Terminale E · Leçon 7
Équations différentielles
Équations différentielles : vocabulaire, solution, condition initiale
Une équation différentielle est une relation entre une fonction inconnue \(y\), définie sur un intervalle \(I\), et une ou plusieurs de ses dérivées successives. L'ordre de l'équation est l'ordre de la dérivée la plus élevée qui y apparaît.
Résoudre l'équation sur \(I\) signifie déterminer l'ensemble de toutes les fonctions dérivables sur \(I\) qui satisfont cette relation : on les appelle les solutions de l'équation. L'ensemble des solutions constitue en général une famille à un ou deux paramètres réels, selon l'ordre de l'équation.
Une condition initiale (ou condition de Cauchy) fixe la valeur de \(y\) — et éventuellement de ses dérivées — en un point particulier \(x_{0}\). Elle sélectionne, parmi toute la famille, une solution unique : la solution particulière associée à ces données.
Les trois équations suivantes illustrent les trois grandes familles du programme.
| Équation | Ordre | Type |
|---|---|---|
| \(y' + 2y = 0\) | 1 | Homogène, 1er ordre |
| \(y'' - 3y' + 2y = 0\) | 2 | Homogène, 2e ordre, \(\Delta > 0\) |
| \(y'' + 4y = 0\) | 2 | Oscillatoire, \(\Delta < 0\) |
| \(y' - 2y = e^{x}\) | 1 | 1er ordre avec second membre |
Pour toutes les équations du programme (linéaires à coefficients constants), on admet que pour toute condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\) (et \(y'(x_{0}) = y'_{0}\) pour le second ordre), il existe une unique solution vérifiant ces données. Ce résultat justifie qu'il suffit d'exhiber la forme générale et d'identifier ses paramètres.
Équations y′ = ay
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Les solutions de \(y' + ay = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont exactement les fonctions de la forme : \[ y(x) = C\,e^{-ax}, \qquad C \in \mathbb{R}. \] Pour toute condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\), la constante est \(C = y_{0}\,e^{ax_{0}}\), ce qui fournit l'unique solution particulière \(y(x) = y_{0}\,e^{-a(x - x_{0})}\).
- Identifier \(a\) dans \(y' + ay = 0\). (Si l'équation est \(y' = ky\), poser \(a = -k\).)
- Écrire immédiatement : \(y = Ce^{-ax}\), \(C \in \mathbb{R}\).
- Si une condition initiale \(y(x_{0}) = y_{0}\) est donnée, substituer : \(y_{0} = Ce^{-ax_{0}}\), d'où \(C = y_{0}\,e^{ax_{0}}\).
- Conclure en écrivant explicitement la solution particulière.
Résoudre \(y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 3\).
Ici \(a = 2\), donc la solution générale est \(y = Ce^{-2x}\). La condition initiale donne \(3 = C\,e^{0} = C\), d'où \(C = 3\). \[ y(x) = 3\,e^{-2x}. \] La courbe part du point \((0, 3)\) et décroît vers zéro quand \(x \to +\infty\).
On représente ci-dessous plusieurs solutions \(y = Ce^{-2x}\) pour différentes valeurs de \(C\). Faites varier le curseur pour observer comment la condition initiale sélectionne une courbe unique parmi la famille.
Famille de solutions de \(y' + 2y = 0\) — curseur \(C\)
Autres membres
Déplacez le curseur pour changer \(C\)
Chaque valeur de \(C\) correspond à une solution distincte. La condition initiale \(y(x_0) = y_0\) fixe \(C\) et sélectionne une unique courbe.
Le nombre \(N(t)\) de noyaux radioactifs satisfait \(N'(t) = -\lambda\,N(t)\), équation de la forme \(N' + \lambda N = 0\), d'où : \[ N(t) = N_{0}\,e^{-\lambda t}, \] où \(N_{0} = N(0)\) est la quantité initiale. La demi-vie \(T_{1/2}\) est le temps au bout duquel la moitié des noyaux s'est désintégrée : \[ N_{0}\,e^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{N_{0}}{2} \;\Longrightarrow\; T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}. \] Le carbone-14 a \(\lambda \approx 1{,}21 \times 10^{-4}\) an\(^{-1}\), soit \(T_{1/2} \approx 5730\) ans — donnée utilisée en datation archéologique.
Si l'équation est écrite \(y' = ky\) (signe positif), il ne faut pas conclure hâtivement à \(y = Ce^{kx}\) « avec \(a = k\) ». La forme standard est \(y' + ay = 0\), donc ici \(a = -k\) et la solution est bien \(y = Ce^{kx}\). Vérifier systématiquement en substituant dans l'équation d'origine.
Équations du second ordre à coefficients constants
À l'équation \(y'' + ay' + by = 0\) (\(a, b \in \mathbb{R}\)) on associe le polynôme caractéristique \(r^{2} + ar + b\) et l'équation : \[ r^{2} + ar + b = 0, \quad \Delta = a^{2} - 4b. \] La nature des racines détermine entièrement la forme de la solution générale.
Les solutions de \(y'' + ay' + by = 0\) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ \Delta > 0 : \quad y = A\,e^{r_{1}x} + B\,e^{r_{2}x}, \quad r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{\Delta}}{2}. \] \[ \Delta = 0 : \quad y = (Ax + B)\,e^{r_{0}x}, \quad r_{0} = -\frac{a}{2}. \]Dans les deux cas, \(A, B \in \mathbb{R}\) sont déterminés par les deux conditions initiales.
- Lire \(a\) et \(b\), calculer \(\Delta = a^{2} - 4b\).
- Si \(\Delta > 0\) : calculer \(r_{1}\) et \(r_{2}\) ; écrire \(y = Ae^{r_{1}x} + Be^{r_{2}x}\).
Si \(\Delta = 0\) : calculer \(r_{0} = -a/2\) ; écrire \(y = (Ax + B)e^{r_{0}x}\). - Dériver \(y\) pour obtenir \(y'\), puis poser le système \(\{y(x_{0}) = y_{0},\; y'(x_{0}) = y'_{0}\}\).
- Résoudre le système \(2 \times 2\) pour trouver \(A\) et \(B\).
- Écrire la solution particulière et vérifier par substitution.
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).
Équation caractéristique : \(r^{2} - 3r + 2 = 0\). \(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(r_{1} = 1\), \(r_{2} = 2\). Solution générale : \(y = Ae^{x} + Be^{2x}\).
Condition \(y(0) = 0\) : \(A + B = 0\), soit \(A = -B\).
On calcule \(y' = Ae^{x} + 2Be^{2x}\).
Condition \(y'(0) = 1\) : \(A + 2B = 1\). En substituant \(A = -B\) :
\(-B + 2B = 1\), donc \(B = 1\) et \(A = -1\).
\[ y(x) = e^{2x} - e^{x}. \]
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 4r + 4 = (r+2)^{2} = 0\), racine double \(r_{0} = -2\). Solution générale : \(y = (Ax + B)e^{-2x}\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(B = 1\).
\(y' = Ae^{-2x} + (Ax + B)(-2)e^{-2x} = (A - 2B - 2Ax)e^{-2x}\).
Condition \(y'(0) = 0\) : \(A - 2B = 0\), soit \(A = 2\).
\[ y(x) = (2x + 1)\,e^{-2x}. \]
Solutions — équations du second ordre, \(\Delta \ge 0\)
Famille (\(A\) varié)
Sélectionnez un exemple dans les contrôles ci-dessous
Chaque exemple illustre une configuration de discriminant différente. La solution particulière (trait plein) est sélectionnée par les conditions initiales parmi toute la famille (traits fins).
Quand \(\Delta = 0\), la solution générale n'est pas \(Ce^{r_{0}x}\) mais \((Ax + B)e^{r_{0}x}\). Omettre le facteur \(Ax\) revient à ne disposer que d'un seul paramètre là où il en faut deux pour satisfaire les deux conditions initiales.
Pour la Série C, le cas de racines complexes conjuguées est restreint à l'équation \(y'' + \omega^{2}y = 0\) avec \(\omega > 0\) (absence de terme en \(y'\), donc coefficient d'amortissement nul). Le cas général avec amortissement est hors programme.
Les solutions de \(y'' + \omega^{2}y = 0\) (\(\omega > 0\)) sur \(\mathbb{R}\) sont :
\[ y(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x), \qquad A, B \in \mathbb{R}. \]Cette expression se réécrit sous forme amplitude-phase :
\[ y(x) = R\cos(\omega x - \varphi), \quad R = \sqrt{A^{2}+B^{2}},\quad \tan\varphi = \frac{B}{A}. \]\(R\) est l'amplitude, \(\varphi\) la phase initiale, et \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\) la période propre.
- Lire les coefficients \(A = y(0)\) et \(B = y'(0)/\omega\) depuis les conditions initiales.
- Calculer \(R = \sqrt{A^{2}+B^{2}}\).
- Déterminer \(\varphi \in [0, 2\pi[\) tel que \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) (ne pas se contenter de \(\tan\varphi = B/A\), qui ne détermine pas le quadrant).
- Conclure : \(y = R\cos(\omega x - \varphi)\).
Résoudre \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\).
On a \(\omega = 3\). Solution générale : \(y = A\cos 3x + B\sin 3x\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(A = 1\).
\(y' = -3A\sin 3x + 3B\cos 3x\) ; condition \(y'(0) = 3\) : \(3B = 3\), donc \(B = 1\).
Forme amplitude-phase : \(R = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}\), \(\cos\varphi = 1/\sqrt{2}\) et \(\sin\varphi = 1/\sqrt{2}\), soit \(\varphi = \pi/4\). \[ y(x) = \sqrt{2}\,\cos\!\left(3x - \tfrac{\pi}{4}\right). \]
Oscillateur \(A\cos\omega x + B\sin\omega x\) — paramètres ajustables
Enveloppe ±R
Ajustez \(\omega\), \(A\), \(B\) pour observer amplitude et période
L'amplitude \(R = \sqrt{A^2+B^2}\) est indépendante de \(\omega\). La période \(T = 2\pi/\omega\) diminue quand \(\omega\) augmente. Les enveloppes ±R délimitent la bande dans laquelle oscille la solution.
Un système masse-ressort sans frottement obéit à \(\ddot{x} + \omega^{2}x = 0\) où \(\omega = \sqrt{k/m}\) (\(k\) : raideur, \(m\) : masse). Le mouvement est sinusoïdal, de période propre \(T = 2\pi/\omega\). L'amplitude \(R\) et la phase \(\varphi\) sont entièrement déterminées par la position et la vitesse initiales. En l'absence de dissipation, le système oscille indéfiniment à une fréquence qui ne dépend que de ses paramètres intrinsèques.
Calculer \(\varphi\) à partir de la seule relation \(\tan\varphi = B/A\) ne détermine pas le bon quadrant quand \(A < 0\). Il faut toujours combiner \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) pour situer \(\varphi\) sans ambiguïté.
Équations y′ = ay + b et second membre
Soit \((E)\) une équation différentielle linéaire avec second membre \(f \ne 0\), et \((H)\) l'équation homogène associée (second membre remplacé par zéro). Si \(y_{p}\) est une solution particulière quelconque de \((E)\), alors : \[ \text{Solutions de } (E) \;=\; y_{p} \;+\; \text{Solutions de } (H). \] En pratique, l'énoncé indique toujours la forme de \(y_{p}\) à chercher.
- Résoudre \((H)\) : écrire \(y_{H}\) avec ses constantes \(C\) (ou \(A, B\)).
- Chercher \(y_{p}\) sous la forme indiquée : substituer dans \((E)\) et identifier les coefficients inconnus.
- Écrire la solution générale : \(y = y_{H} + y_{p}\).
- Si des conditions initiales sont données, les appliquer à \(y\) (et \(y'\) pour le second ordre) pour fixer les constantes.
Résoudre \(y' - 2y = e^{x}\).
Homogène : \(y' - 2y = 0\), solution \(y_{H} = Ce^{2x}\).
Solution particulière : essayons \(y_{p} = ke^{x}\).
Alors \(y_{p}' = ke^{x}\), et \(ke^{x} - 2ke^{x} = -ke^{x} = e^{x}\),
d'où \(k = -1\), soit \(y_{p} = -e^{x}\).
\[ y(x) = Ce^{2x} - e^{x}, \quad C \in \mathbb{R}. \]
Résoudre \(y' + y = 3\) avec \(y(0) = 1\).
Homogène : \(y_{H} = Ce^{-x}\).
Solution particulière : \(y_{p} = k\) (constante) →
\(0 + k = 3\), d'où \(k = 3\).
Solution générale : \(y = Ce^{-x} + 3\).
Condition \(y(0) = 1\) : \(C + 3 = 1\), d'où \(C = -2\).
\[ y(x) = 3 - 2e^{-x}. \]
On vérifie : \(y \to 3\) quand \(x \to +\infty\), cohérent avec l'état stationnaire.
Si la forme naturelle de \(y_{p}\) coïncide avec une solution de \((H)\), la substitution aboutit à \(0 = f(x)\), ce qui est impossible. Par exemple, pour \(y' - 2y = e^{2x}\), essayer \(y_{p} = ke^{2x}\) donne \(2ke^{2x} - 2ke^{2x} = 0 \ne e^{2x}\). L'énoncé signale ce cas et impose alors une forme modifiée : typiquement \(y_{p} = kx\,e^{2x}\) (multiplication par \(x\)).
- Toujours vérifier la solution trouvée en la substituant dans l'équation d'origine.
- Pour \(y' + ay = 0\), écrire immédiatement \(y = Ce^{-ax}\) sans passer par les étapes intermédiaires.
- En cas de racine double, ne jamais oublier le facteur \(x\) dans \((Ax+B)e^{r_0 x}\).
- Pour l'oscillateur, utiliser \(\cos\varphi = A/R\) et \(\sin\varphi = B/R\) conjointement pour trouver le bon quadrant.
- Vérifier la cohérence du comportement asymptotique (\(y \to 0\) ou \(y \to\) constante) avec le signe de \(a\).
Résumé
\(y' + ay = 0 \Rightarrow y = Ce^{-ax}\)
Condition \(y(x_0)=y_0\) : \(C = y_0\,e^{ax_0}\)
Racines \(r_1, r_2\) réelles distinctes
\(y = Ae^{r_1 x}+Be^{r_2 x}\)
Racine double \(r_0 = -a/2\)
\(y = (Ax+B)e^{r_0 x}\)
\(y = A\cos\omega x + B\sin\omega x\)
\(= R\cos(\omega x-\varphi)\), \(T=2\pi/\omega\)
\(y = y_H + y_p\)
Chercher \(y_p\) sous la forme indiquée ; attention résonance.
\(N' = -\lambda N \Rightarrow N = N_0 e^{-\lambda t}\)
Demi-vie : \(T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
Sujet type Bac
Partie A — Croissance et saturation (premier ordre)
On considère l'équation \((E_1)\) : \(y' + 0{,}5\,y = 2\) sur \(\mathbb{R}\).
Question 1. Montrer que \(y_{p} = 4\) est solution particulière de \((E_1)\).
Si \(y_p = 4\) (constante), alors \(y_p' = 0\). Substitution dans \((E_1)\) : \(0 + 0{,}5 \times 4 = 2\). C'est bien égal au second membre. Donc \(y_p = 4\) est une solution particulière.
Question 2. Résoudre l'équation homogène associée, puis écrire la solution générale de \((E_1)\).
Homogène : \(y' + 0{,}5\,y = 0\) → \(y_H = Ce^{-x/2}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Solution générale de \((E_1)\) : \(y = Ce^{-x/2} + 4\), \(C \in \mathbb{R}\).
Question 3. Déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\). Étudier le comportement en \(+\infty\) et interpréter.
Condition \(y(0) = 1\) : \(C + 4 = 1\), d'où \(C = -3\). \[ y(x) = 4 - 3e^{-x/2}. \] Quand \(x \to +\infty\), \(e^{-x/2} \to 0\) donc \(y \to 4\). La grandeur part de 1 et converge vers la valeur d'équilibre 4 — comportement typique d'une croissance à saturation (capacité portante).
Partie B — Oscillations libres (second ordre)
On étudie \((E_2)\) : \(y'' + 5y' + 6y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = -4\).
Question 4. Écrire et résoudre l'équation caractéristique. En déduire la solution générale de \((E_2)\).
Équation caractéristique : \(r^{2} + 5r + 6 = 0\). \(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\). \(r_1 = -3\) et \(r_2 = -2\). \[ y = Ae^{-3x} + Be^{-2x}. \]
Question 5. Déterminer \(A\) et \(B\). Montrer que \(y(x) > 0\) pour tout \(x \ge 0\) et que \(y \to 0^{+}\).
Condition \(y(0) = 2\) : \(A + B = 2\).
\(y' = -3Ae^{-3x} - 2Be^{-2x}\) ; condition \(y'(0) = -4\) : \(-3A - 2B = -4\).
Système : \(\{A + B = 2 \;;\; 3A + 2B = 4\}\).
De la seconde : \(3A + 2(2-A) = 4\), soit \(A + 4 = 4\), d'où \(A = 0\) et \(B = 2\).
\[ y(x) = 2e^{-2x}. \]
Pour \(x \ge 0\), \(e^{-2x} > 0\) donc \(y(x) = 2e^{-2x} > 0\).
De plus, \(e^{-2x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) → \(y \to 0^{+}\) :
retour exponentiel à l'équilibre sans oscillation (régime sur-amorti).