité par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites verticales \(x = a\) et \(x = b\). Quand \(f\) prend des valeurs négatives, l'intégrale est une aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement.
Trois étapes : trouver une primitive \(F\) de \(f\) ; écrire le crochet \([F(x)]_a^b\) ; calculer \(F(b) - F(a)\). Rappel utile : pour \(a \ne 0\), une primitive de \(x \mapsto f(ax+b)\) est \(x \mapsto \dfrac{1}{a}F(ax+b)\). Les formes \(u'e^u\), \(u' u^\alpha\) et \(\dfrac{u'}{u}\) sont les outils de base.
On reconnaît la forme \(u' u^\alpha\) avec \(u = x^2+1\) et \(u' = 2x\) :
\[\int_{0}^{1} 2x(x^{2}+1)^{3}\,dx = \left[\frac{(x^{2}+1)^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{2^4 - 1^4}{4} = \frac{15}{4}.\]Oublier la constante multiplicative \(\dfrac{1}{a}\) lors de l'intégration d'une composée linéaire. Ainsi \(\displaystyle\int e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{2} + C\), pas \(e^{2x}\). Vérifier systématiquement en dérivant le résultat.
Aire sous \(y = \sqrt{x}\) — bornes réglables
aire \(\displaystyle\int_a^b\!\sqrt{x}\,dx\)
Ajustez \(a\) et \(b\) pour modifier l'aire intégrée
L'aire colorée correspond à la valeur de \(\displaystyle\int_a^b \sqrt{x}\,dx = \dfrac{2}{3}(b^{3/2} - a^{3/2})\). Déplacer les bornes modifie instantanément l'aire calculée.
Pour calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{2} |x|\,dx\), on remarque que \(|x| = -x\) sur \([-1\,;0]\) et \(|x| = x\) sur \([0\,;2]\). La relation de Chasles donne :
\[\int_{-1}^{2} |x|\,dx = \int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2} x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.\]Les propriétés d'ordre exigent \(a \le b\). Si les bornes sont inversées, les inégalités se renversent. Par ailleurs, \(\displaystyle\int_{a}^{b} f = 0\) n'implique pas \(f = 0\) : il suffit que les aires positives et négatives se compensent.
Relation de Chasles — déplacer le point intermédiaire \(c\)
\(\displaystyle\int_0^c\)
\(\displaystyle\int_c^3\)
Déplacez \(c\) : la somme des deux aires reste constante
Quelle que soit la position de \(c\) dans \(]0\,;\,3[\), la somme des deux intégrales vaut toujours \(\displaystyle\int_0^3(x^2+1)\,dx = 12\). C'est le sens de la relation de Chasles.
Valeur moyenne, intégrale et inégalités
La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) avec \(a < b\) est le réel :
\[\mu = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.\]Géométriquement, \(\mu\) est la hauteur du rectangle de largeur \((b-a)\) qui a la même aire que la surface sous la courbe de \(f\).
Si \(m \le f(x) \le M\) pour tout \(x \in [a\,;b]\), alors :
\[m(b-a) \;\le\; \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx \;\le\; M(b-a), \qquad\text{soit}\qquad m \;\le\; \mu \;\le\; M.\]Pour \(f(x)=e^{-x^2}\) sur \([0\,;1]\), on a \(e^{-1} \le f(x) \le 1\), donc : \[e^{-1} \;\le\; \int_{0}^{1}\!e^{-x^2}\,dx \;\le\; 1.\] Cette technique permet d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer exactement.
Valeur moyenne — le rectangle de même aire
aire sous la courbe
rectangle de hauteur \(\mu\)
Sélectionnez une fonction dans les contrôles
Le rectangle en or a la même aire que la surface sous la courbe. Sa hauteur est la valeur moyenne \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
Intégration par parties
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \([a\,;b]\) de dérivées continues, alors :
\[\int_{a}^{b}\!u'(x)\,v(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}\!u(x)\,v'(x)\,dx.\]Choisir pour \(v\) la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, \(\ln x\)) et pour \(u'\) celle qu'on sait intégrer (exponentielle, sinus, cosinus, puissance). La nouvelle intégrale \(\displaystyle\int uv'\) doit être plus simple que l'intégrale de départ. Quand \(f(x) = \ln x\), on pose \(u' = 1\), \(v = \ln x\).
| Intégrale | \(u'\) = | \(v\) = |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int x\,e^x\,dx\) | \(e^x\) | \(x\) |
| \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\) | \(\cos x\) | \(x\) |
| \(\displaystyle\int x^2\sin x\,dx\) | \(\sin x\) | \(x^2\) |
| \(\displaystyle\int \ln x\,dx\) | \(1\) | \(\ln x\) |
| \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\) | \(x\) | \(\ln x\) |
On pose \(u'(x) = e^x\) et \(v(x) = x\), d'où \(u(x) = e^x\) et \(v'(x) = 1\).
\[\int_{0}^{1}\!x\,e^{x}\,dx = \Big[x\,e^{x}\Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\!e^{x}\,dx = e - \Big[e^{x}\Big]_{0}^{1} = e - (e-1) = 1.\]On pose \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = \ln x\), d'où \(u(x) = x\) et \(v'(x) = 1/x\).
\[\int_{1}^{e}\!\ln x\,dx = \Big[x\ln x\Big]_{1}^{e} - \int_{1}^{e}\!1\,dx = e - (e-1) = 1.\]Première IPP : \(u' = \sin x\), \(v = x^2\) :
\[\int_{0}^{\pi}\!x^2\sin x\,dx = \Big[-x^2\cos x\Big]_{0}^{\pi} + 2\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx = \pi^2 + 2\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx.\]Deuxième IPP pour \(\displaystyle\int_0^\pi x\cos x\,dx\) : \(u' = \cos x\), \(v = x\) :
\[\int_{0}^{\pi}\!x\cos x\,dx = \Big[x\sin x\Big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\!\sin x\,dx = 0 + \Big[\cos x\Big]_{0}^{\pi} = -2.\]Conclusion :
\[\int_{0}^{\pi}\!x^2\sin x\,dx = \pi^2 + 2\times(-2) = \pi^2 - 4.\]Toujours vérifier que la nouvelle intégrale obtenue après l'IPP est bien plus simple que l'initiale. Si ce n'est pas le cas, on a fait le mauvais choix : il faut intervertir \(u'\) et \(v\).
Intégrale et aire, aire entre deux courbes
Si \(f \ge g\) sur \([a\,;b]\), l'aire du domaine délimité par les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\!\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\) u.a. Quand les courbes se croisent, repérer les points d'intersection, puis découper l'intervalle avec la relation de Chasles.
Sur \([0\,;1]\), on a \(\sqrt{x} \ge x^2\) :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{1}\!\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\ \text{u.a.}\]Sur \([0\,;\pi/2]\), les deux fonctions se croisent en \(x = \pi/4\). On applique Chasles :
\[\mathcal{A} = \int_{0}^{\pi/4}\!(\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\!(\sin x - \cos x)\,dx = 2(\sqrt{2}-1)\ \text{u.a.}\]Le solide engendré par la rotation autour de l'axe \((Ox)\) du domaine délimité par la courbe de \(f\) (continue, positive sur \([a\,;b]\)) et l'axe des abscisses a pour volume :
\[V = \pi\int_{a}^{b}\!\bigl[f(x)\bigr]^{2}\,dx.\]On fait tourner \(f(x)=\sqrt{R^2-x^2}\) sur \([-R\,;R]\) :
\[V = \pi\int_{-R}^{R}\!\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx = \pi\left[R^{2}x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^{3}.\]Rotation de \(f(x) = \dfrac{R}{h}x\) sur \([0\,;h]\) :
\[V_{\text{cône}} = \pi\int_{0}^{h}\!\frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi R^2 h.\]Aire entre deux courbes — choix interactif
\(g\)
aire \(\int(f-g)\)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles
La surface colorée représente l'aire algébrique entre les deux courbes. On l'obtient en intégrant la différence \(f - g\) (en valeur absolue si les courbes se croisent).
Résumé
\(\displaystyle\int_a^b\!f = F(b)-F(a)\). Aire sous la courbe si \(f\ge0\) et \(a\le b\).
Linéarité, Chasles (pour tout \(c\)), positivité et croissance si \(a \le b\). \(\displaystyle\big|\int f\big|\le\int|f|\).
\(\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b\!f\). Encadrée par le minimum et le maximum de \(f\).
\(\displaystyle\int u'v = [uv] - \int uv'\). Dériver ce qui se simplifie, intégrer ce qu'on connaît.
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_a^b\!(f-g)\) avec \(f\ge g\). Chasles si les courbes se croisent.
\(V = \pi\displaystyle\int_a^b\![f(x)]^2\,dx\). Retrouver \(\frac{4}{3}\pi R^3\) et \(\frac{1}{3}\pi R^2 h\).
Sujet type Bac
On considère \(f\) définie sur \([0\,;+\infty[\) par \(f(x) = (x+1)\,e^{-x}\).
Question 1. Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
Comme \(e^{-x} > 0\), on a \(f'(x) \le 0\) sur \([0\,;+\infty[\). \(f\) est décroissante sur cet intervalle. \(f(0) = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = 0\).
Question 2. Montrer que \(F(x) = -(x+2)\,e^{-x}\) est une primitive de \(f\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle I = \int_{0}^{1} (x+1)\,e^{-x}\,dx\) et interpréter.
Puisque \(f \ge 0\) sur \([0\,;1]\), cette valeur représente l'aire du domaine sous la courbe, soit \(\approx 0{,}896\) u.a.
Question 4. Calculer \(\displaystyle J = \int_{0}^{1} x(x+1)\,e^{-x}\,dx\) par IPP.
On pose \(u'(x) = f(x) = (x+1)e^{-x}\) (primitive \(F(x) = -(x+2)e^{-x}\)) et \(v(x) = x\) :
\[J = \Big[x\cdot(-(x+2)e^{-x})\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = -\frac{3}{e} + \int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx.\]Or \(\displaystyle\int_{0}^{1}(x+2)e^{-x}\,dx = I + \int_{0}^{1}e^{-x}\,dx = \left(2-\frac{3}{e}\right) + \left(1-\frac{1}{e}\right) = 3 - \frac{4}{e}\). Donc :
\[J = -\frac{3}{e} + 3 - \frac{4}{e} = 3 - \frac{7}{e} \approx 0{,}425.\]Question 5. Calculer le volume \(V\) du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de \(f\) autour de \((Ox)\) sur \([0\,;1]\).
On développe \((x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\) et on calcule par IPP successive. Le résultat est :
\[V = \frac{\pi}{4}\!\left(1 - \frac{5}{e^2}\right) \approx 0{,}648\ \text{u.v.}\]