Terminale E · Leçon 3
Fonctions usuelles : ln, exponentielle, puissances
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
La fonction \(\ln\) naît d'un besoin précis : trouver une primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (chapitre II) ; on choisit celle qui s'annule en 1 — ce choix de normalisation est la définition.
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est l'unique primitive de \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(\ln 1 = 0\).
Par construction : \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), donc \(\ln\) est strictement croissante.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[\ln(ab) = \ln a + \ln b.\]Idée : les deux membres ont la même dérivée en \(b\) (en fixant \(a\)) et la même valeur en \(b = 1\). Par unicité de la primitive avec condition initiale, ils sont égaux.
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[\ln\frac{1}{b} = -\ln b \qquad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a.\]- \(\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2\).
- \(\ln\dfrac{e^2}{3} = \ln(e^2) - \ln 3 = 2 - \ln 3\).
- \(\ln\sqrt{e} = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}\).
- \(\ln\dfrac{1}{x^3} = -3\ln x\) pour \(x > 0\).
Comme \(\ln\) est continue, strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes, elle prend toutes les valeurs réelles. Il existe donc un unique réel strictement positif dont le logarithme vaut 1 :
\[\ln e = 1, \qquad e \approx 2{,}718\,28\ldots\]Signe de \(\ln x\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
- Déterminer l'ensemble de validité : arguments de \(\ln\) strictement positifs.
- Utiliser la stricte croissance : \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\) et \(\ln a \le \ln b \Leftrightarrow a \le b\).
- Conclure en précisant l'ensemble de définition.
Résoudre \(\ln(2x-1) = \ln(x+3)\).
Validité : \(2x-1 > 0\) et \(x+3 > 0\), donc \(x > \dfrac{1}{2}\).
Par stricte croissance : \(2x-1 = x+3\), soit \(x = 4\). On vérifie \(4 > \dfrac{1}{2}\). Solution : \(\boxed{x = 4}\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) \ge \ln(2x)\).
Validité : \(x^2-3 > 0\) et \(2x > 0\), donc \(x > \sqrt{3}\).
Par stricte croissance : \(x^2-3 \ge 2x\), soit \((x-3)(x+1) \ge 0\). Sur \(]\sqrt{3}\,;+\infty[\), cela donne \(x \ge 3\). Solution : \(\boxed{x \ge 3}\).
L'égalité \(\ln(x^2) = 2\ln x\) n'est valable que pour \(x > 0\). Pour \(x < 0\), \(\ln(x^2) = 2\ln(-x) \neq 2\ln x\). L'ensemble de validité s'impose avant toute manipulation algébrique.
Figure interactive — La fonction logarithme népérien
tangente en \(x = a\)
propriétés algébriques
Déplacer le curseur pour faire varier le point \(a\)
La pente de la tangente en \(x=a\) vaut \(f'(a) = 1/a\) : grande pour \(a\) proche de 0, elle tend vers 0 quand \(a\) grandit. Le point \((e\,;\,1)\) et le point \((1\,;\,0)\) sont les deux repères fondamentaux de la courbe.
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
\(\ln\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), avec limites \(-\infty\) et \(+\infty\) aux bornes — elle réalise une bijection de \(]0\,;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est bien définie.
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^x\), est la bijection réciproque de \(\ln\) :
\[y = e^x \iff x = \ln y \quad (y > 0).\]Les deux fonctions sont inverses l'une de l'autre :
\[e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x \quad (x \in \mathbb{R}).\]De plus : \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), et \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \((e^x)' = e^x\). Comme \(e^x > 0\), elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0.\]Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le point \((a\,;\,b)\) est sur la courbe de \(\ln\) si et seulement si \((b\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\).
- \(e^x = e^y \Leftrightarrow x = y\).
- \(e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k\) (avec \(k > 0\) ; impossible si \(k \le 0\)).
- \(e^x \ge k \Leftrightarrow x \ge \ln k\) si \(k > 0\).
Résoudre \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Poser \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\), soit \((X-1)(X-2) = 0\).
- \(X = 1 \Rightarrow x = 0\).
- \(X = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
Résoudre \(\ln(e^x + 1) = 2\).
\[e^x + 1 = e^2 \Rightarrow e^x = e^2 - 1 \Rightarrow x = \ln(e^2 - 1) \approx 1{,}87.\]On vérifie \(e^2 - 1 > 0\).
- \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\).
- \((e^{-x^2})' = -2x\,e^{-x^2}\).
- \(\left(\dfrac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}\).
\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L'équation \(e^x = 0\) n'a aucune solution. Si un raisonnement aboutit à \(e^x \le 0\), une erreur a été commise en amont. Ne pas écrire non plus \(e^a \times e^b = e^{ab}\) : la règle est \(e^a \times e^b = e^{a+b}\).
Figure interactive — Symétrie de \(\ln\) et \(\exp\) par rapport à \(y = x\)
\(y = \ln x\)
\(y = x\) (axe de symétrie)
point et symétrique
Déplacer le curseur pour choisir un point sur la courbe de ln
Le point \(A = (a\,;\,\ln a)\) est sur la courbe de \(\ln\). Son symétrique \(A' = (\ln a\,;\,a)\) est sur la courbe de \(\exp\). Le segment \(AA'\) est perpendiculaire à la droite \(y=x\) et coupé en son milieu par elle.
Puissances d'exposant réel et racines n-ièmes
Les puissances entières sont familières. La nouveauté est d'étendre la notion à un exposant réel quelconque — ce qui permet d'écrire \(2^{\sqrt{3}}\) ou \(x^{1/3}\) de façon cohérente.
Pour \(a > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
\[a^\alpha = e^{\alpha \ln a}.\]Cette définition est cohérente avec les puissances entières et impose \(a > 0\).
Et : \(\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(a > 0\).
La fonction \(x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}.\]Si \(\alpha > 0\) : strictement croissante, \(\lim_{+\infty} x^\alpha = +\infty\), \(\lim_{0^+} x^\alpha = 0\). Si \(\alpha < 0\) : décroissante, limites échangées.
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x > 0\) :
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}.\]C'est l'unique réel strictement positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\).
- \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\).
- \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\).
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} = 9^{1/2} = 3\).
- Dérivée de \(f(x) = x^{5/3}\) : \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\).
- \(x^\alpha\) vs \(a^x\) : dans \(x^\alpha\), l'exposant est fixe, la base varie — dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\). Dans \(a^x = e^{x\ln a}\), la base est fixe, l'exposant varie — dérivée \(\ln(a) \cdot a^x\). Ce sont deux natures très différentes.
- Domaine : \(x^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) n'est définie (au sens réel) que pour \(x > 0\).
Figure interactive — Familles de fonctions puissances \(x^\alpha\)
tangente en \(x=1\)
Déplacer le curseur pour faire varier l'exposant \(\alpha\)
Toutes les courbes \(x^\alpha\) passent par \((1\,;\,1)\). La pente de la tangente en ce point vaut \(\alpha\). Quand \(\alpha > 0\) la fonction est croissante ; quand \(\alpha < 0\) elle est décroissante. Le cas \(\alpha = 1\) donne la droite \(y = x\).
Croissances comparées
La question « quelle fonction l'emporte à l'infini ? » est fondamentale pour calculer des limites. La réponse est une hiérarchie stricte entre les trois grandes familles.
| Limite | Condition | Résultat |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \ln x\) | \(\alpha > 0\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^\alpha}\) | \(\alpha > 0\) | \(+\infty\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x\) | \(n \in \mathbb{N}\) | \(0\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}\) | — | \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\) | — | \(1\) |
Même \(x^{1000}\) est négligeable devant \(e^x\) à l'infini. Et même si \(\ln x \to +\infty\), c'est infiniment plus lentement que \(x^{0{,}001}\).
- Identifier la forme indéterminée (\(\tfrac{\infty}{\infty}\), \(0 \times \infty\), etc.).
- Factoriser par le terme dominant selon la hiérarchie (exp \(\succ\) puissances \(\succ\) ln).
- Faire apparaître l'une des limites de référence et conclure.
Conséquence : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x = \lim_{x\to 0^+} e^{x\ln x} = e^0 = 1\), car \(x\ln x \to 0\) et \(\exp\) est continue.
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1\) est simplement la dérivée de \(\exp\) en 0 :
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x - e^0}{x - 0} = (e^x)'\big|_{x=0} = e^0 = 1.\]De même, \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = (\ln x)'\big|_{x=1} = 1\).
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (\ln(x+1) - \ln x)\).
\[\ln(x+1) - \ln x = \ln\!\left(1 + \frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x\to+\infty]{} \ln(1) = 0.\]Face à une forme indéterminée mêlant \(e^x\), \(x^\alpha\) et \(\ln x\) : toujours factoriser par le terme dominant, puis appliquer les limites de référence. Ne pas essayer de simplifier une forme \(\infty/\infty\) sans cette étape.
Figure interactive — Croissances comparées : \(\ln x\), \(x^\alpha\), \(e^x\)
\(x^\alpha\)
\(e^x\)
Déplacer les curseurs pour changer \(\alpha\) et l'échelle
Augmentez le zoom pour voir l'exponentielle (rouge) dépasser irrémédiablement toute puissance (vert), quelle que soit la valeur de \(\alpha\). Même avec \(\alpha = 3\), \(x^3\) reste négligeable devant \(e^x\) pour \(x\) assez grand.
Résumé
Primitive de \(1/x\) sur \(]0;+\infty[\), nulle en 1. Dérivée \(1/x\), strictement croissante. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\). \((e^x)' = e^x > 0\), strictement croissante. \(e^{a+b}=e^ae^b\). Jamais nulle.
\(a^\alpha = e^{\alpha\ln a}\) pour \(a>0\). \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\). \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
\(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) à \(+\infty\). \(x^\alpha\ln x \to 0\) en \(0^+\) (\(\alpha>0\)). \((e^x-1)/x \to 1\) en 0.
Vérifier l'ensemble de validité avant tout. \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b\). \(e^a = e^b \Leftrightarrow a=b\).
Limites aux bornes → branches infinies. Signe de \(f'\) → variations, min/max. TVI + monotonie → solutions et balayage.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).
1. Étudier les limites aux bornes. 2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations. 3. Montrer que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\). 4. L'équation \(f(x) = 2\) admet-elle des solutions ? Combien ? Les encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Limites aux bornes.
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\), car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) (croissance comparée, \(\alpha=1\)).
Partie 2 — Variations.
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\) :
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f(1) = 1 - 0 = 1\) : minimum global.
Partie 3 — Inégalité \(\ln x < x\).
D'après le tableau, \(f(x) \ge f(1) = 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\).
Partie 4 — Solutions de \(f(x) = 2\).
Comme \(f(1) = 1 < 2\) et \(f \to +\infty\) aux deux extrémités, la droite \(y=2\) coupe la courbe en deux points — un sur chaque branche monotone. L'équation a exactement deux solutions.
| \(x\) | \(f(x) = x - \ln x\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 0,1 | \(\approx 2{,}403\) | \(> 2\) |
| 0,2 | \(\approx 1{,}809\) | \(< 2\) |
| 0,15 | \(\approx 2{,}047\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_1 \in\, ]0{,}15\,;\,0{,}20[\).
| \(x\) | \(f(x)\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 3,1 | \(\approx 1{,}969\) | \(< 2\) |
| 3,2 | \(\approx 2{,}037\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_2 \in\, ]3{,}1\,;\,3{,}2[\).